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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(四川卷) 理科(无答案)


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2011 年全国高等学校招生统一考试四川卷(理数)
1.选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上 2.本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 一、选择题:本大题共 l2 小题.每 小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目 要求的. 1.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是 (A)

1 6 1 i

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

2.复数 ?i ? =

(A) ? 2i

(B)

1 i 2

(C)0

(D) 2i

3. l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 ? l3 (B) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 ? l3 (C) l2 ? l3 ? l3 ? l1 , l2 , l3 共面 (D) l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面 4 如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF = (A)0 (B) BE

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

(C) AD

????

(D) CF

??? ?

5 函数, f ( x) 在点 x ? x0 处有定义是 f ( x) 在点 x ? x0 处连续的 (A)充分而不必要的条件 (C)充要条件
2 2

(B)必要而不充分的条件 (D)既不充分也不必要的条件
2

6.在 ? ABC 中. sin ? sin B ? sin C ? sin Bsin C .则 A 的取值范围是 (A)(0,

?
6

]

(B)[

?
6

, ? ) (c)(0,

?
3

] (D) [

?
3

,? )

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7.已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) ? 1 ,则 f ( x) 的反函数的图像大致是
x

1 2

8.数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N *) .若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? (A)0 (B)3 (C)8 (D)11 9.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型 卡车.某天需运往 A 地至 少 72 吨的货 物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车虚配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公 司合理计划党团派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 (A)4650 元 (B)4700 元 (C)4900 元 (D)5000 元 10.在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5(a≠0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , x ? 2 的两点,过这两点引一条割线,有平 2 行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x ? 5 y ? 36 相切,则抛物线顶点的坐标为
2 2

(A) (?2, ?9)

(B) (0, ?5)

(C) (2, ?9)

(D) (1, ?6)

11.已知定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 3 f ( x ? 2) , x ? ?0 当 , 2

? 时,f ( x) ? ? x2 ? 2x .设 f ( x)
n ??

在 ? 2n ? 2,2n? 上的最大值为 an (n ? N*) ,且 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 lim S n ? (A)3 (B )

5 2

(C)2

(D)

3 2

12.在集合 ?1, 2,3, 4,5 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? (a, b ) .从所有得到 ? 的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n ,其中 面积不超过 4 的平行四边形的个数为 ... (A)

m ,则
2 5

m ? n
(D)

4 15

(B)

1 3

( C)

2 3

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B卷
注意事项: 1. 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出, 确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效 . 2. 本部分共 10 小题,共 90 分. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.计算 (lg
1 ? 1 ? lg 25) ?100 2 = 4

.

14.双曲线

x 2 y2 ? =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点 P 到左准线的距离是 64 36

.

15.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与改圆柱的侧面积之差 是 . 16.函数 f(x) 的定义域为 A, x1, 2 ? 且 ( 1 f x 2 ) 若 为单函数.例如, x A f x =) ( 时总有 x1 =x 2,则称f(x) 函数 f(x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题: ① 函数 f(x) x (x ? R)是单函数; =
2

② 若 f(x) 为单函数, x1,x 2 ? A且x1 ? x 2,则f(x1) f(x 2); ? ③ 若 f:A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B,它至多有一个原象; ④ 函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)

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18.(本小题共 12 分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每每次租车 时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。有甲、 乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次) 。 设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为

1 1 1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是 , ; 4 2 2 4

两人租车时间都不会超过四小时。 (Ⅰ)求甲乙两人所付的租车费用相同的概率。 (Ⅱ)设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? , 求 ? 的分布列及数学期望 E?

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19.(本小题共 l2 分) 如图,在直三棱柱 ABC? A1B1C1 中. ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA ? 1 . D 是棱 CC1 上的一点, P 1 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点,且 PB1 ∥平面 BDA . (I)求证: CD ? C1D : (II)求二面角 A ? A1D ? B 的平面角的余弦值; (Ⅲ)求点 C 到平面 B1DP 的距离.

20.(本小题共 12 分) 设 d 为非零实数, an ?

1 1 2 3 n n Cn d ? 2Cn d 2 ? 3Cn d 3 ? (n ? 1)Cn ?1d n ?1 ? nC n d n (n ? N * ) n

?

?

(1)写出 a1 , a2 , a3 并判断 ?an ?是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由; (2)设 bn ? ndan (n ? N * ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn .

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21.(本小题共 l2 分) 椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1 ,0),过其焦点 F(0,1)的直线 ? 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于 点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (I)当 CD =

3 2 时,求直线 ? 的方程; 2

(II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP? OQ 为定值。

22.(本小题共 l4 分) 已知 函数 f ( x) ?

2 1 x ? , h( x) ? x . 3 2

(1)设函数 F ( x) ? f ( x) ? h( x) ,求 F (x) 的单调区间与极值; (2)设 a∈R,解关于 x 的方程 log4 ?
100

3 3? ? 2 f ( x ? 1) ? 4 ? ? log2 h(a ? x) ? log2 h(4 ? x) ? ?
1

(3)试比较 f (100)h(100) ?

? h(k ) 与 6 的大小.
k ?1

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