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2017_2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末复习课学案新人教B版选修1_2

第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课 题型一 分类讨论思想的应用 例 1 实数 k 为何值时,复数(1+i)k -(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件? (1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数. 解 (1+i)k -(3+5i)k-2(2+3i)=(k -3k-4)+(k -5k-6)i. (1)当 k -5k-6=0,即 k=6 或 k=-1 时,该复数为实数. (2)当 k -5k-6≠0,即 k≠6 且 k≠-1 时,该复数为虚数. ?k -5k-6≠0, ? (3)当? 2 ?k -3k-4=0, ? 2 2 2 2 2 2 2 即 k=4 时,该复数为纯虚数. 反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时, 利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定 什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当 x+yi 没有说明 x,y∈R 时,也要分情况讨论. 跟踪训练 1 (1)若复数(a -a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( A.a=-1 C.a≠-1 答案 C 解析 若一个复数不是纯虚数,则该复数是一个虚数或是一个实数.当 a -a-2≠0 时,已知 的复数一定不是纯虚数,解得 a≠-1 且 a≠2;当 a -a-2=0 且|a-1|-1=0 时,已知的 复数也不是一个纯虚数,解得 a=2.综上所述,当 a≠-1 时,已知的复数不是一个纯虚数. (2)实数 x 取什么值时,复数 z=(x +x-6)+(x -2x-15)i 是:①实数;②虚数;③纯虚 数;④零. 1 2 2 2 2 2 ) B.a≠-1 且 a≠2 D.a≠2 解 ①当 x -2x-15=0,即 x=-3 或 x=5 时,复数 z 为实数; ②当 x -2x-15≠0,即 x≠-3 且 x≠5 时,复数 z 为虚数; ③当 x +x-6=0 且 x -2x-15≠0,即 x=2 时,复数 z 是纯虚数; ④当 x +x-6=0 且 x -2x-15=0,即 x=-3 时,复数 z 为零. 题型二 数形结合思想的应用 例 2 已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、 B 在复平面上对应的复数分别为 1+2i, -2+6i, OA∥BC. 求顶点 C 所对应的复数 z. 解 设 z=x+yi,x,y∈R,如图. 2 2 2 2 2 2 ∵OA∥BC,|OC|=|BA|, ∴kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|, 2 y-6 ? ?1=x+2, 即? ? ? x2+y2= 解得? ? ?x1=-5 ?y1=0 ? - 或? 2 +4 , . 2 ? ?x2=-3 ?y2=4 ? ∵|OA|≠|BC|,∴x2=-3,y2=4(舍去), 故 z=-5. 反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想, 又是一种常用的数学方法.本章中, 复数本 身的几何意义、 复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互 转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等. 跟踪训练 2 已知复数 z1=i(1-i) . (1)求|z1|; (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值. 解 (1)|z1|=|i(1-i) |=|i|·|1-i| =2 2. (2)如图所示, 由|z|=1 可知, z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1, 圆心为 O(0,0)的圆, 而 z1 对应着坐标系中的点 Z1(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是点 Z1(2,-2)到圆上 的点的距离的最大值.由图知|z-z1|max=|z1|+r(r 为圆半径)=2 2+1. 3 3 3 2 题型三 转化与化归思想的应用 例 3 已知 z 是复数,z+2i, 均为实数,且(z+ai) 的对应点在第一象限,求实数 a 的 2-i 取值范围. 解 设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z+2i=x+(y+2)i 为实数,∴y=-2. 又 z 2 z x-2i 1 = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 1 1 = (2x+2)+ (x-4)i 为实数, 5 5 ∴x=4.∴z=4-2i, 又∵(z+ai) =(4-2i+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i 在第一象限. ?12+4a-a >0 ? ∴? ? a- ? 2 2 2 2 ,解得 2<a<6. ∴实数 a 的取值范围是(2,6). 反思与感悟 在求复数时,常设复数 z=x+yi(x,y∈R),把复数 z 满足的条件转化为实数 x,y 满足的条件,即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要. 跟踪训练 3 已知 x,y 为共轭复数,且(x+y) -3xyi=4-6i,求 x,y. 解 设 x=a+bi(a,b∈R),则 y=a-bi. 又(x+y) -3xyi=4-6i, ∴4a -3(a +b )i=4-6i, ? ?4a =4, ∴? 2 2 ?a +b =2, ? 2 2 2 2 2 2 ∴? ?a=1, ? ? ?b=1 或? ?a=1, ? ? ?b=-1 或? ?a=-1, ? ? ?b=1 或? ?a=-1, ? ? ?b=-1. ∴? ? ?x=1+i, ?y=1-i ? 或? ? ?x=1-i, ?y=1+i ? 或? ? ?x=-1+i, ?y=-1-i ? 或? ? ?x=-1-i, ?y=-1+i. ? 题型四 类比思想的应用 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法 类比多项式乘法,除法类比根式的分子分母有理化,只要注意 i =-1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有 3 2 (1)i 的乘方:i =1,i (2)(1±i) =±2i; 2 4k 4k+1 =i,i 4k+2 =-1,i 4k+3 =-i(k∈Z); 1 3 1 3 2 2 2 3n 3n+1 (3)设


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