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集合间的基本运算


1.1.3 集合的基本运算
水 若 常 流 能 成 河
山 因 积 石 方 为 高

温故知新
? 集合之间有哪些基本关系?

? 元素和集合之间有什么关系?

想一想:

类比引入

两个实数除了可以比较大小外,还可以进 行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合 是否也可以“相加”呢?

思考:

类比引入

考察下列各个集合,你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗?
(1) A={1,3,4, 5},

B={2,3, 4,6},
C={1,2,3,4,5,6}.

集合C是由所有属于集合A或属于B的元素 组成的.

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作:A∪B(读作:“A并B”) 即: A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
Venn图表示: A B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

A∪B

并集性质
①A∪A= A ②A∪?= A ; ;

③A∪B=A ? ? A____B

类比引入

思考:
求集合的并集是集合间的一种运算,那么, 集合间还有其他运算吗?

思考:

类比引入

考察下面的问题,集合C与集合A、B之 间有什么关系吗?
(1) A={1,3,4, 5},

B={2,3, 4,6},
C={3,4}.

集合C是由那些既属于集合A且又属于集合 B的所有元素组成的.

交集概念
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合,称为A与B的交集(intersection set). 记作:A∩B(读作:“A交B”) 即: A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.
Venn图表示: A B

A
A∩B

B
A∩B

B

A∩B

交集性质
①A?A=___; ②A??=___; ③A?B=A A____B ?

例题讲解
例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求 AUB, AUB 解:A ? B ? {4,5,6,8} ? {3,5,7,8} ? {3,4,5,6,7,8}

例2.设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求 AUB, AUB. 解:A ? B ? { x | ?1 ? x ? 2} ? { x | 1 ? x ? 3} ? ?x | ?1 ? x ? 3?
可以在数轴上表示例2中的并集,如下图:

典型 例题

例3新华中学开运动会,设A={x|x是新华中学 高一年级参加百米赛跑的同学},B={x|x是新 华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求 A∩B.
解: A∩B 就是新华中学高一年级中那 些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的 同学组成的集合.所以, A∩B={x|x 是 新华中学高一年级既参加百米赛跑又 参加跳高比赛的同学}.

典型 例题

例5.已知x∈R,集合A={-3,x2,x+1},B={x-3,2x -1,x2+1},如果A∩B={-3},求A∪B。

例6. 已知集合A={x -2≤x≤4}, B={x x>a} ①若A∩B=φ,求实数a的取值范围; ②若A∩B=A,求实数a的取值范围.

演练反馈:
1.已知A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? ax ? a ? 1 ? 0}
2 2

若A ? B ? A, 求实数a的值.

2.设集合A ? {x | ?2 ? x ? ?1} ? {x | x ? 1}, B ? {x | a ? x ? b} 若A ? B ? {x | x ? ?2}, A ? B ? {x | 1 ? x ? 3}, 求a, b的值.
(解得a ? ?1, b ? 3)

解: A ? {1,2}, A ? B ? A, ? ?B ? A ? B ? ?或B ? {1}或B ? {2}或B ? {1,2}. 当B ? ?时,? ? 0, a不存在. ?? ? 0 当B ? {1}时, ?a ? 2 ? ?1 ? a ? a ? 1 ? 0 ?? ? 0 当B ? {2}时, ? a不存在 ? ?4 ? 2a ? a ? 1 ? 0 ?1 ? 2 ? a 当B ? {1 2}时, , ?a ? 3 ? ?1? 2 ? a ? 1 综上所述,a ? 2或a ? 3.

知识小结
1.求集合的并、交、是集合间的基本运算,运 算结果仍然还是集合. 2.区分交集与并集的关键是“且”与“或”, 在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字 眼出发去揭示、挖掘题设条件. 3.注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表 达,增强数形结合的思想方法.

水若常流能成河,

山因积石方为高。

作业:P12 6,7,8 B组 1

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