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(3)2010级高二数学组 数学归纳法


栾川一高 雷相东

完全归纳 法 问题 1:大球中有5个小球,如何证明它们都是 绿色的? an ? n ? 1, 2, ...? 问题 2: 对于数列?an ? ,已知a1 ? 1,an?1 ?
1 ? an
1 a1 ? 1 1 a2 ? 2 1 a3 ? 3

问题情境一

猜想其通项公式

1 an ? n

不完全归 纳法

问题3:某人看到树上乌鸦是黑的, 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。



问题情境二
费马(Fermat) 曾经提出一个猜想:
2n+1(n=0,1,2…)的数都是质数 形如Fn=2

n ? 0, Fn ? 3 n ? 1, Fn ? 5 n ? 2, Fn ? 17 n ? 3, Fn ? 257 n ? 4, Fn ? 65537 ??

……100年后…
n?5 Fn ? 4, 294,967, 297 ? 6,700,417 ? 641

:由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法

归纳法

结论一定可靠

结论不一定可靠

问题情境三
如何解决不完全归纳法存在的问题呢? 多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下?需要几个步骤才 能做到? (1)处理第一个问题;(相当 于推倒第一块骨牌) (2)验证前一问题与后一问题 有递推关系; (相当于前牌推倒后牌)

数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关 自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它 们的正确性:

(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立;【归纳奠基】 (2)假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立

【归纳递推】 证明当n=k+1时命题也成立.
这种证明方法叫做 数学归纳法

框图表示
验证n ? n0时 命题成立
若n ? k ? k ? n0 ?时命题成立 证明n ? k ? 1时命题也成立

归纳奠基:归纳递推 ????????? ? ?
?

命题对从n0开始所有 的正整数n都成立

例1.用数学归纳法证明 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?
证明:(1)当n=1时,左边=12 ? 1 1(1 ? 1)(2 ? 1) 右边 ? ?1 ,等式成立 6 (2)假设当n ? k时成立,即

n( n ? 1)(2n ? 1) 6

12 ? 22 ? 32 ? ? ? k 2 ? 那么当n ? k ? 1 时

k (k ? 1)(2k ? 1) 6
2

左边 ? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? k 2 ? ? k ? 1? ?

k ( k ? 1)(2k ? 1) ? ( k ? 1) 2 6 k ( k ? 1)(2k ? 1) ? 6( k ? 1) 2 ? 6 ( k ? 1)( k ? 2)(2k ? 3) ( k ? 1)[( k ? 1) ? 1][2 k ? 1) ? 1] ( ? ? 6 6 即当n ? k ? 1时等式也成立

由(1)和(2)可知等式对任何n ? N*都成立

课堂练习: 1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时, 1+2+3 当n=1时,左边所得项是 ; 1+2+3+4+5 当n=2时,左边所得项是 ;
2.用数学归纳法证明? n ? N,a ? 1?
2 n ?1 n?2

1? a 1? a ? a ??a ? , 在验证 1? a n ? 1成立时,左边是( C )
A、1 B、1+a C、1+a+a2
D、1+a+a2+a3

3.用数学归纳法证明:如果{an}是一个等差数列, 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +(1-1)d=a1, ∴ 当n=1时,结论成立 (2)假设当n=k时结论成立, 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d

= a1+(k-1)d+d
从n=k到 = a1+[(k+1)-1]d n=k+1有什 ∴当n=k+1时,结论也成立。 么变化 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。

凑 假 设

结论

4.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n?1)=n2
证明: (1) 当n=1时
左=1,右=12=1 ∴n=1时,等式成立

递推基础

(2) 假设n=k时,等式成立,即1+3+5+…+(2k?1)=k2
那么,当n=k+1时 左=1+3+5+…+(2k?1)+[2(k+1)-1]

递推依据

=k2+2k+1
=(k+1)2=右 即n=k+1时命题成立

由(1)、(2)可知等式对任何n?N*都成立

归纳小结

找准起点 奠基要稳 1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数

学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: (1)证明当n取第一个值n0(如 n0=1或2等)时 结论正确 【归纳奠基】 (2)假设n=k时结论正确,证明n=k+1时结论 也正确 【归纳递推】 (3)由(1)、(2)得出结论
写明结论 才算完整 用上假设 递推才真


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