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2014-2015学年江苏省常州市溧阳市高二(下)期末数学试卷(文科)


2014-2015 学年江苏省常州市溧阳市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
一、选择题(每小题 5 分) 1. (5 分) (2015 春?溧阳市期末) 已知全集 U=Z, 集合 A={1, 2}, B={2, 3, 4}, 那么 (?UA) ∩B= . 2. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)已知平面向量 , , 满足 =(﹣1,1) , =(2,3) , =(﹣2,k) ,若( + )⊥ ,则实数 k 的值为 . 条件.

3. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)如果 p:x>2,q:x≥2,那么 p 是 q 的 4. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)设函数 f(x)=

,则函数 f(x)的值域

是 . 5. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3,则输出 的 n 的值为 .

6. (5 分) (2015 春?溧阳市期末) 已知等差数列{an}满足 a5=2, 则 log( = . 2 a4+a6) 7. (5 分) (2015?石景山区一模)如图,在 6×6 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量 , , 满足 =x +y (x,y∈R) ,则 = .

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8. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)若等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 = .

9. (5 分) (2015 春?溧阳市期末) 已知 sin (α+

) =﹣ , ﹣

<α<0, 则 cosα=



10. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0) .若 ,则实数 ω 的最小值为 .
2

11. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)已知点 A(0,2) ,B(2,0)若点 C 在函数 y=x 的图 象上,则使△ ABC 面积为 2 的点 C 的个数是 . x 12. (5 分) (2012?北京)已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣2.若?x∈R,f (x)<0 或 g(x)<0,则 m 的取值范围是 . 13. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)如图表:现有 n (n≥4)个正数排列成 n 行 n 列方阵, * 符号 aij(1≤i≤n,1≤j≤n,i,j∈N )表示位于第 i 行第 j 列的正数.已知每一行的数成等差数 列,每一列的数成等比数列,且各列数的公比都相等.若 a11=2,a24=a32=16,则 aij= .
2

14. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)已知函数 f(x)=alnx+ (a≠0) ,若{x|f(x)≤0}={b, c}(其中 b,c∈R,且 b<c) ,则实数 a 的取值范围为 .

二、解答题 15. (14 分) (2015 春?溧阳市期末)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应边分别为 a,b,c, 已知 =(2cos ,sinC) , =(2sinC,cos ) ,且 ∥ . (1)求角 C 的大小; 2 2 2 (2)若 a =3b +c ,求 tanA 的值. 16. (14 分) (2015?西宁校级模拟) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a3=2, S5=a7. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an 及 Sn; * (Ⅱ)若 a4,a4+m,a4+n(m,n∈N )成等比数列,求 n 的最小值.

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17. (14 分) (2012?四川)函数 f(x)=6cos

2

sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图

象如图所示,A 为图象的最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; (Ⅱ)若 f(x0)= ,且 x0∈(﹣ ) ,求 f(x0+1)的值.

18. (16 分) (2015 春?溧阳市期末)为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造, 已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧,顶点为水渠最底端(如图) ,渠宽为 4m,渠深为 2m. (1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填土, 使其成为横断面为等腰梯形的新水渠,新水渠底面与地面平行(不改变渠宽) .问新水渠底 宽为多少时,所填土的土方量最少? (2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成 横断面为等腰梯形的新水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深) ,要使所挖土的土方 量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽.

19. (16 分) (2015 春?海淀区期末)已知函数 f(x)=alnx﹣x+2,其中 a≠0. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意的 x1∈[1,e],总存在 x2∈[1,e],使得 f(x1)+f(x2)=4,求实数 a 值. 20. (16 分) (2015 春?溧阳市期末) 已知数列{an}, {bn}满足: a1= , an+bn=1, bn+1=

(1)证明:{

}是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
*

(2)设 Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,不等式 4aSn<bn 对任意的 n∈N 恒成立,求实数 a 的 取值范围; (3)是否存在正整数 m,k,使( ﹣2) =(
2

﹣3) (

﹣2)+19 成立?若存在,求出

m,k 的值;若不存在,请说明理由.

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2014-2015 学年江苏省常州市溧阳市高二(下)期末数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分) 1. (5 分) (2015 春?溧阳市期末) 已知全集 U=Z, 集合 A={1, 2}, B={2, 3, 4}, 那么 (?UA) ∩B= {3,4} . 【分析】根据全集 U=Z 及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的交集即可. 【解答】解:∵全集 U=Z,集合 A={1,2},B={2,3,4}, ∴?UA={x∈Z|x≠1,x≠2}, 则(?UA)∩B={3,4}, 故答案为:{3,4} 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)已知平面向量 , , 满足 =(﹣1,1) , =(2,3) , =(﹣2,k) ,若( + )⊥ ,则实数 k 的值为 .

【分析】由已知向量的坐标求出 + 的坐标,然后结合向量垂直的坐标表示列式求得 k 值. 【解答】解:∵ =(﹣1,1) , =(2,3) , ∴ + =(1,4) , 又 =(﹣2,k) ,且( + )⊥ , ∴1×(﹣2)+4k=0,即 k= . 故答案为: . 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了两个向量垂直的条件,是基础题. 3. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)如果 p:x>2,q:x≥2,那么 p 是 q 的 充分不必要 条 件. 【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可. 【解答】解:因为 p:x>2,?q:x≥2;但是 x≥2;不能说是 x>2; 所以么 p 是 q 的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要. 【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查基本知识的应用.

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4. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)设函数 f(x)= 是 (0,1)∪[﹣3,+∞) .

,则函数 f(x)的值域

【分析】可根据不等式的性质,根据 x 的范围,可以分别求出 和﹣x﹣2 的范围,从而求出 f(x)的值域. 【解答】解:①x>1 时,f(x)= ; ∴ ;

即 0<f(x)<1; ②x≤1 时,f(x)=﹣x﹣2; ∴﹣x≥﹣1; ∴﹣x﹣2≥﹣3; 即 f(x)≥﹣3; ∴函数 f(x)的值域为(0,1)∪[﹣3,+∞) . 故答案为: (0,1)∪[﹣3,+∞) . 【点评】考查函数值域的概念,分段函数值域的概念,以及根据不等式的性质求函数值域的 方法. 5. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3,则输出 的 n 的值为 4 .

【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 值,模 拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 x=3 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后,x=9,n=2; 当 x=9 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后,x=27,n=3; 当 x=27 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后,x=81,n=4; 当 x=81 时,满足退出循环的条件, 故输出的 n 值为 4,
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故答案为:4 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,是中档题. 6. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)已知等差数列{an}满足 a5=2,则 log2(a4+a6)= 2 . 【分析】利用等差中项,求解即可. 【解答】解:等差数列{an}满足 a5=2,则 log2(a4+a6)=log24=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查等差数列的性质,基本知识的考查. 7. (5 分) (2015?石景山区一模)如图,在 6×6 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量 , , 满足 =x +y (x,y∈R) ,则 = .

【分析】根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可. 【解答】解:将向量 , , 放入坐标系中, 则向量 =(1,2) , =(2,﹣1) , =(3,4) , ∵ =x +y , ∴(3,4)=x(1,2)+y(2,﹣1) ,



,解得



则 =

, .

故答案为:

【点评】本题主要考查向量的分解,利用向量的坐标运算是解决本题的关键.

8. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)若等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 6 . 【分析】通过等比数列的、通项求和公式代入计算即可. 【解答】解:∵等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,
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=



=

=6,

故答案为:6. 【点评】本题考查等比数列的求和,注意解题方法的积累,属于基础题.

9. (5 分) (2015 春?溧阳市期末) 已知 sin (α+ 【分析】先确定 α+ 案. 【解答】解:∵﹣ ∴﹣ <α+ < )= ﹣ . <α<0, , = , )=cos(α+ )cos 的范围,求得 cos(α+

) =﹣ , ﹣

<α<0, 则 cosα=



)的值,进而利用余弦的两角和公式求得答

∴cos(α+

∴cosα=cos(α+ 故答案为:

+sin(α+

)sin

= ×

﹣ × =



【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦函数,同角三角函数基本关系的应用.考查了学 生对基础知识的综合运用. 10. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0) .若 ,则实数 ω 的最小值为 3 【分析】直接利用 .

,列出方程,然后求解 ω 的值,求出最小值. , +φ=kπ,ω× +φ=2kπ ,

【解答】解:函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0) .若 所以 2sin(ω× 所以 ω=kπ +φ)=0,2sin(ω× , +φ)=2.ω×

所以实数 ω 的最小值为:3. 故答案为:3. 【点评】本题考查三角函数解析式的求法,三角函数值的应用,考查分析问题解决问题的能 力. 11. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)已知点 A(0,2) ,B(2,0)若点 C 在函数 y=x 的图 象上,则使△ ABC 面积为 2 的点 C 的个数是 4 .
2

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【分析】本题可以设出点 C 的坐标(a,a ) ,求出 C 到直线 AB 的距离,得出三角形面积表 达式,进而得到关于参数 a 的方程,转化为求解方程根的个数(不必解出这个跟) ,从而得 到点 C 的个数. 2 【解答】解:设 C(a,a ) , 由已知得直线 AB 的方程为:x+y﹣2=0 点 C 到直线 AB 的距离为:d= 有三角形 ABC 的面积为 2 可得: S△ ABC= |AB|d= ×2
2 2

2



×

=|a+a ﹣2|=2

2

得:a +a=0 或 a +a﹣4=0,显然方程共有四个根, 2 可知函数 y=x 的图象上存在四个点(如上面图中四个点 C1,C2,C3,C4)

使得△ ABC 的面积为 2(即图中的三角形△ ABC1,△ ABC2,△ ABC3,△ ABC4) . 故答案为:4 【点评】本题考查了截距式直线方程,点到直线的距离公式,三角形的面积的求法,就参数 的值或范围,考查了数形结合的思想 12. (5 分) (2012?北京)已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣2.若?x∈R,f (x)<0 或 g(x)<0,则 m 的取值范围是 (﹣4,0) . x 【分析】由于 g(x)=2 ﹣2≥0 时,x≥1,根据题意有 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)<0 在 x >1 时成立,根据二次函数的性质可求 x 【解答】解:∵g(x)=2 ﹣2,当 x≥1 时,g(x)≥0,
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x

又∵?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0 ∴此时 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)<0 在 x≥1 时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与 x 轴交点都在(1,0)的左面



∴﹣4<m<0 故答案为: (﹣4,0)

【点评】 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立, 指数函数与二次函数性质的应用是解 答本题的关键 13. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)如图表:现有 n (n≥4)个正数排列成 n 行 n 列方阵, * 符号 aij(1≤i≤n,1≤j≤n,i,j∈N )表示位于第 i 行第 j 列的正数.已知每一行的数成等差数 i 列, 每一列的数成等比数列, 且各列数的公比都相等. 若 a11=2, a24=a32=16, 则 aij= 2 ?j .
2

【分析】设第一行的公差为 d,等比数列的公比为 q,进而根据若 a11=2,a24=a32=16,利用 等差数列和等比数列的通项公式可得方程组求得 q 和 d,进而求得 aij. 【解答】解:设第一行的公差为 d,等比数列的公比为 q, 依题意可知(2+3d)q=(2+d)q =16, 解得 q=2,d=2, ∴aij=[2+2(j﹣1)]2 =j?2 , i 故答案为:j?2 . 【点评】 本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式. 本题主要考查了学生对等差数列 和等比数列的理解和灵活运用.
i ﹣1 i 2

14. (5 分) (2015 春?溧阳市期末)已知函数 f(x)=alnx+ (a≠0) ,若{x|f(x)≤0}={b, c}(其中 b,c∈R,且 b<c) ,则实数 a 的取值范围为 (e,+∞) . 【分析】求出函数的导数,通过 a 的范围,判断导函数的符号,即可求函数 f(x)的单调区 间;讨论 a<0,a>0,由函数的零点的个数,可得 f( )<0,解不等式即可得到所求范围.

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【解答】解:函数 f(x)=alnx+ 的导数为 f′(x)= ﹣

=



①当 a<0 时,f′(x)<0,则函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞) . ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 x= . 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表 x (0, ) ( ,+∞) f′(x) f(x) ﹣ ↘ 0 极小值 + ↗

所以 f(x)的单调递减区间是(0, ) ,单调递增区间是( +∞) . 当 a<0 时,函数 f(x)在区间(0,+∞)内是减函数, 所以,函数 f(x)至多存在一个零点,不符合题意. 当 a>0 时,因为 f(x)在(0, )内是减函数,在( ,+∞)内是增函数, 所以要使{x|f(x)≤0}=[b,c],必须 f( )<0,即 aln +a<0. 所以 a>e. 故答案为: (e,+∞) . 【点评】本题考查函数的导数判断函数的单调性,函数的最值的求法,考查分类讨论以及分 析问题解决问题的能力. 二、解答题 15. (14 分) (2015 春?溧阳市期末)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应边分别为 a,b,c, 已知 =(2cos ,sinC) , =(2sinC,cos ) ,且 ∥ . (1)求角 C 的大小; (2)若 a =3b +c ,求 tanA 的值. 【分析】 (1)运用向量共线的坐标表示,结合二倍角公式和同角公式,即可求得; (2)由余弦定理和正弦定理,结合两角和差的正弦公式,化简整理,即可得到. 【解答】解: (1)由题意, ∥ ,可得 2cos
2 2 2 2

=2sin C,即为 1+cosC=2(1﹣cos C) ,

2

2

可得 cosC= , (0<C<π) , 解得 C= ;
2 2 2

(2)由余弦定理可得,c =a +b ﹣2abcos 即有 c =a +b ﹣ab, 2 2 2 2 又 a =3b +c ,则 4b =ab,
2 2 2



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即为 a=4b, 由正弦定理,可得 sinA=4sinB, 即 sinA=4sin(A+ 即有﹣sinA=2 则 tanA= )=4( sinA+ cosA) ,

cosA, =﹣2 .

【点评】本题考查向量的共线的坐标表示,考查正弦定理和余弦定理的运用,同时考查三角 函数的化简求值,属于中档题. 16. (14 分) (2015?西宁校级模拟) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a3=2, S5=a7. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an 及 Sn; * (Ⅱ)若 a4,a4+m,a4+n(m,n∈N )成等比数列,求 n 的最小值. 【分析】 (Ⅰ)设公差为 d,利用 a3=2,S5=a7,建立方程组,求出 a1=﹣2,d=2,即可求数 列{an}的通项公式 an 及 Sn; (Ⅱ)若 a4,a4+m,a4+n(m,n∈N )成等比数列,可得
*

,考察函数

,知 f(x)在(0,+∞)上单调递增,即可求 n 的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)设公差为 d,

由题意,得

…(4 分)

解得 a1=﹣2,d=2,…(5 分) 所以 an=﹣2+(n﹣1)×2=2n﹣4,…(6 分) . (Ⅱ)因为 a4,a4+m,a4+n 成等比数列, 所以
2

…(7 分)

,…(9 分)

即(2m+4) =4(2n+4) ,…(10 分) 化简,得 考察函数 又因为 ,…(11 分) ,知 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ,f(2)=6,n∈N ,
*

所以当 m=2 时,n 有最小值 6. …(13 分) 【点评】本题考查等差数列的通项与求和,考查等比数列的性质,确定数列的通项是关键.
2

17. (14 分) (2012?四川)函数 f(x)=6cos

sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图

象如图所示,A 为图象的最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ ABC 为正三角形.
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(Ⅰ)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; (Ⅱ)若 f(x0)= ,且 x0∈(﹣ ) ,求 f(x0+1)的值.

【分析】 (Ⅰ)将 f(x)化简为 f(x)=2 可求 ω 的值及函数 f(x)的值域; (Ⅱ)由 即 sin( x0+ ,知 x0+

sin(ωx+

) ,利用正弦函数的周期公式与性质

∈(﹣



) ,由

,可求得

)= ,利用两角和的正弦公式即可求得 f(x0+1) . sinωx=2 sin(ωx+ ) ,

【解答】解: (Ⅰ)由已知可得,f(x)=3cosωx+ 又正三角形 ABC 的高为 2 ,从而 BC=4, =8,ω= ]. ,

∴函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 ∴函数 f(x)的值域为[﹣2 (Ⅱ)∵f(x0)= 即 sin( x0+ ,2

,由(Ⅰ)有 f(x0)=2

sin( ,知

x0+ x0+

)= ∈(﹣

, , ) ,

)= ,由

∴cos(

x0+

)=

= . ]=2

∴( f x0+1) =2 ( =2 = x0+ ( × .

sin ( ]

x0+

+

) =2

sin[ (

x0+

) +

[sin (

x0 +

) cos

+cos

)sin + ×



【点评】本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,着重考查三角函数的化简 求值与正弦函数的性质,考查分析转化与运算能力,属于中档题. 18. (16 分) (2015 春?溧阳市期末)为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造, 已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧,顶点为水渠最底端(如图) ,渠宽为 4m,渠深为 2m.

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(1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填土, 使其成为横断面为等腰梯形的新水渠,新水渠底面与地面平行(不改变渠宽) .问新水渠底 宽为多少时,所填土的土方量最少? (2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成 横断面为等腰梯形的新水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深) ,要使所挖土的土方 量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽.

【分析】 (1)建立坐标系,设抛物线的方程为 x =2py(p>0) .由已知点 P(2,2)在抛物 线上,推导出抛物线的方程,可得梯形 APQB 面积,利用导数可得结论. (2) 为了使挖掉的土最少, 等腰梯形的两腰必须与抛物线相切, 设切点 M (t, t ) , t>0. 则 函数在点 M 的切线方程为 y﹣ t =t(x﹣t) ,由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为 时,可使用权所挖土的土方量最少. 【解答】解: (1)建立如图的坐标系, 设抛物线的方程为 x =2py(p>0) . 由已知点 P(2,2)在抛物线上,得 p=1, 2 ∴抛物线的方程为 x =2y, 设 A(t, t ) ,则此时梯形 APQB 面积为 S(t)= (2t+4) (2﹣ t ) , ∴S′(t)=﹣ ,t= ,
2 2 2 2 2

2

m

t∈(0, ) ,S′(t)>0,t∈( ,2) ,S′(t)<0 ∴t= ,Smax(t)= ,

∴新水渠底宽为 m 时,所填土的土方量最少; (2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切, 如图,

设切点 M(t, t ) ,t>0. 则函数在点 M 的切线方程为 y﹣ t =t(x﹣t) , 令 y=0,y=2,得 A( t,0) ,B( ,2) ,
2

2

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∴此时梯形 OABC 的面积为 S(t)= (t+ )?2=t+ ≥2 当且仅当 t= 此时|OA|= 时,等号成立, , m 时,土方量最少.



∴设计改挖后的水渠的底宽为

【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐 含条件,合理地进行等价转化,注意导数知识、基本不等式的合理运用. 19. (16 分) (2015 春?海淀区期末)已知函数 f(x)=alnx﹣x+2,其中 a≠0. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意的 x1∈[1,e],总存在 x2∈[1,e],使得 f(x1)+f(x2)=4,求实数 a 值. 【分析】 (Ⅰ)先求出函数 f(x)的导数,通过讨论①当 a<0 时,②当 a>0 时的情况, 从而求出函数的单调区间; (Ⅱ)通过讨论 a 的范围,结合函数的单调性找到函数的最值,从而求出 a 的值. 【解答】解: (Ⅰ) ,

当 a<0 时,对?x∈(0,+∞) ,f′(x)<0,所以 f(x)的单调递减区间为(0,+∞) ; 当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 x=a, 因为 x∈(0,a)时,f′(x)>0;x∈(a,+∞)时,f′(x)<0, 所以 f(x)的单调递增区间为(0,a) ,单调递减区间为(a,+∞) . (Ⅱ)用 f(x)max,f(x)min 分别表示函数 f(x)在[1,e]上的最大值,最小值, 当 a≤1 且 a≠0 时,由(Ⅰ)知:在[1,e]上,f(x)是减函数, 所以 f(x)max=f(1)=1; 因为 对任意的 x1∈[1,e],x2∈[1,e],f(x1)+f(x2)≤2f(1)=2<4, 所以对任意的 x1∈[1,e],不存在 x2∈[1,e],使得 f(x1)+f(x2)=4; 当 1<a<e 时,由(Ⅰ)知:在[1,a]上,f(x)是增函数,在[a,e]上,f(x)是减函数, 所以 f(x)max=f(a)=alna﹣a+2; 因为 对 x1=1,?x2∈[1,e],f(1)+f(x2)≤f(1)+f(a)=1+alna﹣a+2=a(lna﹣1)+3<3, 所以 对 x1=1∈[1,e],不存在 x2∈[1,e],使得 f(x1)+f(x2)=4; 当 a≥e 时,令 g(x)=4﹣f(x) (x∈[1,e]) , 由(Ⅰ)知:在[1,e]上,f(x)是增函数,进而知 g(x)是减函数, 所以 f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(e)=a﹣e+2,g(x)max=g(1)=4﹣f(1) ,g(x) ; min=g(e)=4﹣f(e) 因为 对任意的 x1∈[1,e],总存在 x2∈[1,e],使得 f(x1)+f(x2)=4,即 f(x1)=g(x2) , 所以 即 ,

所以 f(1)+f(e)=a﹣e+3=4,解得 a=e+1,
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综上所述,实数 a 的值为 e+1. 【点评】本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,分类讨论思想,是 一道难题.

20. (16 分) (2015 春?溧阳市期末) 已知数列{an}, {bn}满足: a1= , an+bn=1, bn+1=

(1)证明:{

}是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
*

(2)设 Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,不等式 4aSn<bn 对任意的 n∈N 恒成立,求实数 a 的 取值范围; (3)是否存在正整数 m,k,使( ﹣2) =(
2

﹣3) (

﹣2)+19 成立?若存在,求出

m,k 的值;若不存在,请说明理由. 【分析】 (1)通过 an+bn=1 变形可知 bn+1= ,变形、求倒数整理可知 =﹣

1+ 结论;

,进而可知数列{

}是以﹣4 为首项、﹣1 为公差的等差数列,进而计算可得

(2)通过(1)可知 an=

,裂项可知 anan+1=



,并项相加可知 Sn=
2



从而 4aSn﹣bn=
*

,问题转化为 f(n)=(a﹣1)n +(3a﹣6)

n﹣8<0 对任意的 n∈N 恒成立,分 a=1、a>1、a<1 三种情况讨论即得结论; 2 (3)假设命题成立可知(k+1) =m(m+1)+19,变形、整理可知(2k+2m+3) (2k﹣2m+1) =75=75×1=25×3=15×5,进而可得结论. 【解答】 (1)证明:∵an+bn=1, ∴bn+1= = = = ,

∴bn+1﹣1=

﹣1=



两边同时取倒数可知:

=﹣1+



又∵

=﹣

=﹣4,

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∴数列{

}是以﹣4 为首项、﹣1 为公差的等差数列,



=﹣4﹣(n﹣1)=﹣(n+3) ,

∴数列{bn}的通项公式 bn=1﹣

=

; = , ,

(2)解:由(1)可知 an=1﹣bn=1﹣ ∴anan+1= = ﹣

∴Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 = ﹣ + ﹣ +…+ = ﹣ = , ﹣

∴4aSn﹣bn=



=
*



∵不等式 4aSn<bn 对任意的 n∈N 恒成立, 2 * ∴(a﹣1)n +(3a﹣6)n﹣8<0 对任意的 n∈N 恒成立, 2 记 f(n)=(a﹣1)n +(3a﹣6)n﹣8,则 * 当 a=1 时,f(n)=﹣3n﹣8<0 对任意的 n∈N 恒成立; * 当 a>1 时,由二次函数的性质知,f(n)<0 不可能对任意的 n∈N 恒成立; 当 a<1 时,对称轴﹣ ? =﹣ (1﹣ )<0,

要使 f(n)在[1,+∞)上为单调递减函数,只需 f(1)<0 即可, ∴f(1)=a﹣1+3a﹣6﹣8=4a﹣15<0,即 a<
*



∴当 a<1 时,4aSn<bn 对任意的 n∈N 恒成立; * 综上所述,当 a≤1 时,4aSn<bn 对任意的 n∈N 恒成立; (3)结论:存在正整数 m,k,使( 理由如下: 假设存在正整数 m,k,使(
2

﹣2) =(

2

﹣3) (

﹣2)+19 成立.

﹣2) =(

2

﹣3) (

﹣2)+19 成立,

则(k+1) =m(m+1)+19, 整理得:[(2k+2)+(2m+1)][(2k+2)﹣(2m+1)]=75, 即(2k+2m+3) (2k﹣2m+1)=75=75×1=25×3=15×5, ∴ 或 或 ,

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解得:







【点评】 本题是一道关于数列与不等式的综合题, 考查运算求解能力, 注意解题方法的积累, 属于中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;sxs123;qiss;wkl197822;翔宇老师;maths;刘 长柏;wsj1012;吕静;双曲线;wfy814;1619495736;cst(排名不分先后) 菁优网 2016 年 6 月 3 日

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