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2018年高中数学北师大版必修五达标练习:第1章 §3-3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式 Word版含解析

1

[A 基础达标]

1.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比 q 为( )

A.2

B.4

C.8

D.16

解析:选 B.由 anan+1=16n,知 a1a2=16,a2a3=162,后式除以前式得 q2=16,所以 q=±4. 因为 a1a2=a21q=16>0,所以 q>0,所以 q=4. 2.已知数列 a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数 a 的取值范围是( )

A.a≠1

B.a≠0 或 a≠1

C.a≠0

D.a≠0 且 a≠1

解析:选 D.由于 a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则 a 需满足 a≠0,a(1-a)≠0,a(1

-a)2≠0,所以 a≠0 且 a≠1.

3.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1,若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于( )

A.9

B.10

C.11

D.12

解析:选 C.在等比数列{an}中,因为 a1=1,所以 am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10.又因为 am= qm-1,所以 m-1=10,所以 m=11.

4.在数列{an}中,a1=1,点(an,an+1)在直线 y=2x 上,则 a4 的值为( )

A.7

B.8

C.9

D.16

解析:选 B.因为点(an,an+1)在直线 y=2x 上, 所以 an+1=2an. 因为 a1=1≠0, 所以 an≠0, 所以{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 所以 a4=1×23=8. 5.一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列,其公比为( )

5 A.3

B.43

3 C.2

D.12

解析:选 A.设这个数为 x,

则(50+x)2=(20+x)·(100+x),

解得 x=25,

所以这三个数为 45,75,125,公比 q 为4755=53.

2

1
6.(1)把下面数列填上适当的数. 32,16,________,4,2,1. (2)数列 2,4,8,16,32,…,的一个通项公式为________. 解析:(1)公比为12的等比数列. (2)该数列为等比数列,首项 a1=2,公比 q=2,所以 an=a1qn-1=2n. 答案:(1)8 (2)an=2n 7.已知等比数列{an}的前三项为 a-2,a+2,a+8,则22aa13+ +aa24等于________. 解析:由题意知(a+2)2=(a-2)(a+8), 所以 a=10, 所以{an}的首项为 8,公比为32,
即 an=8×??32??n-1,
所以22aa13+ +aa24=2×2×8×8+ 94+8× 8×23287=49. 答案:49 8.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=________. 解析:由题意得 2q2-2q=4,解得 q=2 或 q=-1.又{an}单调递增,得 q>1,所以 q=2. 答案:2 9.在等比数列{an}中,a3=32,a5=8. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若 an=12,求 n. 解:(1)因为 a5=a1q4=a3q2, 所以 q2=aa53=14. 所以 q=±12. 当 q=12时,an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3qn-3=
32×??12??n-3=28-n;
当 q=-12时,an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3qn-3=
2

1

32×??-12??n-3.

所以 an=28-n 或 an=32×??-12??n-3. (2)当 an=12时,28-n=12或 32×??-12??n-3=12,解得 n=9.

10.已知各项都为正数的数列{an}满足 a1=1,a2n-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 解:(1)由题意可得 a2=12,a3=14.

(2)由 a2n-(2an+1-1)an-2an+1=0 得 2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数,

所以aan+n 1=12. 故{an}是首项为 1,公比为12的等比数列,因此 an=2n1-1.

[B 能力提升]

11.设 x∈R,记不超过 x 的最大整数为[x],如[2.5]=2,[-2.5]=-3,令{x}=x-[x],则

? ? ?

52+1???,???

52+1???,

52+1,三个数构成的数列(

)

A.是等比数列但不是等差数列

B.是等差数列但不是等比数列

C.既是等差数列又是等比数列

D.既不是等差数列也不是等比数列

解析:选 A.因为???

52+1???=1,所以???

5+1??= 2?

52+1-???

52+1???=

52+1-1=

52-1.由于

5-1 2·

52+1=12,

52-1+

52+1=

5≠2×1,所以

52-1,1,

52+1成等比数列,不成

等差数列,即??
?

52+1???,???

52+1???,

52+1成等比数列,不成等差数列.

12.已知等比数列{an}中,a1=1,且 a1,12a3,2a2 成等比数列,则 an=________.

解析:设等比数列{an}的公比为 q, 则 a2=q,a3=q2.因为 a1,12a3,2a2 成等比数列,

所以14q4=2q,解得 q=2,所以 an=2n-1.

2

1
答案:2n-1 13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1. (1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式; (2)设 bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列. 解:(1)因为 Sn=2an+1,所以 Sn+1=2an+1+1, Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1) =2an+1-2an, 所以 an+1=2an①, 由已知及①式可知 an≠0. 所以由aan+n 1=2,知{an}是等比数列. 由 a1=S1=2a1+1, 得 a1=-1,所以 an=-2n-1. (2)证明:由第一问知,an=-2n-1, 所以 bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1. 所以数列{bn}是等比数列. 14.(选做题)在公差不为 0 的等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3. (1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比; (2)是否存在 a,b,使得对于一切自然数 n,都有 an=logabn+b 成立?若存在,求出 a,b; 若不存在,请说明理由. 解:(1)设{an}的公差为 d(d≠0),{bn}的公比为 q(q≠0),由已知 a1=b1=1,a2=b2,得 1+d =q.由 a8=b3,得 1+7d=q2,解得?????qd= =10,(舍去)或?????qd==65,,即数列{an}的公差为 5,数列{bn} 的公比为 6. (2)假设存在 a,b,使得 an=logabn+b 成立,即 1+(n-1)·5=loga6n-1+b,所以 5n-4=(n -1)loga6+b,所以(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.要使上式对于一切自然数 n 成立,必须且
只需?????54- +lbo-gal6o=ga06, =0.解得?????ba==15. 6,因此,存在 a=5 6,b=1 使得结论成立.
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