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10-11学年高二下学期教学质量检测(数学理)


2010~2011学年度普通高中教学质量监测

高二级理科数学
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、 错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

第一卷
项是符合题目要求的.

选择题

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 1.若集合 A ? { 0 , m 2 } , B ? {1 , 2 } ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? { 0 , 1 , 2 } ”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 2.若复数
a ? 3i 1 ? 2i A.-2

)

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 )

(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为(

B.4 C.-6 D.6 3.如图,下列四个几何体中,它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的 ) 是(

(1)棱长为 2 的正方体

(2)底面直径和高均为 2 的圆柱

(3)底面直径和高均为 2 的圆锥

(4)长、宽、高分别为 2、3、4 的长方体

-1-

A.(1)(2)

B.(1)(3)

C.(2)(3)

D.(1)(4) )

4. 已知直线 x ? y ? a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 有交点,则实数 a 的取值范围是( A.

? ? 2, 2 ?

B.

? ? 2, 2 ?

C. ? ? 2 , 2 ? ? ?

D.

? ?? , ? 2 ? ? ? 2, ?? ?
).

5.直线 y ? kx ? b与 曲 线 y ? x 3 ? ax ? 1 相切于点(2,3),则k的值为( A. 5 B. 6 C. 4 D. 9

6 . 下 表是 某 工厂 10 个车 间 2011年 3月 份 产 量的 统 计 表, 1 到10 车 间的 产 量 依次 记为
A 1, A 2, ?, A 10 (如: A6 表示6号车间的产量为980件),图2是统计下表中产量在一定范

围内车间个数的一个算法流程图,那么算法流程(图2)输出的结果是( 车间 产量 A. 5 1 2 3 930 C. 4 4 5 6 7 960 8 900 9 1080 900 B.6 850 1500 980 D. 7

). 10 830 1250

7.在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,
a ? ?b ? c ?
2 2



bc

???? ??? ? ? ? 1 ,且 AC ? AB ? ? 4 ,则
) B. 4 3 D. 4 2

? ABC 的面积等于 (
A. 5 3 C. 2 3 8.

则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为( A.1 B.2 C.3

) D.4

第二卷
(一)必做题(9~13题)

非选择题

二、填空题:本大题共7小题.考生作答6小题.每小题5分,满分30分.

9.一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是 .
(1)

(1)

(2)

(2)

-2-

(3)

(3)

(4)

(4)

10.对于平面上的点集 ? ,如果连接 ? 中任意两点的线段必 定包含于 ? ,则称 ? 为平面上的凸集。给出平面上4个 点集的图形如右(阴影区域及其边界),其中为凸集的是 (写出其中所有凸集相应图形的序号). 11. ? x ?
? ? 1 ? ? 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数一共是 4x ?
10

项.

12.已知点P是不等式组 ?

? y ? x ?1 ?2 x ? y ? 3 ? 0

所表示的可行域内的一动点,则点P到抛物线 x 2 ? 4 y

的焦点F的距离的最小值是



13.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相 互之间没有影响.有下列结论:(1)他第3次击中目标的概率是0.9;(2)他恰好击中目标3 次的概率是 0 .9 3 ? 0 .1 ;(3)他至少击中目标1次的概率是 1 ? 0 .1 4 . 其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号).

选做题
在下列两道题中任选一道作答,若作答两道,则按作答前一道计分。 14.(几何证明选讲选做题)如图所示,圆的内接△ABC的∠C的平分线CD E 延长后交圆于点E,连接BE,已知BD=3,CE=7,BC=5,则线段 BE= D B
π 6

A



C )=2,则极

15.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,直线 l 的 极坐标方程为ρ sin(θ + 点在直线 l 上 的射影的极坐标是__________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知函数 数 f ( x ) 的最小正周期为
?
2

,( ? >0),若函



(1)求 ? 的值,并求函数 f ( x ) 的最大值; (2)若 0<x<
π 16

,当 f (x)=

6 2

时 ,求

1 ? tan 4 x 1 ? tan 4 x

的值.

17.(本小题满分13分)为抗击金融风暴,某工贸系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持, 该系统先根据相关评分标准对各个企业进行了评估,并依据评估得分将这些企业分别评

-3-

定为优秀、良好、合格、不合格4个等级,然后根据评估等级分配相应的低息贷款金额, 其评估标准和贷款金额如下表: 评估得分 评定类型 贷款金额(万元) [50,60) 不合格 0 [60,70) 合格 200 [70,80) 良好 400
频率 组距

[80,90] 优秀 800

为了更好地掌控贷款总额, 该系统随机抽查了所属部 分企业的评估分数,得其频率分布直方图如下: (1)估计该系统所属企业评估得分的中位数及平均分; 0.040 (2)该系统要求各企业对照评分标准进行整改,若整改 0.025 后优秀企业数量不变,不合格企业、合格企业、良好企业 0.020 0.015 的数量依次成等差数列,系统所属企业获得贷款的均值 (即数学期望)不低于410万元,那么整改后不合格企业占 企业总数的百分比的最大值是多少? 18.(本小题满分13分) O

50 60 70 80 90

分数

已知数列 {a n }, S n 是其前 n 项和,且 a n ? 7 S n ?1 ? 2( n ? 2), a1 ? 2 . (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 bn ?
1 log 2 a n ? log 2 a n ?1 , Tn 是数列 {b n } 的前 n 项和,求T10的值.

19.(本小题满分14分) 如图, 直二面角 D ? AB ? E 中, 四边形 ABCD 是正方形,
AE ? EB , F 为CE上的点,且 BF ? 平面 ACE .

(1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)求二面角 B ? AC ? E 的余弦值. 20.(本小题满分14分)
3 2 2 已知椭圆G与双曲线 12 x ? 4 y ? 3 有相同的焦点,且过点 P (1, ) . 2 (1)求椭圆G的方程;

(2)设 F1 、 F2 是椭圆G的左焦点和右焦点,过 F2 的直线 l : x ? my ? 1 与椭圆G相交于A、B 两点, 请问 ? ABF1 的内切圆M的面积是否存在最大值?若存在, 求出这个最大值及直线 l 的方 程,若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分14分) 已知函数 f (x)=-
1 3

x3+bx2+cx+bc,
4 3

(1)若函数 f (x)在 x=1处 有极值-

,试确定 b、c的 值;

-4-

(2)在(1)的条件下,曲线y=f(x)+m与x轴仅有一个交点,求实数m的取值范围; (3)记g(x)=|f′ x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的取 ( 值范围. (参考公式:x3-3bx2+4b3=(x+b)(x-2b)2)

汕头市 2010-2011 学年高中二年级质量检测试题答案
数学(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 D 6 B 7 C 8 B

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题 (11~13 题) 3 9. .10. (2)(3) .11. 2 .12.______ 2 _________ 5 13.___ ①③_______ (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.
21 5
? ? .15. ? 2, ? 3 ? ?. ?

4. 选 A

解 析 : 圆 的 圆 心 为 C (2, ? 2) , 半 径 为 r ?

2 ,依题意得

| 2 ? 2? a | ? 2

2 解得

?2 ? a ? 2

5.选 D.解析: 直线 y ? kx ? b 与 曲 线 y ? x 3 ? ax ? 1 相切于点(2,3) ,且 y ? ? 3 x ? a
2

?3 ? 2 k ? b ? 3 ? ?3 ? 2 ? 2 a ? 1 ? ? 2 ?3 ? 2 ? a ? k

?a ? ?3 ? ?k ? 9

6. 选 B.解析:算法流程图输出的结果是“产量大于 900 件的车间数”,从表中可知 1、3、5、6、 7、10 共 6 个车间的产量大于 900 件.

-5-

7. 选 C.解析:由

a ? ?b ? c ?
2

2

bc

? ? 1 和余弦定理可得 cos A ? ?

1 2

, ?A?

2? 3

又因为 AC ? AB ? ? 4 ,
? S ? ABC ? 1 2

即 AC ? AB cos A ? ? 4 , ? AC ? AB ? 8
1 2 ? 8 ? sin 2? 3 ?2 3
1 4x 1
10 ? 3 r r 2

AC ? AB sin A ?

11.填:2.解析:展开式通项为 Tr+1= C ( x ) 的正整数指数幂,即 5 ?
3 2

r 10

10 ? r

(?

) ? C (? ) x 4
r r 10

,若展开式中含 x

r ∈N*,且 0≤r≤10,r∈N,所以 r ? 0 或 r ? 2 .
2

12.填 2 .解析: 点 P 到抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 的距离的最小值为焦点 F(0,1)到直线
x ? y ? 1 ? 0 的距离.

14 . 填

21 5

. 因 为 EC 平 分 ∠ACB, 所 以 ∠ACE=∠ECB, 又 因 为 ∠ACE=∠ABE, 所 以
BE CE ? BD BC

∠ABE=∠ECB,所以 ? BED ∽ ? CEB ,?
? ? 15. 填 ? 2, ? 3 ? ?. ?

, ? BE ?

21 5

.

极点在直线 l 上的射影是直线上 ? 取得最小值的点, 把 ? sin(? ? ,可知,当 sin( ? ?
)

?
6

)?2变

形为 ? ?

2 sin( ? ?

?
6

?
6

) ? 1 即? ?

?
3

时, ? 取得最小值 2.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16.解:(1)
f ( x ) ? 2 sin ? x cos ? x ? cos ? x ? sin ? x ? sin 2? x ? cos 2? x ?
2 2

2 sin( 2? x ?

?
4

) …………2 分

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 此时 f ( x ) ?
2 sin( 4 x ?
6 2

?
2

,所以 T ?

2? 2?

?

?
2

,即 ? ? 2 ………………3 分

?
4

) ,所以 f ( x ) 的最大值为 2 .……………5 分

(2) 当 f ( x ) ?

时,即 f ( x ) ?

2 sin( 4 x ?

?
4

)?

6 2

,

化简得 sin( 4 x ? 因为 0 ? x ?

?
4

)?

3 2

.………………7 分

?
16

,所以

?
4

? 4x ?

?
4

?

?
2

,

所以 4 x ?

?
4

?

?
3

.………………9 分

-6-

1 ? tan 4 x 1 ? tan 4 x

tan ?

?
4

? tan 4 x

1 ? tan

?
4

? tan( 4 x ? tan 4 x

?
4

) ? tan

?
3

?

3 .………………12 分

17.解:(1)因为 0.015×10=0.15, 0.04×10=0.4,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的面 积相等,所以中位数在区间[60,70)内, 设中位数为 x,则(60-50)×0.015+(x-60)×0.04=0.5,解得 x=68.75 所以估计该系统所属企业评估得分的中位数是 68.75. ………………2 分 平均分为:55×0.15+65×0.4+75×0.2+85×0.25=70.5 分. ………………4 分 (2)依题意,整改后优秀企业的频率为 10×0.025=0.25, ………………5 分 不合格企业,合格企业,良好企业的频率成等差数列,设该等差数列的首项为 a,公差为 d,则
3 a ? 3 d ? 1 ? 0 .25 ? 0 .75 , 即 a ? d ? 0 .25 ………………7 分

设该系统所属企业获得贷款的均值为 E ? ,则
E ? ? a ? 0 ? ( a ? d ) ? 200 ? ( a ? 2 d ) ? 400 ? 0 . 25 ? 800 ? 0 . 25 ? 200 ? ( 0 . 25 ? d ) ? 400 ? 0 . 25 ? 800 ? 400 d ? 350 ? 400 ( 0 . 25 ? a ) ? 450 ? 400 a

………………10 分 由 E ? ≥410,得 450-400a≥410,即 a≤0.1. ………………12 分 ………………13 分

故整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是 10%.

18.解: (1)? n ? 2 时, a n ? 7 S n ?1 ? 2,? a n ?1 ? 7 S n ? 2 ,? a n ?1 ? a n ? 7 a n ……………2 分
? a n ?1 ? 8 a n ( n ? 2) ………………3 分

又 a1 ? 2

? a 2 ? 7 a1 ? 2 ? 16 ? 8 a1 ,

? a n ?1 ? 8 a n ( n ? N )

?

? {a n } 是一个以 2 为首项,8 为公比的等比数列

? an ? 2 ? 8

n ?1

?2
1

3n ?2

……………6 分
? 1 (3 n ? 2)(3 n ? 1) ? 1 1 ? 1 3n ? 1 ) ……………8 分

(2) bn ?

log 2 a n ? log 2 a n ?1

3 3n ? 2

(

-7-

Tn ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 3? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 ? 3 ? 3n ? 1 ?

?

T10 ?

10 31

………………13 分

19.解: (1)? BF ? 平面 ACE ,? BF ? AE ………………2 分 ∵二面角 D ? AB ? E 为直二面角,且 CB ? AB ,
? CB ? 平面 ABE ,? CB ? AE
? AE ? 平面 BCE .………………6 分

………………4 分

(2) (法一)连接 BD 与 AC 交于 G ,连接 FG,设正方形 ABCD 的边长为 2,
? BG ? AC , BG ? 2 ,………………7 分

? BF 垂直于平面 ACE ,由三垂线定理逆定理得 FG ? AC
? ? BGF 是二面角 B ? AC ? E 的平面角………………9 分

由(1) AE ? 平面 BCE ,? AE ? EB ,
? AE ? EB , BE ? 2.

∴在 Rt ? BCE 中, EC ?

BC ? BE ?
2 2

BC ? BE 2 ? 2 2 3 6 , ………………10 分 ? BF ? ? EC 3 6
BF ? BC ? BE EC ? 2? 6 2 ? 2 3 3















,



GF ?

GB ? BF
2

2

?

2 3

?

6 3
6

∴在 Rt ? BFG 中, cos ? BGF ?

GF

3 ? 3 ? GB 3 2
3 3

故二面角 B ? AC ? E 的余弦值为

.………………14 分

(2) (法二)利用向量法,如图以 AB 之中点 O 为坐标原点 建立空间坐标系 O ? xyz ,………………7 分

-8-



A (0, ? 1, 0), B (0,1, 0), C (0,1, 2), E (1, 0, 0) ……………8 分

??? ? ??? ? ???? ??? ? ? BC ? (0, 0, 2), BA ? (0, ? 2, 0), AC ? (0, 2, 2), AE ? (1,1, 0) ,………9 分

???? ? n1 ? AC ? 0 ? 设平面 ACE 的法向量分别为 n1 ,则由 ? 得 n1 ? ( ? 1,1, ? 1) , ??? ? ? n1 ? AE ? 0 ?

??? ? 而平面 BAC 的一个法向量 n 2 ? OE ? (1, 0, 0) ………………11 分
? cos ? n1 ? n 2 ?? n1 ? n 2 | n1 ? n 2 | ?? 3 3

………………13 分

∵二面角 B ? AC ? E 为锐角,
3 3

故二面角 B ? AC ? E 的余弦值为

.…………14 分

(注:上述法向量都得加箭头,请自行更正)

20. 解 : (1) 双 曲 线 12 x ? 4 y ? 3 的 焦 点 坐 标 为 ( ? 1, 0) , 所 以 椭 圆 的 焦 点 坐 标 为
2 2

F1 ( ? 1, 0), F2 (1, 0) ………………1 分

设椭圆的长轴长为 2a ,则 2 a ?| PF1 | ? | PF2 |? 4 ,即 a ? 2 ,
3 又 c ?1 , 所 以 b ? a ? c ?
2 2 2

∴椭圆 G 的方程

x

2

4

?

y

2

3

? 1 ………………5 分

(2)如图,设 ? ABF1 内切圆 M 的半径为 r ,与直线 l 的切点为 C,则三角形 ? ABF1 的面积等于
? ABM 的面积+ ? AF1 M 的面积+ ? BF1 M 的面积.

即 S △ ABF1 ?

1 2

? AB

? AF1 ? BF1 ? r ?

1 2

? ( AF1 ? AF2 ) ? ( BF1 ? BF2 ) ? r ? 2 ar ? 4 r ? ?

当 S △ ABF1 最大时, r 也最大, ? ABF1 内切圆的面积也最大, ………………7 分 设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ( y1 ? 0, y 2 ? 0 ),则 S △ ABF1 ?
1 2 F1 F2 ? y1 ? 1 2 F1 F2 ? y 2 ? y1 ? y 2 ,

? x ? my ? 1 ? 2 2 2 由 ? x2 ,得 (3m ? 4) y ? 6 my ? 9 ? 0 ,………………9 分 y ? ?1 ? 3 ? 4
-9-

解得 y1 ?

? 3m ? 6 m ? 1
2

3m ? 4
2

, y2 ?

? 3m ? 6 m ? 1
2

3m ? 4
2

,

∴ S △ ABF1 ? 有 S △ ABF1 ?

12 m ? 1
2

3m ? 4
2

,令 t ?
? 12 t

m ? 1 ,则 t ? 1 ,且 m ? t ? 1 ,
2
2 2

12 t 3( t ? 1) ? 4
2

3t ? 1
2

?

12 3t ? 1 t

,令 f ( t ) ? 3t ?

1 t

,则 f ?( t ) ? 3 ?

1 t
2

,……………11 分

当 t ? 1 时, f ?( t ) ? 0 , f ( t ) 在 [1, ?? ) 上单调递增,有 f ( t ) ? f (1) ? 4 , S △ ABF1 ? 即当 t ? 1 , m ? 0 时, 4r 有最大值 3 ,得 rmax ?
3 4

12 4

? 3,

,这时所求内切圆的面积为
9 16

9 16

? ,……………12 分

∴存在直线 l : x ? 1 , ? ABF1 的内切圆 M 的面积最大值为

? . ………………13 分

4 ? ?b ? 1 ?b ? ? 1 ? f (1) ? ? 21. 解:(1)解 ? 或? .………………2 分 3 得? ?c ? ?1 ?c ? 3 ? f / (1) ? 0 ?
?b ? 1 1 3 2 2 2 若? , f ( x ) ? ? x ? x ? x ? 1 , f ?( x ) ? ? x ? 2 x ? 1 ? ? ( x ? 1) ? 0 3 ?c ? ?1
f ( x ) 在 R 上单调递减,在 x ? 1 处无极值;

?b ? ? 1 1 3 2 2 若? , f ( x ) ? ? x ? x ? 3 x ? 3 , f ?( x ) ? ? x ? 2 x ? 3 ? ? ( x ? 1)( x ? 3) , c?3 3 ? ?b ? ? 1 直接讨论知, f ( x ) 在 x ? 1 处有极大值,所以 ? 为所求. ………………4 分 ?c ? 3

(2)由(1) y ? f ( x ) ? m ? ?

1 3

x ? x ? 3 x ? 3 ? m , y 极 小 值 = m ? 12, y 极 大 值 = m ?
3 2

4 3

,………6 分

当 y 极 小 值 = m ? 12 ? 0, 或 y 极 大 值 = m ?

4 3

? 0 ,曲线 y ? f ( x )+m 与 x 轴仅有一个交点.………8 分

因此,实数 m 的取值范围是 m ? 12 或 m ?
2 2

4 3

.……………9 分

(3) g ( x ) ?| ? ( x ? b ) ? b ? c | .若 | b |? 1 , 则 f ?( x ) 在 [? 1 , 1] 是单调函数,
M ? max ?| f ?( ? 1) | , | f ?(1) |? ? ?| ? 1 ? 2 b ? c | , | ? 1 ? 2 b ? c |? , 因 为 f ?(1) 与 f ?( ? 1) 之

差的绝对值 | f ?(1) ? f ?( ? 1) |?| 4 b |? 4 ,所以 M ? 2 .………………11 分 若 | b |? 1 , f ?( x ) 在 x ? b ? [? 1 , 1] 取极值,

- 10 -

2 则 M ? max ?| f ?( ? 1) | , | f ?(1) | , | f ?( b ) |? , f ?( b ) ? f ?( ? 1) ? ( b ? 1) .

若 ? 1 ? b ? 0 , f ?(1) ? f ?( ? 1) ? f ?( b ) ,
M ? max ?| f ?(1) | , | f ?( b ) |? ? 1 2 | f ?(1) ? f ?( b ) |? 1 2 ( b ? 1) ?
2

1 2



若 0 ? b ? 1 , f ?( ? 1) ? f ?(1) ? f ?( b ) ,
M ? max ?| f ?( ? 1) | , | f ?( b ) |? ?
1 2 | f ?( ? 1) ? f ?( b ) |? 1 2 1 2 ( b ? 1) ?
2

1 2

.
1 2

当b ? 0 ,c ?

1 2

时, g ( x ) ? | f ?( x ) |? | ? x ?
2

| 在 [? 1 , 1] 上的最大值 M ?

.…………13 分

? 所以, k 的取值范围是 ? ?? , ?

1? ? .………………14 分 2?

- 11 -

- 12 -

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 13 -


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