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2017_2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.2函数的最大值、最小值课后提升训练新人教A版必修1

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函数的最大值、最小值
(45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2017·青岛高一检测)函数 y=x- 在[1,2]上的最大值为 ( A.0 B. C.2 D.3 ) 70 分)

【解析】选 B.因为函数 y=x- 在[1,2]上是增函数,所以 ymax=2- = .

2.若函数 f(x)= A.10 B.9 C.8

则 f(x)的最大值为 ( D.7

)

【解析】选 B.当 x≤1 时,f(x)=4x+5,此时 f(x)max=f(1)=9; 当 x>1 时,f(x)=-x+9, 此时 f(x)<8.综上 f(x)max=9. 3.将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,已知该商品每涨价 1 元,其 销售量就减少 20 个,为了赚得最大利润,售价应定为 ( A.每个 95 元 C.每个 105 元 B.每个 100 元 D.每个 110 元
2

)

【解析】 选 A.设售价为 x 元,利润为 y 元,则 y=[400-20(x-90)](x-80) =-20(x-95) +4500(80 ≤x≤110),所以当 x=95 时,y 有最大值 4500. 4.设 a,b∈R,且 a>0,函数 f(x)=x +ax+2b,g(x)=ax+b,在[-1,1]上 g(x)的最大值为 2,则 f(2) 等于( A.4 ) B.8 C.10 D.16
2

【解析】选 B.因为 a>0,所以 g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数,又 g(x)的最大值为 2,所以 a+b=2.所以 f(2)=4+2a+2b=4+2(a+b)=8. 5.(改编)若函数 y=ax+1 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 2,则 a 的值 是 ( )
1

A.2 C.2 或-2

B.-2 D.0

【解析】选 C.当 a=0 时,不满足题意; 当 a≠0 时,f(x)=ax+1 在[1,2]上单调, 故|f(1)-f(2)|=2,即|a+1-(2a+1)|=2, 所以 a=±2. 6.(2017·贵阳高一检测)函数 y= A.[1, ] B.[2,4] + ,2]. +x 的值域是 ( B. D.[1,+∞) 和 y=x 在 = . ) 上都是增函数,所以 f(x)在 ) C.[ + ,2]
2

的值域为 ( D.[1, ]

)

【解析】 选 C.因为 y= 所以 y ∈[2,4],所以 y∈[ 【补偿训练】函数 f(x)= A. C.(0,+∞) 【解析】 选 A.因为 y=
2

,所以 y =2+2

,

上是增函数.所以 f(x)≥f(x)min=f 7.已知 f(x)= A. 与 C. 与 【解析】选 A.由 f(x)=

,则 f(x+2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为 ( B. 与 1 D. 与 ,所以 y=f(x+2)= ,

因为 y= 在[2,8]上单调递减, 所以 ymin=f(8)= ,ymax=f(2)= . 8.(2017·大庆高一检测)函数 f(x)=x -2x+3 在区间[0,a]上的最大值为 3,最小值为 2,则实 数 a 的取值范围为 ( A.(-∞,2] C.[1,+∞) ) B.[0,2] D.[1,2]
2
2

【解析】选 D.由 f(x)=x -2x+3=(x-1) +2 知,当 x=1 时,f(x)最小,且最小值为 2.当 f(x)=3, 即 x -2x+3=3 时,得 x=0 或 x=2,结合图象知 1≤a≤2. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 9.(2016·北京高考)函数 f(x)= (x≥2)的最大值为________.
2

2

2

【解题指南】把 x-1 看成 t,再分离常数转化为反比例函数问题. 【解析】令 t=x-1(t≥1),则 x=t+1,所以 y= 以 f(x)的最大值为 2. 答案:2 10.用长度为 24 米的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长 度为________米. 【解析】设隔墙长度为 x 米,场地面积为 S 米 ,则 S=x· 当 x=3 时,S 有最大值 18 米 . 答案:3 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 11.(2017·浏阳高一检测)已知二次函数 y=x +2ax+3,x∈[-4,6]. (1)若 a=-1,写出函数的单调增区间和减区间. (2)若 a=-2,求函数的最大值和最小值. (3)若函数在[-4,6]上是单调函数,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=-1 时,y=x -2x+3=(x-1) +2,因为 x∈[-4,6],所以函数的单调递增区间为 [1,6],单调递减区间为[-4,1). (2)当 a=-2 时,y=x -4x+3=(x-2) -1,因为 x∈[-4,6],所以函数的单调递增区间为[2,6],单调 递减区间为[-4,2),所以函数的最大值为 f(-4)=35,最小值为 f(2)=-1. (3)由 y=x +2ax+3=(x+a) +3-a 可得:函数的对称轴为 x=-a,因为函数在[-4,6]上是单调函数, 所以 a≤-6 或 a≥4. 【补偿训练】(2017·菏泽高一检测)设 y=x +mx+n(m,n∈R),当 y=0 时,对应 x 值的集合为 {-2,-1}. (1)求 m,n 的值. (2)若 x∈[-5,5],求该函数的最值. 【解析】(1)当 y=0 时,即 x +mx+n=0,
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=1+ (t≥1).所以 0< ≤1,所以 1<1+ ≤2.所

=12x-2x =-2(x-3) +18.所以

2

2

则 x1=-1,x2=-2 为其两根, 由根与系数的关系知:x1+x2=-2+(-1)=-3=-m, 所以 m=3,x1·x2=-2×(-1)=2=n, 所以 n=2. (2)由(1)知:y=x +3x+2= 因为 x∈[-5,5],所以,当 x=- 时, 该函数取得最小值 f(x)min=f 又因为 f(-5)=12,f(5)=42, 所以当 x=5 时,该函数取得最大值 f(x)max=f(5)=42. 12.(2017·石家庄高一检测)已知函数 f(x)=x+ . (1)证明:函数 f(x)=x+ 在 x∈[2,+∞)上是增函数. (2)求 f(x)在[4,8]上的值域. 【解析】(1)设 2≤x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+ =(x1-x2) 因为 2≤x1<x2, 所以 x1-x2<0,x1x2>4, 即 0< <1,所以 1>0, , -x2=x1-x2+ =- ,
2

- ,

所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在[2,+∞)上是增函数. (2)由(1)知 f(x)在[4,8]上是增函数, 所以 f(x)max=f(8)= 所以 f(x)的值域为 【能力挑战题】 (2017· 济宁高一检测)某专营店销售某运动会纪念章,每枚进价 5 元,同时每销售一枚这种纪 念章需向荆州筹委会交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店 一年可销售 2000 枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基础上每减少 ,f(x)min=f(4)=5, .

4

一元则增加销售 400 枚,而每增加一元则减少销售 100 枚,现设每枚纪念章的销售价格为 x 元,x 为整数. (1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润 y(元)与每枚纪念章的销售价格 x(元)的 函数关系式,并写出这个函数的定义域. (2)当每枚纪念章销售价格 x 为多少元时,该特许专营店一年内利润 y(元)最大,并求出最大 值. 【解析】(1)依题意 y= 所以 y=

定义域为{x∈N |7<x<40}. (2)因为 y=

*

所以当 7<x≤20 时, 则 x=16 时,ymax=32400(元) 当 20<x<40 时, 则 x=23 或 24 时,ymax=27200(元). 综上,当 x=16 时,该特许专营店一年内获得的利润最大,为 32400 元.

5



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