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2017-2018年天津市南开中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

2017-2018 学年天津市南开中学高二(上)期中数学试卷(理科) 一、选择题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 1. (4 分)过点 P(2,1)且和直线 3x﹣2y+5=0 垂直的直线的方程为( A.3x﹣2y﹣4=0B.3x+2y﹣8=0 C.2x﹣3y﹣1=0 D.2x+3y﹣7=0 2. (4 分)已知 A(1,3) ,B(2,6) ,则以 AB 为直径的圆的方程为( A.x2+y2﹣3x﹣9y+20=0 B. C. D.x2+y2﹣6x﹣18y+80=0 ) ) 3. (4 分)不重合的两条直线 a,b 和不重合的两个平面 α,β,下面的几个命题: ①若 a∥α,且 b∥α,则 a∥b; ②若 a,b 与平面 α 成等角,则 a∥b;③若 a∥α,a∥β,且 α∩β=b,则 a∥b; ④若 a∥α,a∥β,则 α∥β;⑤若 a,b 异面,且 a,b 均与平面 α 和 β 平行,则 α∥β.在这 5 个命题中,真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ) 4. (4 分)设 α,β,γ 是三个互不重合的平面,l 是直线,给出下列命题 ①若 α⊥β,β⊥γ,则 α∥γ; ②若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l∥α; ③若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β; ④若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则 l⊥γ. 其中正确的命题是( A.①② B.②③ ) C.②④ D.③④ 5. (4 分)如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 A1D1 和 B1C1 的中点,则异面直线 DN 和 MB 所成角的余弦值为( ) 第 1 页(共 22 页) A. B. C. D. 6. (4 分)已知三棱锥 P﹣ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA=1,PB=2,PC=3, 则点 P 到平面 ABC 的距离为( A. B. C. D. ) 7. (4 分)已知四面体 ABCD 中,∠BAC=90°,∠DAB=45°,∠DAC=60°,则二面 角 B﹣AD﹣C 的余弦值为( A. B. C. ) D. 8. (4 分)已知矩形 OABC,其中 O 为坐标原点,A(3,0) ,B(3,2) ,C(0, 2) .从点 M(1,0)射出的光线所在直线的斜率为 k,光线分别经过线段 AB, 线段 BC 和线段 CO 的反射,交线段 OA 于点 T.若点 T 在线段 MA 上,则 k 的取 值范围是( ) A.[ , ] B.[ , ] C.[0,1] D.[ , ] 二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 9. (4 分)某几何体的三视图如图所示,则其体积为 . 10. (4 分)已知一个球与一个棱长为 1 的正方体的每条棱都相切,则这个球的 表面积为 . 11. (4 分)已知△ABC 三个顶点坐标分别为 A(1,2) ,B(5,9) ,C(2,6) , 则△ABC 的面积为 . 12. (4 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 B1C1、D1D 和 AB 的中点,则下列关系: ①BM⊥AB; ②BM∥平面 A1PC1; 第 2 页(共 22 页) ③BM⊥C1P; ④B1N 和⊥平面 A1PC1, 正确的编号为 . 13. (4 分)如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为棱 D1C1 的中点,则直线 BM 和平面 A1C1B 所成的正弦为 . 14. (4 分)已知在四面体 ABCD 中,AB=CD=3,BD=AC=4,BC=5,则线段 AD 的 长的取值范围是 . 三、解答题(共 4 小题,满分 49 分) 15. (14 分) 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, △ABC 是边长为 1 的正三角形, PA=PC=1, PB= . (Ⅰ)求证:PB⊥AC; (Ⅱ)点 M 是棱 PB 的中点,点 P 在底面 ABC 内的射影为点 H,证明:MH∥平 面 PAC; (Ⅲ)求直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小. 第 3 页(共 22 页) 16. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是一个直角梯形,其中∠ BAD=90°,AB∥DC,PA⊥底面 ABCD,AB=AD=PA=2,DC=1,点 M 和点 N 分别为 PA 和 PC 的中点. (Ⅰ)证明:直线 DM∥平面 PBC; (Ⅱ)求直线 BM 和平面 BDN 所成角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 M﹣BD﹣N 的正弦值; (Ⅳ)求点 P 到平面 DBN 的距离; (Ⅴ)设点 N 在平面 BDM 内的射影为点 H,求线段 HA 的长. 17. (16 分)在△ABC 中,∠BAC 的角平分线所在直线为 l1:x﹣y﹣1=0,BC 边的 高线所在直线为 l2:2x﹣y﹣4=0,AB 边的高线所在直线为 l3:3x+y+2=0, (Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)求直线 AC 的方程; (Ⅲ)求直线 BC 的方程. 18. (5 分)如图,已知三棱台 ABC﹣A1B1C1,AB=2A1B1,M 是 A1B1 的中点,N 在 线段 B1C1 上,且 B1N=2NC1,过点 A,M,N 的平面把这个棱台分为两部分,求体 积较小部分与体积较大部分的体积比值. 第 4 页(共 22 页) 第 5 页(共 22 页) 2017-2018 学年天津市南开中学高二(上)期中数学试卷 (理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 1. (4 分)过点 P(2,1)且和直线 3x﹣2y+5=0 垂直的直线的方程为( A.3x﹣2y﹣4=0B.3x+2y﹣8=0 C.2x﹣3y﹣1=0 D.2x+3y﹣7=0 【解答】解:直线 3x﹣2y+5=0 的斜率 k= , 则经过点 P(2,1)且垂直 3x﹣2y+5=0 的直线方程为:y﹣1


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