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-2016学年高中数学--平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算课时作业(含解析)

课时作业(十九) 平面向量的正交分解

及坐标表示、平面向量的坐标运算

A 组 基础巩固 1.已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且 c=λ 1a+λ 2b,则 λ 1,λ 2 的值分别 为( )

A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2

解析:由???λ 1+2λ 2=3, ??2λ 1+3λ 2=4,

解得???λ 1=-1, ??λ 2=2.

故选 D.

答案:D

2.

重庆市三中高一检测 已知 M(3,-2),N(-5,-1)且→MP=12→MN,则点 P 的

坐标为( )

A.(-8,1)

B.???1,32???

C.???-1,-32??? D.(8,-1)

解析:设 P(x,y),由(x-3,y+2)=12×(-8,1),

∴x=-1,y=-32,故选 C.

答案:C



3.

华中师大附中高一检测 在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线.若AB=





(2,4),AC=(1,3),则BD等于( )

A.(-2,-4) B.(-3,-5)

C.(3,5)

D.(2,4)

→→→ →→→

→→→

解析:∵AC=AB+AD,∴AD=AC-AB=(-1,-1),∴BD=AD-AB=(-3,-5),故选 B.

答案:B 4.已知四边形 ABCD 为平行四边形,其中 A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点 D 的

坐标为( ) A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6)

→→ 解析:设 D(x,y),由AD=BC,∴(x-5,y+1)=(2,-5), ∴x=7,y=-6,故选 D. 答案:D 5.已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个 向量集合,则 P∩Q 等于( ) A.{(1,1)} B.{(-1,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1)}

解析:设 a=(x,y),则 P={x,y|?????xy==1m, },

∴集合 P 是直线 x=1 上的点的集合.

同理集合 Q 是直线 x+y=2 上的点的集合,

即 P={(x,y)|x=1},Q={(x,y)|x+y-2=0}.

∴P∩Q={(1,1)}.故选 A.

答案:A





6.

河北省沧州市高一期末 在平行四边形 ABCD 中,AB=(2,0),AC=(1,5),



则AD等于( )

A.(1,-5) B.(-1,5)

C.(3,5)

D.(-5,1)

→→→

解析:AD=AC-AB=(1,5)-(2,0)=(-1,5),故选 B.

答案:B

7.

华中师大附中高一期末 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),

→→→ 点 C 在第一象限内,∠AOC=π6 ,且 OC=2,若OC=λ OA+μ OB,则 λ +μ 的值是__________.





解析:由题意,知OA=(1,0),OB=(0,1).



设 C(x,y),则OC=(x,y).

→→→

∵OC=λ OA+μ OB, ∴(x,y)=λ (1,0)+μ (0,1)=(λ ,μ ).

∴?????xy= =λμ

, .

又∵∠AOC=π6 ,OC=2,

∴λ =x=2cosπ6 = 3,u=y=2sinπ6 =1,

∴λ +μ = 3+1.
答案: 3+1 →→
8.已知 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且AC=2BD,则 x+y=__________. →
解析:∵AC=(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2), → BD=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
→→ 又 2BD=AC,即(2x-4,2y-6)=(-1,2),

∴?????22xy- -46= =- 2,1,

解得???x=32, ??y=4,

∴x+y=121.

答案:121
→ 9.若向量 a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中 A(1,2),B(3,2),则 x=__________.
→ 解析:∵A(1,2),B(3,2),∴AB=(2,0).


又∵a=AB,它们的坐标一定相等. ∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0),

∴?????xx+2-33=x-2,4=0, ∴x=-1. 答案:-1
→→ 10.已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),求向量AB+2BC- 12A→C的坐标.







解析:AB=(-2,10),BC=(-8,4),AC=(-10,14).

∴A→B+2→BC-12→AC=(-2,10)+2(-8,4)-12(-10,14)=(-2,10)+(-16,8)-(-5,7)

=(-13,11). B 组 能力提升
11.已知向量集合 M={a|a=(1,2)+λ (3,4),λ ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ (4,5), λ ∈R},则 M∩N 等于( )
A.{(1,2)} B.{(1,2),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 解析:令(1,2)+λ 1(3,4)=(-2,-2)+λ 2(4,5), 即(1+3λ 1,2+4λ 1)=(-2+4λ 2,-2+5λ 2),

∴???1+3λ 1=-2+4λ 2, ??2+4λ 1=-2+5λ 2.

解得???λ 1=-1, ??λ 2=0.

故 M 与 N 只有一个公共元素是(-2,-2).

答案:C

12.已知 A(2,3),B(1,4),且12→AB=(sinα ,cosβ ),α 、β ∈???-π2 ,π2 ???,则 α +β

=__________.

解析:∵12A→B=12(-1,1)

=???-12,12???

=(sinα ,cosβ ),

1

1

∴sinα =-2且 cosβ =2,

∴α =-π6 ,β =π3 或-π3 .

∴α +β =π6 或-π2 .

答案:π6 或-π2

→→

→→

13.已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和 D(-2,3),以AB、AC为一组基底来表示AD+BD



+CD.





解析:∵AB=(1,3),AC=(2,4),







AD=(-3,5),BD=(-4,2),CD=(-5,1),

→→→

∴AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).

→→→ → →

根据平面向量基本定理,一定存在实数 m、n,使得AD+BD+CD=mAB+nAC,

∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),

即(-12,8)=(m+2n,3m+4n),

∴?????m3+m+2n4=n=-81,2, ∴?????mn= =3-2,22.

→→→ → →

∴AD+BD+CD=32AB-22AC.

→→ →

14.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,试求 t 为何值时,

(1)点 P 在 x 轴上;

(2)点 P 在 y 轴上;

(3)点 P 在第一象限.

解析:∵O(0,0),A(1,2),B(4,5),





∴OA=(1,2),AB=(3,3).

→→ →

∴OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).

(1)若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,

∴t=-23;

(2)若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,∴t=-13;

(3)若点 P 在第一象限,则?????12+ +33tt> >00, , ∴t>-13.

15. 附加题·选做 已知向量 u=(x,y)与向量 v=(y,2y-x)的对应关系可用 v=f(u)表示.

(1)证明:对于任意向量 a、b 及常数 m、n,恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立; (2)设 a=(1,1),b=(1,0),求向量 f(a)及 f(b)的坐标;

(3)求使 f(c)=(3,5)成立的向量 c.

解析:(1)证明:设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),

则 f(ma+nb)=f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),

又因为 mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),

所以 mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2), 所以 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b). (2)f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1). (3)设 c=(x,y),
由?????y2= y-3x=5 ,得?????xy= =13 . 所以 c=(1,3).



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