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导数的概念及其运算


泰兴市第一高级中学校本化资料

高二数学艺术班

2012-5-15

导数的概念及其运算
一、知识清单
1、平均变化率 设函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处附近有定义,当自变量在 x ? x 0 处有增量 ? x ( ? x ? R ) 时,则 函 数 y ? f (x) 相 应 地 有 增 量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,
?y ?x ? f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x
?y 与 ?x 的 比

叫函数的平均变化率。它的几何意义是过曲线 y ? f ( x ) 上点

( x 0 , f ( x 0 ) )及点 ( x 0 ? ? x , f ( x 0 ? ? x ) )的割线斜率。 2、瞬时变化率 如果 ? x ? 0 时,
?y ?x

无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x ) 在

x ? x 0 处的瞬时变化率。它的几何意义是曲线 y ? f ( x ) 上点( x 0 , f ( x 0 ) )处的切线的斜

率。 3、导数 如果 ? x ? 0 时,
?y ?x

无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x ) 在
/ x ? x0

x ? x 0 处的瞬时变化率,又称为函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处的导数,记作 y
f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

,即

f ( x 0 ) ? lim
/

?x? 0

,它的几何意义是曲线 y ? f ( x ) 上点( x 0 , f ( x 0 ) )处

的切线的斜率。 4、导数的几何意义 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ? ( x 0 ) 是曲线 y ? f ( x ) 在 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜 率,相应的切线方程是 y ? y 0 ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) 5、 (1)利用常见八种函数的导数公式 ① C ? ? 0 (C 为常数) ② ( x ) ? ? nx
n n ?1

(n ? Q )
1 x lo g a e

③ (sin x ) ? ? cos x ⑥ (ln x ) ? ?
1 x

④ (cos x ) ? ? ? sin x ⑦ ( a ) ? ? a ln a (2)利用导数的运算法则
x x

⑤ (lo g a ) ? ?
x



( e )? ? e
x

x

① (u ? v ) ? u ? v
' '

'

② (u v ) ? u v ? u v
' '

'

③( ) ?
'

u

u v ? uv
'

'

v

v

2

(v ? 0)

(3)利用复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x ) 在点 x 处有导数 u x ? ? ? ? ( x ) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 u 处有
? x 导 数 y u ? ? f ? ( u ) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x ) )在 点 x 处 有 导 数, 且 y ? ? y u ? u ? , 或 写 作 x f x? (? ( x ) )? f ? (u ? ? (x ) )

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6、导数的实际背景 在物理学中,如果物体运动的规律是 s ? s (t ) ,那么该物体在时刻 t 0 的瞬时速度为
v ? s ?( t 0 ) 。

二、 课前练习 1、求下列函数的导数: (1) y ? 2 x ? 3 x ? 5 x ? 4
3 2

(2) y ? lo g 2 x ? 2 x ? 1

(3) y ? (1 ? x ) cos x
2

(4) y ?

2x ?1

2、 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1, 且在点 Q(2,–1)处与直线 y=x–3 相切, 1), 求实数 a、 b、c 的值。

3、已知曲线 y ?

1 3

x 上一点 P(2,

3

8 3

)求(1)过 P 点的切线的斜率 (2)过 P 点的切线方程

三、 典型例题 例 1 求下列函数的导数: 1 5 4 3 2 (1)y= x - x +3x + 2; 5 3

(2)y=(3x -4x)(2x+1); (3)y= 2. 1-x+x

3

x

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例 2 设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12 =0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面 积为定值,并求此定值.

b x

四、实战训练 1 3 3 2 1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t - t +2t,那么速度为 3 2 零的时刻是______________________ 2.函数 y=f(x)的图象在点 x=5 处的切 线方程是 y=-x+8, f(5)+f′(5)=________ 则 3.若点 P 是曲线 y=x -lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为_______ 4. y ' ? 2 x ?
1 x
2

则y ?

5. 已知一气球的半径以 10cm/s 的速度增长,求半径为 10cm 时,该气球的体积的增长速 度.

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6.已知曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象 限.求 P0 的坐标;

7.已知函数 f(x)=x +x-16, (1)求曲线 y=f(x)在点 (2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4

3



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