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2016高考数学二轮复习 专题7 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数 第三讲 统计、统计案例 理


专题七

概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数 第三讲 统计、统计案例

1

1.频率分布直方图. (1)绘制频率分布直方图的步骤. ①求极差; ②决定组距和组数; ③将数据分组; ④列频率分布表; ⑤画频率分布直方图. (2)由频率分布直方图估计平均数. 平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

1.回归分析的基本思想及其初步应用. 对相关系数 r: (1)r>0,表明两个变量正相关; (2)r<0,表明两个变量负相关; (3)r 的绝对值越近 1,表明两个变量的线性相关性越强;

2

(4)r 的绝对值越近 0,表明两个变量的线性相关性越弱; (5)当|r|大于 0.75 时,认为两个变量有很强的线性相关关系. 2.独立性检验. 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表 (称为 2×2 列联表)为:

y1 x1 x2 a c

y2 b d

总计 a+b c+d

总计

a+c

b+d
2

a+b+c+d

(a+b+c+d)(ad-bc) 2 2 则 K (χ )= , (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 若 K (χ )>3.841,则有 95%的把握说两个事件有关;
2 2

若 K (χ )>6.635,则有 99%的把握说两个事件有关.
2

2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系.(×) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.(√) (3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值.(√) ^ (4)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x(℃)之间的关系, 得回归方程y=-2.352x+ 147.767,则气温为 2 ℃时,一定可卖出 143 杯热饮(×) (5)事件 X,Y 关系越密切,则由观测数据计算得到的 K 的观测值越大.(√) (6)由独立性检验可知,有 99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关,某人数学成 绩优秀,则他有 99%的可能物理优秀.(×)
3
2

1.(2015·北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调 查教师的身体状况, 在抽取的样本中, 青年教师有 320 人, 则该样本中的老年教师人数为(C)

类别

人数

老年教师

900

中年教师

1 800

青年教师

1 600

合计 A.90 B.100 C.180 D.300

4 300

x 320 解析:设该样本中的老年教师人数为 x,由题意及分层抽样的特点得 = ,故 x 900 1 600 =180. 2.(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志 愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),

4

[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,?,第五组,如图是根据试 验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为(C)

A.6 C.12

B.8 D.18

20 6+x 解析:由图知,样本总数为 N= =50.设第三组中有疗效的人数为 x,则 0.16+0.24 50 =0.36,x=12.故选 C. 3.下列关于 K 的说法中正确的是(C) A.K 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 B.K 的值越大,两个事件的相关性就越大 C.K 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合 D.K 的观察值 k 的计算公式为: n(ad-bc) k= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 4.(2015·北京卷)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩、数 学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.
2 2 2 2 2

从这次考试成绩看,

5

①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙; ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.

一、选择题 1.下列说法:①一组数据不可能有两个众数;②一组数据的方差必须是正数;③一组 数据中的每个数据都加上或减去同一常数后,方差恒不变;④在频率分布直方图中,每个小 长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的个数是(C) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:①②错误,一组数据中可以有多个众数,故①错误;一组数据的方差可以为零, 故②错误. 2.(2015·陕西卷)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比 例如图所示,则该校女教师的人数为(C)

A.93 B.123 C.137 D.167 解析:初中部的女教师人数为 110×70%=77,高中部的女教师人数为 150×(1-60%) =60,该校女教师的人数为 77+60=137,故选 C. 3.在研究某种新药对鸡瘟的防治效果问题时,得到了以下数据:

活鸡数

死亡数

合计

新药

132

18

150

6

对照 合计 下列结论中正确的一项是(A)

115 247

35 53

150 300

A.有 95%的把握认为新药对防治鸡瘟有效 B.有 99%的把握认为新药对防治鸡瘟有效 C.有 99.9%的把握认为新药对防治鸡瘟有效 D.没有充分证据显示新药对防治鸡瘟有效 300×(132×35-115×18) 2 2 解析:K (χ )= ≈6.623. 247×53×150×150 因为 6.623>3.841,所以有 95%的把握认为新药防治鸡瘟有效. 4.(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,3 ),从 中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B) (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ ,σ ),则 P(μ -σ <ξ <μ +σ )=68.26%, P(μ -2σ <ξ <μ +2σ )=95.44%.) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
2 2 2

解析:由正态分布的概率公式知 P(-3<ξ <3)=0.682 6,P(-6<ξ <6)=0.954 4, P(-6<ξ <6)-P(-3<ξ <3) 故 P(3<ξ <6)= 2 = 0.954 4-0.682 6 =0.135 9=13.59%,故选 B. 2

5.(2015·湖南卷改编)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶 图如图所示.

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号, 再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成 绩在区间[139,151]上的运动员人数是(D) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:35÷7=5,因此可将编号为 1~35 的 35 个数据分成 7 组,每组有 5 个数据,在 区间[139,151]上共有 20 个数据,分在 4 个小组中,每组取一人,共取 4 人. 6.在样本的频率分布直方图中,一共有 m(m≥3)个小矩形,第 3 个小矩形的面积等于 1 其余 m-1 个小矩形面积之和的 ,且样本容量为 100,则第 3 组的频数是(C) 4 A.0.2 B.25
7

C.20

D.以上都不正确

1 解析:第 3 组的频率是 ,样本容量为 100, 5 1 ∴第 3 组的频数为 100× =20. 5 二、填空题 7.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数见下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 5号 7 9

2 2 则以上两组数据的方差中较小的一个为 s = . 5 解析:考查统计中的平均值与方差的运算. 甲班的方差较小,数据的平均值为 7, (6-7) +0 +0 +(8-7) +0 2 2 故方差 s = = . 5 5 8.下列是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 1 2 3 4
2 2 2 2 2

用水量 y

4.5

4

3

2.5

^ 由其散点图知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是y= -0.7x+a,则 a=5.25. 解析:x=2.5,y=3.5, - ∴a=y-b x =3.5-(-0.7)×2.5=5.25. 三、解答题 9. 某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查, 统计数据 如下表所示:

8

(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多 少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否 有关系?并说明理由. (参考下表)

P[K ( χ )≥k ]
2

2

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

24 12 解析:(1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为 50 人,概率为 = ;不太主 50 25 19 动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人,概率为 . 50 50×(18×19-6×7) 150 2 2 (2)K (χ )= = ≈11.5,∵K (χ )>6.635,∴有 99%的把握 25×25×24×26 13
2 2 2

认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系.

10. 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A,将其与原有的一个优良品种 B 进行对 照试验,两种小麦各种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克)如下: . 品种 A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421, 423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.
9

品种 B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400, 401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430. (1)画出茎叶图. (2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (3)观察茎叶图,对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论. 解析:(1)茎叶图如下图所示:

(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具 体数据. (3)通过观察茎叶图,可以发现品种 A 的平均每亩产量为 411.1 千克,品种 B 的平均亩 产量为 397.8 千克.由此可知,品种 A 的平均亩产量比品种 B 的平均亩产量高.但品种 A 的亩产量不够稳定,而品种 B 的亩产量比较集中在平均产量附近.

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