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河南省南阳市2013年秋高二上期中质量评估数学试题及答案

南阳市 2013 年秋期高中二年级期中质量评估
数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.在等差数列{an}中,若 a 3 ? 2, a5 ? 8, ,则 a 9 等于 ( ) A.16 B.18 C.20 D.22

a 2.在 ?ABC 中, A、 C 所对的边长分别为 a, b, c , A ? 60 0 ,B ? 45 0 , ? 角 B、 若
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2

6 则 b ?(



3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4 等于 ( A.7 B.8 C.15 D.16

)

4.若 a ? b ,则下列不等式中正确的是( ) 1 1 A. ? B. a2 ? b2 C. a ? b ? 2 ab a b 5.不等式

2 2 D. a ? b ? 2ab

x?5 ≥ 2 的解集是( ( x ? 1) 2
1? 2?
B. ? ? ,? 3



A. ? ?3, ?

? ?

? 1 ? ? 2 ?

C. ? , ? ?1, 1? 3?

?1 ? ?2 ?

D. ? ? , ? ?1, 1? 3?

? 1 ? ? 2 ?

?x ? y ? 0 ? 6. 已知不等式组 ? x ? y ? 0 表示平面区域的面积为 4,点 P( x, y) 在所给的平面区域内,则 z ? 2 x ? y ?x ? a ?

的最大值为( A.2 B.4

) C.6 D.8

7. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等比数列且 c ? 2a ,则 cos B 等于( )

A.

3 4

B.

2 4

C.

1 4

D.

2 3


8.已知正数 a, b 满足 A.18

8 1 ? ? 1, 则 a ? 2b 的最小值为( a b
C.8 D.10

B.16

9. 根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知,购买 2 千克甲种蔬菜与 1 千克乙种蔬菜所需费用之和大

于 8 元,而购买 4 千克甲种蔬菜与 5 千克乙种蔬菜所需费用之和小于 22 元. 设购买 2 千克甲种蔬 菜所需费用为 A 元,购买 3 千克乙种蔬菜所需费用为 B 元,则( A. A ? B B. A ? B C. A ? B )

D. A, B 大小不确定 )

10.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n ?1 ? 1,那么该数列前 2n 项中所有奇数位置的项的和为(

2 A. (4n ? 1) 3

1 B. (22 n?1 ? 1) 3

1 C. (4n ? 1) 3

4 D. (4n ? 1) 3
2 n

11. 已知数列 ?a n ? , ?bn ? 满足 a1 ? 1 ,且 an , an ?1 是函数 f ( x) ? x ? bn x ? 2 的两个零点,则 b10 等 于 ( A.24 ) B.32 C.48 D.64

12.等差数列{an}的通项公式为 a n ? ?2n ? 15 , cn ? a n ? a n ?1 ? a n ? 2 数列 ?c n ?的前 n 项和为 Sn,若 Sn 最大时,n 的值为 A. 5 ( B. 7 ) C. 5 或 7 D. 6 或 7

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 x ?

5 1 ,则 4 x ? 的最小值为 4 4x ? 5

. . . .

14.在 ?ABC 中,若

?

3b ? c cos A ? a cosC ,则 cos A ?
?

?

15. 在 ?ABC 中, A ? 30 , a ? 1,b = x ,如果三角形 ABC 有两解,则 x 的取值范围为 16.若数列 {an } 满足: a n ? 2 ? a n ?1 ? a n n ? N

?

*

?

a1 ? 1, a2 ? 2, 则其前 2013 项的和=

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,计算过程) 17. (本小题满分 10 分)已知不等式 x ? x ? m ? 1 ? 0 .
2

(1)当 m ? 3 时解此不等式; (2)若对于任意的实数 x ,此不等式恒成立,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?满足 a n ?1 ?

2 an ? 2 3

(1)若 a1 ? 7 ,证明数列 ?a n ? 6?为等比数列,并求 ?a n ?的通项公式; (2)若 ?a n ?为等差数列,求 ?a n ?的通项公式.

19.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A、B、C 的对应的三边,已知

c sin A ? ?a cosC
(1)求角 C 的大小; (2)满足 3 sin A ? cos(B ?

3? ) ? 2 的 ?ABC 是否存在?若存在,求角 A 的大小. 4

20. (本小题满分 12 分)已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边长分别为 a, b, c , 周长为 6,且

sin 2 B ? sin A ? sin C ,
(1)求角 B 的最大值; (2)求△ABC 的面积 S 的最大值.

21. (本小题满分 12 分)某工厂的一个车间生产某种产品,其成本为每公斤 27 元,售价为每公斤 50 元。在生产产品的同时,每公斤产品产生出 0.3 立方米的污水,污水有两种排放方式: 其一是输送到污水处理厂,经处理(假设污水处理率为 85%)后排入河流; 其二是直接排入河流. 若污水处理厂每小时最大处理能力是 0.9 立方米污水,处理成本是每立方米污水 5 元;环保部门 对排入河流的污水收费标准是每立方米污水 17.6 元,根据环保要求该车间每小时最多允许排入河流

中的污水是 0.225 立方米.试问:该车间应选择怎样的生产与排污方案,才能使其净收益最大.

22. (本小题满分 12 分)数列 {an } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ?

an
2

2

4a n ? 1

( n ? N ? ),

(1)证明 ?

? 1 ? ? ? 为等差数列并求 a n ; 2 ? ? an ? ? ?
n ?3

(2)设 c n ? 2

? 1 ? ? ? 3 ? ,数列 ?c n ?的前 n 项和为 Tn ,求 Tn ; 2 ?a ? ? n ?
2 2

(3)设 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , bn ? S 2 n ?1 ? S n ,是否存在最小的正整数 m, 使对任意 n ? N ? ,
2

有 bn ?

m 成立?设若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由. 25

南阳市 2013 年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题(理)答案
一、选择题 CBCDD 二、填空题 CAAAB DC

.13.7 三、解答题

14.

3 3

15.(1,2)

16.4

17. 解:(1) m ? 3 时,原不等式即 x ? x ? 2 ? 0
2

? ( x ? 1)( x ? 2) ? 0
解得x ? ?1, 或x ? 2

?不等式的解集为: (??, ?1) ? (2, ??) .——————————5 分
(2)由题,对于任意的实数 x ,不等式 x ? x ? m ? 1 ? 0 恒成立,
2

? ? ? 1 ? 4(1 ? m) ? 0
解得 m ?

3 , 4

3 ?实数 m 的取值范围为: (??, ) .——————————10 分 4 2 2 2 18. 解: (1) a n ?1 ? 6 ? ( a n ? 2) ? 6 ? (a n ? 6) , a1 ? 6 ? 1 。所以 ?a n ? 6?是以 1 为首项, 3 3 3 2 n?1 2 n?1 2 n ?1 为公比的等比数列。 a n ? 6 ? (a1 ? 6)( ) ? ( ) , a n ? ( ) ? 6 ————6 分 3 3 3 2 2 ( 2 ) 设 ?a n ? 的 公 差 为 d 。 由 a n ?1 ? a n ? 2 得 a n ? a n ?1 ? 2 。 两 式 相 减 得 3 3 2 2 2 a n?1 ? a n ? (a n ? a n?1 ) 即 d ? d ? d ? 0 ,所以 a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ,得 a n ? 6 —————— 3 3 3
————12 分 19.解:(1)由正弦定理,得 sin C ? sin A ? ? sin A ? cosC 因为 0 ? A ? ? ,? sin A ? 0 ? sin C ? ? cosC 由 0 ? C ? ? ,? cosC ? 0 ? tan C ? ?1 则 C ? (2) A ? ? 0,

3? ——————————5 分 4

? ? ? 5? ? ? ? ?? ? ? A ? ? ? , ? ? sin(A ? ) ? 1 6 ? 6 12 ? 6 ? 4?

3? ) ? ? ? A , 于是 4 3? ? 3 sin A ? cos(B ? ) ? 3 sin A ? cos A = 2 sin(A ? ) ? 2 4 6 ?这样的三角形不存在。——————————12 分 2 2 20. 解:(1)因为 sin B ? sin A ? sin C ,所以 b ? ac.
由(1)知 ( B ?

在△ABC 中得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 a2 ? c2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2

又 B ? ?0.? ? 故有 0 ? B ?

?
3

.所以当 a ? c ? b 时,角 B 取最大值且为

? .—————5 分 3

(2)网由题 a ? b ? c ? 6, 得 a ? c ? 6 ? b 又b ?

ac ?

a ?c 6?b ? , 从而 0 ? b ? 2 高考资源网 2 2

9 由(1)知 0 0 ? B ?

?
3

且两等号同时成立

S?

1 1 1 ? ac sin B ? b2 sin B ? ? 22 ? sin ? 3 ,即 Smax ? 3 .————————12 分 2 2 2 3

21. 解:设该车间每小时净收益为 z 元,生产的产品为每小时 x 公斤,直接排入河流的污水量为每 小时 y 立方米。 则该车间每小时产生污水量为 0.3x; 污水处理量为 0.3x-y,经污水处理厂处理后的污 水排放量为(1-0.85)(0.3 x-y),车间产品成本为 27x,车间收入为 50x,车间应交纳排污费用 17.6[(1- 0.85)(0.3 x-y)+y],车间应交纳污水处理费 5(0.3x-y),于是 z=50x-27x-5(0.3x-y)-17.6[0.15 (0.3x -y)+y]=20.708x-9.96y.

?0.3x ? y ? 0.9 ?9 x ? 170 y ? 45 ? ? 依题意 ?0.3 x ? y ? 0 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
——————————5 分
作出可行域,由图中可以看出直线

z ? 20.708 x ? 9.96 y 在两条直线 0.3x ? y ? 0 和 9 x ? 170 y ? 45 的交点处达到最大值,其交点坐标为 (3.3,0.09) ,此时
z max ? 67.44
故该车间应每小时生产 3.3 公斤产品,直接排入河流的污水量为每小时 0.09 立方米,这样净收益最 大.——————————12 分 22. 解:(1)证明:? a n ?1 ?

an
2

2

4an ? 1

,? an?1 ?
2

an
2

2

4a n ? 1

,?

1 an?1
2

?

4an ? 1
2

an

2

?

1 an
2

?4



1 a n ?1
2

?

1 an 1
2 2

? 1 ? ? ? ? 4 ,? ? 2 ? 为等差数列. ? an ? ? ?
2

?

1 an
2

?

a1

? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 3 ,? a n ?

1 ,又由题知 a n ? 0 ? a n ? 4n ? 3

1 4n ? 3

.

——————————4 分 (2)解: c n ? 2
n ?3

? 1 ? ? ? 3 ? ? n ? 2 n ?1 , Tn ? 1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 2 ?a ? ? n ?

2Tn ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n ,两式相减得 Tn ? (n ? 1)2 n ? 1
——————————8 分 (3)解: bn ? S 2 n ?1 ? S n ,? bn ?1 ? S 2 n?3 ? S n?1 ,

? bn ?1 ? bn ? ( S 2 n ?3 ? S 2 n ?1 ) ? ( S n ?1 ? S n ) ? a 2 n ?3 ? a 2 n ? 2 ? a n ?1
2 2

2

?

1 1 1 40 n ? 31 ? ? ?? ? 0, 8n ? 9 8n ? 5 4n ? 1 (8n ? 9)(8n ? 5)( 4n ? 1)

? bn ?1 ? bn .即数列 ?bn ?为递减数列,则要使 bn ?

m m 恒成立,只需 b1 ? , 25 25

? b1 ? S 3 ? S1 ? a 2 ? a3 ?
2 2

14 14 m 70 ,? ? ,m ? . 45 45 25 9
m 成立. 25

?存在最小的正整数 m ? 8 ,使对任意 n ? N ? ,有 bn ?
——————————12 分



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