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黑龙江省大庆实验中学2014届高考得分训练数学(理)试题(五)


2014 大庆实验中学得分训练五(理科)
出题人:何本胜
只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ={ x | y ? 1 ? x 2 , x ? Z }, B ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? A} ,则 A ? B 为 A. ? B. ?0,??? C. ?1? D.

审题人:姜本超

陈永志

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

?? 0,1??






2. i ? z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i 3.若 a ? b ,则下列不等式成立的是 A. ln a ? ln b B. 0.3a ? 0.3b D. ?1 ? i

( )

)

C. a 2 ? b 2

1

1

D. 3 a ? 3 b )

4. 已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,以下命题正确的是 ( A. 若 l ? ? , l ? m , 则 m ? ? ; C.若 l ? ? , m // ? , 则 l ? m ; B.若 l // ? , m ? ? , 则 l // m ; D. 若 l ? ? , l ? m , 则 m // ? ; (

5.某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的 频率分布表,根据该表估计该班级的数学测试平均分为
分组 人数 频率



?60,70? ?70,80? ?80,90? ?90,100?
5 0.1
B. 81

15 0.3
C. 82 D. 83

20 0.4

10 0.2
)

A. 80

6.平面直角坐标系 xOy 中点 O(0,0), A(0,1), B(1, ?2), C (m,0) ,若 OB / / AC ,则实数 m 的值为( A. ?2
n

B.

?

1 2

1 C. 2

D. 2
n
2

7. 已知 (1 ? 2 x) 展开式中,奇数项的二项式系数之和为 64,则 (1 ? 2x) (1 ? x) 展开式中含 x 项的系数为 ( A. 71 B. 70 C.21 D. 49 )

)

8.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 cos(A ? C ) ? 1 ? cos B, a ? 2c ,则 cos 2C 的值为 ( A.

1 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

9. 抛一枚均匀硬币,正反每面出现的概率都是

1 ,反复这样投掷,数列 {a n } 定义如下: 2


? ?1,第n次投掷出现正面 * , 若 S n ? a1 ? a 2 ??? a n (n ? N ) , 则事件“ S2 ? 0, S8 ? 2 ”的概率是 ( an ? ? ? ??1,第n次投掷出现反面
A.

1 256

B.

13 128

C.

1 2

D.

7 32
B 中恰含有一个整数,则实数 a 的取值

2 2 10.设集合 A= x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B= x x ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A

?

?

?

?

范围是



) B. ? ,

A. ? 0, ?

? ?

3? 4?

?3 4 ? ? ?4 3 ?

C. ? , ?? ?

?3 ?4

? ?

D. ?1, ?? ?

11. 设 F1 , F 分 别 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , 若 双 曲 线 右 支 上 存 在 一 点 M , 使 a 2 b2 ) FM ? (OF1 ? OM ) ? 0 ,O 为坐标原点,且 F1M ? 3 F2 M ,则该双曲线离心率为 ( 1
A.

6? 2 D. 6 ? 2 2 a 3 3 2 12. 已 知 函 数 f ? x ? ? 2ax ? 3ax ? 1, g ? x ? ? ? x ? , 若 对 任 意 给 定 的 x0 ??0,2? , 总 存 在 两 个 不 同 的 4 2 ( ) xi ? i ? 1, 2? ??0, 2? ,使得 f ? xi ? ? g ? x0 ? 成立,则实数 a 的取值范围为
B. 3 ? 1 C. A. ? ??, ?1? B. ?1, ?? ? C.

3 ?1 2

? ??, ?1? ?1, ???

D.

, ??11 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? ? ?cos x, ? ? x ? 0 13.已知函数 f ( x) ? ? 的图象与 x 轴所围成的面积为 . 2 ? ?? x ? 1, 0 ? x ? 1 14.若 ?ABC 内接于以 O 为圆心,以 1 为半径的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 该 ?ABC 的面积为 ?x ? y ? 3 ? 0 ? 15. 已知直线 ? m ? 2? x ? ? m ? 1? y ? 1 ? 0 上存在点 ? x, y ? 满足: ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的 ?x ? 1 ?
取值范围为 16.定义: max ?a, b? 表示函数 a , b 中的较大者,已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a ? a ? 0 ? , a2 ? 1, an? 2 ?

a2014 ? 2a ,记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2014 的值为
三、解答题:本大题共6小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

2 max ?an?1 , 2? ,若 an

17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 且 3an?1 ? 2Sn ? 3.(n 为正整数 ) .

3 k ? S n 恒成立,求实数 k 的最大值. 2 18. (本小题满分 12)分为备战 2016 年奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练.现分别从他们的
(Ⅱ)若 ?n ? N ,
*

强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲:8.3, 9.0, 乙:9.2 ,9.5 7.9, ,8.0, 7.8 7.5, ,9.4 8.2, ,8.9 8.1, ,8.4, 9.0, 8.3 8.5

(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图; (2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训, 从统计学角度, 你认为派哪位选手参加合理?简单说明理由; (3)若将频率视为概率,对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次成绩中不低于 8.5 分的次数 为 ξ,求 ξ 的分布列及均值 E(ξ).
19. (本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60?, AB ? 2, AD ? 4 ,将 VCBD 沿 BD 折起到 V EBD 的位置,使平面 EBD ? 平面 ABD . (Ⅰ)求证: AB ? DE ; (Ⅱ)若点 F 为 BE 的中点,求直线 AF 与平面 ADE 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点 A 作斜率为 2 的直线,与椭圆的另一个交点为 B , a 2 b2 6 与 y 轴的交点为 C ,已知 AB ? )求椭圆的离心率; BC .(Ⅰ 13 (Ⅱ)设动直线 y ? kx ? m 与椭圆有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q ,若 x 轴上存在一定点 M (1,0) ,使得 PM ? QM ,求椭圆的方程.

21. (本小题满分 12)分已知函数 f ? x ? ? ex ? ax, g ? x ? ? ex ln x ? e ? 2.71828 ???? .. (I)设曲线 y ? f ? x ? 在x ? 1处的切线为 l ,点(1,0)的距离为

(II)若对于任意实数 x ? 0, f ? x ? ? 0 恒成立,试确定 a 的取值范围; 求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

2 ,求 a 的值; 2

(III)当 a ? ?1时, 是否存在实数 x0 ??1, e?,使曲线C:y ? g ? x ? ? f ? x ? 在点x ? x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是的⊙ O 直径,CB 与⊙ O 相切于 B ,E 为线段 CB 上一点,连接 AC 、AE 分别交⊙ O 于 D 、G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F . A (I) 求证: C 、 D 、 G 、 E 四点共圆. EG ? 1 , ( II ) 若 F 为 EB 的 三 等 分 点 且 靠 近 E , GA ? 3 ,求线段 CE 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方
锥曲线 C: ? 程.已知圆

O D G C E F B

? x ? 2 cos? ? y ? 3 sin ?

(? 为 参 数 ) 和 定 点

A(0, 3) , F1 , F2 是此圆锥曲线的左、右焦点。(Ⅰ)以
点, 以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 求直线 AF2

原点 O 为极 的极坐标方

程;(Ⅱ)经过点 F1 ,且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点,求 || MF1 | ? | NF1 || 的值.

25. (本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲.
已知函数 f ( x) ?| x ? 1| 。 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (Ⅱ)若 | a |? 1,| b |? 1,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ?| a | f ( )

b a

参考答案
1-12 CCDCC CBABB BA 13.

3 2

14.

6 5

15. ? ??, ? ? 3

? ?

5? ?

16. 5235

1 ;-----------------------2 3 当 n ? 2 时 3an?1 ? 2Sn ? 3 ①? 3an ? 2Sn?1 ? 3②,① ? ② ? 3(an?1 ? an ) ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 0 , 1 a 1 因此 3an?1 ? an ? 0 ,此即 n ?1 ? ,所以数列 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 的等比数列---4, 3 an 3 1 n?1 ∴ an ? ( ) ;--------------------------------------------------6 3 3 1 n 3 3 1 n * 3 (Ⅱ)∵ ?n ? N , k ? S n 恒成立, S n ? [1 ? ( ) ] ,此即 k ? [1 ? ( ) ] 2 2 3 2 2 3 1 n 1 n * ∴ k ? 1 ? ( ) ,令 f (n) ? 1 ? ( ) , n ? N ,∴ f ( n) 单调递增,k 只需小于等于 f ( n) 的最小值即可,当 n ? 1 时 f ( n) 3 3
17.(本小题满分 12 分)解: (Ⅰ) (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 1 , 3an?1 ? 2Sn ? 3 ? a2 ? 取得最小值,∴ k ? f (1) ? 1 ?

1 2 2 ? ,实数 k 的最大值为 . -------12 分 3 3 3

18. (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图:

---------------3
2 (2)因为 x 甲= x 乙=8.5,又 s2 甲=0.27,s乙=0.405, 2 得 s甲 < s2 乙,相对来讲,甲的成绩更加稳定,所以选派甲合适. -----------6

1 1 (3)依题意得乙不低于 8.5 分的频率为 ,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则 ξ~B(3, ). 2 2 1 13 k 1 3-k 所以 P(ξ=k)=C3 ( ) (1- )k=Ck 3( ) ,-------------------------9 2 2 2 k=0,1,2,3. 所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8

1 3 3 1 3 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× = .--------------------------------12 8 8 8 8 2
19.(本小题满分 12 分)解((Ⅰ)在 V ABD 中,由余弦定理:

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 ABgAD cos ?DAB ,∴ BD ? 2 3 ,∴ V ABD 和 V EBD 为直角三角形,此即 ED ? DB 而 DB 又 是平面 EBD 和平面 ABD 的交线,且平面 EBD ? 平面 ABD ED ? 平面 EBD 且 ED ? 平面 ABD ,∴ ED ? 平面 ABD ,同时 AB ? 平面 ABD ,∴ AB ? DE ;------6 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?ABD ? ?CDB ? 90? ,以 D 为坐标原点, DB, DC, DE 所在的直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标
系,则 D(0,0,0), B(2 3,0,0), C(0,2,0), E(0,0,2) ,-----------8

uuu r ? ? n g DA ?0 ?2 3x ? 2 y ? 0 ? 则有 ? uuu ,此即 ? , 令 x ? 1, A(2 3, ?2,0) ,则 F ( 3,0,1) ,设平面 ADE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , r 2 z ? 0 ? ? ? ?ngDE ? 0 uuu r 则 n ? (1, 3,0) , AF ? (? 3, 2,1) -----------10 uuu r uuu r ngAF 3 6 设直线 AF 与平面 ADE 所成角为 ? ,则有 sin ? ? cos ? n, AF ?? .---12 ? uuu r ? 8 n ? AF 2 ? 8

20.

解:(Ⅰ)∵A (?a, 0) ,设直线方程为 y ? 2( x ? a) , B( x1 , y1 ) 令 x ? 0 ,则 y ? 2a ,∴ C (0, 2a) , ∴ AB ? ( x1 ? a, y1 ), BC ? (?x1,2a ? y1 ) -------------------1 分

∵ AB ?

6 BC 13 6 6 13 12 (2a ? y1 ) ,整理得 x1 ? ? a, y1 ? a ------------2 分 ∴ x1 ? a = (? x1 ), y1 ? 13 13 19 19

13 2 12 2 a 2 b2 3 ( ) ? ( ) ? ? 1 ∵B 点在椭圆上,∴ ,∴ 2 ? , 19 19 b2 a 4 2 2 3 1 a ?c 3 ? , 即 1 ? e 2 ? ,∴ e ? ∴ -------------------4 分 2 4 2 a 4 b2 3 2 2 (Ⅱ )∵ 2 ? , 可设 b ? 3t.a ? 4t , a 4 ∴椭圆的方程为 3x2 ? 4 y 2 ?12t ? 0
?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12t ? 0 2 2 2 由? 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12t ? 0 ? y ? kx ? m
∵动直线 y ? kx ? m 与椭圆有且只有一个公共点 P
2 2 2 2 ∴ ? ? 0 ,即 64k m ? 4(3 ? 4m )(4m ?12t ) ? 0

-------------------5 分

整理得 m ? 3t ? 4k t
2 2

------------------8 分

设 P ( x1 , y1 ) 则有 x1 ? ? ∴ P(?

3m 8km 4km ?? , y1 ? kx1 ? m ? 2 2 3 ? 4k 2 2(3 ? 4k ) 3 ? 4k

4km 3m , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 又 M (1,0) ,Q (4, 4k ? m) 若 x 轴上存在一定点 M (1,0) ,使得 PM ? QM , 4km 3m ,? ) ? (?3, ?(4k ? m)) ? 0 恒成立 ∴ (1 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 2 2 整理得 3 ? 4k ? m , ------------------10 分 2 2 ∴ 3 ? 4k ? 3t ? 4k t 恒成立,故 t ? 1 x2 y 2 ? ? 1 ------------------12 分 所求椭圆方程为 4 3 x 21.(Ⅰ) f ?( x) ? e ? a , f (1) ? e ? a . y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f ?(1) ? e ? a , ∴切线 l 的方程为 y ? (e ? a) ? (e ? a)( x ? 1) ,即 (e ? a) x ? y ? 0 .??2 分

(e ? a) ?1 ? (?1) ? 0 ? 0 2 2 ? ,所以 , 2 2 2 2 (e ? a) ? (?1) 解之得, a ? ?e ? 1, 或 a ? ?e ? 1. ????4 分
又点 (1, 0) 到切线 l 的距离为

(Ⅱ)因为 x ? 0, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立, 若 x ? 0, f (0) ? 1 ? 0 恒成立;

ex ,在 x ? 0 上恒成立, x ex xe x ? e x (1 ? x) ? e x ' ? 设 Q( x) ? ? , 则 Q ( x ) ? ? x2 x2 x 当 x ? (0,1) 时, Q' ( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (0,1) 上单调递增;
若 x ? 0, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立,即 a ? ? 当 x ? (1, ??) 时, Q' ( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以当 x ? 1 时, Q ( x) 取得最大值, Q(1) ? ?e , 所以 a 的取值范围为 (?e, ??) .
x x x

????8 分

(Ⅲ)依题意,曲线 C 的方程为 y ? e ln x ? e ? x ,令 M ( x) ? e ln x ? ex ? x

ex 1 ? e x ln x ? e x ? 1 ? ( ? ln x ? 1) ? e x ? 1 , x x 1 1 1 x ?1 ' 设 h( x ) ? ? ln x ? 1 ,则 h ( x) ? ? 2 ? ? 2 ,当 x ??1, e? , h' ( x) ? 0 , x x x x 故 h( x) 在 ?1, e? 上单调增函数,因此 h( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 h(1) ? 0
所以 M ( x) ?
'

1 ? ln x ? 1 ? h(1) ? 0 x 1 x 又 x0 ??1, e? 时, e ? 0, ? ln x ? 1 ? 0 x 1 ' x 所以 M ( x) ? ( ? ln x ? 1) ? e ? 1 ? 0 x 曲 线 y ? ex ln x ? ex ? x 在 点 x ? x0 处 的 切 线 与 y 轴 垂 直 等 价 于 方 程 M ' ( x) ? 0 有 实 数 解 , 但 是
即 h( x ) ?

M ' ( x) ? 0 , M ' ( x) ? 0 没有实数解, 故不存在实数 x0 ?[1, e], 使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直.????12 分
? ? 22. (Ⅰ)连接 BD ,则 ?AGD ? ?ABD , ?ABD ? ?DAB ? 90 , ?C ? ?CAB ? 90

所以 ?C ? ?AGD ,所以 ?C ? ?DGE ? 180? ,所以 C , E , G, D 四点共圆.………..5 分 (Ⅱ)因为 EG ? EA ? EB 2 ,则 EB ? 2 ,又 F 为 EB 三等分,所以 EF ? 又因为 FG ? FD ? FE ? FC ? FB2 ,所以 FC ?

2 4 , FB ? , 3 3

8 , CE ? 2 …………………….10 分 3

x2 y2 ? ? 1 ,轨迹为椭圆,其焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) , k AF2 ? ? 3 , AF2 : y ? ? 3( x ? 1) 23. (Ⅰ)C: 4 3 ? 3 即 AF2 : ? sin ? ? ? 3 cos? ? 3 ,即 ? sin(? ? ) ? ????5 分 3 2 3 ? (Ⅱ)由(Ⅰ) k AF2 ? ? 3 ,? l ? AF2 ,? l 的斜率为 ,倾斜角为 30 , 3 ? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 所以 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ?y ? 1 t ? 2 ?
代入椭圆 C 的方程中,得:

13t 2 ? 12 3t ? 36 ? 0
因为 M、N 在 F1 的异侧

|| MF1 | ? | NF1 ||?| t1 ? t2 |?

12 3 13

?10 分

? ?-2x-2,x<-3, -3≤x≤1, 24.(Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ? ?2x+2, x>1. 当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立;当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}.???5 分
(Ⅱ)f (ab)>|a|f (

b )即|ab-1|>|a-b|. a

?????6 分

因为|a|<1,|b|<1, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.



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