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2009年湖北省鄂州高中素质班自主招生数学试题


2009 年鄂州高中自主招生考试数学试题
一、选择题(3 分*12=36 分) 选择题( 1、已知 a=2009x+2008,b=2009x+2009,c=2009x+2010,则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ac 的值为( A、0 ) B、1 C、2 D、3

2、在同一直角坐标系中,函数 y=mx+m 和 y=-mx2+2x+2(m 是常数,且 m≠0)的图象可 能是( ) y y y y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

3、第二象限有一点 P(x , y) ,且 x = 5, y = 7 ,则点 P 关于原点的对称点的坐标是( A、 (-5,7) B、 (5,-7) C、 (-5,-7) D、 (5,7) )



4、若方程 x2+(4n+1)x+2n=0(n 为整数)有两个整数根,则这两个根( A、都是奇数 B、都是偶数 C、一奇一偶 D、无法判断 A

5、如右下图,等边 ?ABC 外一点 P 到三边距离分别为 h1,h2, h3, h3+h2-h1=3, 且 其中 PD= h3, PE= h2, PF= h1。 ?ABC 则 的面积 S?ABC=( A、 2 3 ) C、 10 3 D、 12 3 D B F

E C P

B、 3 3

6、某班有 50 人,在一次数学考试中,得分均为整数,全班最 低分为 48 分,最高分为 96 分,那么该班考试中( A、至少有两人得分相同 C、得分相同的情况不会出现 )

B、至多有两人得分相同 D、以上结论都不对 ) ,其中 [a ] 表示不超过 a 的最大整

7、若实数 a 满足方程 a = 1 ? 1 + a ? 1 ,则 [a ] =( a a 数。
-1-

A、0

B、1

C、2

D、3 )

8、 在⊿ABC 中, Q 分别在 AB、 上, BP + CQ = 1 , PQ 一定经过⊿ABC 的 P、 AC 且 则 ( AP QA A、垂心 B、外心 C、重心 D、内心

9、在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌,并且从 10 千米处开 始,每隔 9 千米经过一个速度监控仪,刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施,那 么,第二次同时经过这两种设施是在( A、36 B、37 )千米处。 D、91

C、55

10、已知 x2-ax+3-b=0 有两个不相等的实数根,x2+(6-a)x+6-b=0 有两相等的实数 根,x2+(4-a)x+5-b=0 无实数根,则 a 、b 的取值范围是( A、2﹤a﹤4 2﹤b﹤5 C、1﹤a﹤4 1﹤b﹤5 B、1﹤a﹤4 2﹤b﹤5 D、2﹤a﹤4 1﹤b﹤5 )根 )

11、用火柴棒按下图中的方式搭图形,按照这种方式搭下去,搭第 334 个图形需( 火柴棒。

A、2007

B、2008

C、2009

D、2010

12、已知函数 f(x)=x2+λx,p、q、r 为⊿ABC 的三边,且 p﹤q﹤r,若对所有的正整数 p、 q、r 都满足 f(p)﹤f(q)﹤f(r) ,则 λ 的取值范围是( A、λ﹥-2 B、λ﹥-3 C、λ﹥-4 ) D、λ﹥-5

二、填空题(4 分*6=24 分) 填空题( 13、设多项式 x3-x-a 与多项式 x2+x-a 有公因式,则 a= ;

14、已知 n 个数 x1,x2,x3,…,xn,它们每一个数只能取 0,1,-2 这三个数中的一个, 且?

? x1 + x2 + ? xn = ?5 ? 3 3 3 ,则 x1 + x 2 + ? + x n = 2 2 2 ? x1 + x2 + ? + xn = 19 ?
-2-

;

15、如图,半径为 r1 的圆内切于半径为 r2 的圆,切点为 P,已知 AC∶CD∶DB=3∶4∶2,则

r1 = r2

;

16、已知正数 a、b、c 满足 a2+c2=16,b2+c2=25, 则 k=a2+b2 的取值范围为 ; A C

?O2 ?O1 D B P

17、将正方形由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次 操作(如图) ,按上边规则,完成 6 次操作以后,再剪去所 得小正方形的左下角,问:当展开这张正方形纸 片后,一共有 18、非零实数 x、y 满足 个小孔。

(

x 2 + 2009 ? x

)(

y 2 + 2009 ? y = 2009 ,则

)

x + 2008 y 2008 x + y



三、解答题(19~21 题每题 8 分,22~25 题每题 9 分,共 60 分) 解答题( 19、 分)已知直线 y=kx+b(k<0)与 x、y 轴交于 A、B 两点,且与双曲线 y = ? (8 点 C(m , 2) ,若⊿AOB 的面积为 4 ,求⊿BOC 的面积。

2 交于 x

-3-

20、 分)甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏。他们在不透明的袋子中放入形状、 (8 大小均相同的 19 张卡片,其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为 3、 4、5、7,两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负,并约定:“锤子”胜“石 头”和“剪子”,“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“锤子”和“石头”,同种卡片不分胜 负。 ⑴若甲先摸,他摸出“石头”的概率是多少? ⑵若甲先摸出了“石头”,则乙获胜的概率是多少? ⑶若甲先摸,则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大?

21、 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,∠DBC=∠A. (8 ⑴求证:BC 与⊙O 相切;⑵若 OC 是 BD 的垂直平分线,垂足为 E,BD=6,CE=4,求 AD 的长。 A D O E B C

-4-

22、 分)m 是什么实数时,方程 x ? 4 x + 5 = m 有 4 个互不相等的实数根? (9
2

23、 (9 分)在某旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的台阶,下图是甲、乙段台 阶路的示意图。请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差)回答下列问题: ⑴两段台阶路有哪些相同点和不同点? ⑵哪段台阶走起来更舒服?为什么? ⑶为方便游客行走,需要重新整修上山的小路,对于这两段台阶路,在台阶数不变的情 况下,请你提出合理的整修建议(图中的数字表示每一级台阶的高度,单位:cm)

-5-

24、 分)当 x 为何有理数时,代数式 9x2+23x-2 的值恰为两个连续正偶数的乘积? (9

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