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广东省广州市海珠区2017届高三第一学期调研测试(一)数学文试题(WORD版)


海珠区 2017 届第一学期高 综合测试 一

文科数学
注意 项: 1.本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分.答卷前,考 务必将自己的姓 、 准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第 卷时, 选出每小题答案 , 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净 ,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束 ,将答题卡一并交回.

第 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1 已知集合 M = {?2,0, 2, 4,} , N = x x 2 < 9 ,则 M I N = (A) {0, 2}
3

{

}

(B) {?2,0, 2}

(C)

{0, 2, 4}

(D) {?2, 2}

?1 3 ? 2 复数 ? ? i ? (其中 i 为虚数单位)的值是 ?2 2 ? (A) ? i (B) i (C) ?1 (D) 1 π? ? 3 要得到函数 y = sin ? 2 x + ? 的图象,只需要将函数 y = sin 2 x 的图象 6? ?
A 向左 移 C 向左 移

π
12

个单位

B 向右 移 D 向右 移

π
12

个单位

π
6

个单位

π
6

个单位

4 已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示,若它们的中位数相同, 均数 也相同,则图中的 m, n 的比值 A

m = n
C

3 8

B

1 3

2 9

D

1

5 如图,在 面边长为 1,高为 2 的 四棱柱 ABCD ? A1B1C1 D1 中, 点 P 是 面 A1 B1C1 D1 内一点,则 棱锥 P ? BCD 的 视图 侧视 图的面积之和为 A 2 B

3 C 4 D 5 2 x y 6 设点 P 是双曲线 2 ? 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一点, a b F1 , F2 别 为 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 , 已 知 PF1 ⊥ PF2 , 且
2

PF1 = 2 PF2 ,则双曲线的离心率为
A

2

B

3

C

2

D

5

?y ≤ x ? ? 1) 和坐标满足 ? x + y ≤ 1 的动点 M ( x, y ) ,则目标函数 7 在 面直角坐标系中,已知点 A ( 2, ? y ≥ ?1 ?

uuu r uuuu r z = OA ? OM 的最大值为 A 4 B 5 C 6 8 已知函数 f ( x ) = x ? ln x ,则 f ( x ) 的图 大致为

D

7

9 若 c > 1 , 0 < b < a < 1 ,则 A a c < bc B C

a log b c < b log a c
2 2

ba c < ab c D log a c < log b c
别是 a , b ,

10 在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边

c ,已知 b = c , a = 2b (1 ? sin A) ,则 A = 3π π A B 4 3 π π C D 4 6
令令 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 A ?1 B 1 D 2 C ?2
2

12 设奇函数 f ( x ) 在 [ ?1,1]

是增函数,且 f ( ?1) = ?1 ,

若函数 f ( x ) ≤ t ? 2at + 1 对所有的 x ∈ [ ?1,1] 都成立, 当 a ∈ [ ?1,1] 时,则 t 的取值范围是 A

1 1 ≤t≤ 2 2 1 1 C t ≥ 或t ≤ ? 或t = 0 2 2 ?

B

?2 ≤ t ≤ 2

D t ≥ 2或t ≤ ?2或t = 0

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13 设向

r r r r a = ( x ? 1, 2 ) , b = (1, x ) ,且 a ⊥ b ,则 x =



π? 3 π? ? ? ? 3π ? . , 2π ? ,且 cos ? θ ? ? = ,则 tan ? θ + ? = 4? 4? 5 ? ? ? 2 ? x2 y 2 15 已知椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的左、右焦点 别为 F1,F2 , 、 顶点 别是 B1,B2 , a b uuuu r uuuu r . 点 C 是 B1 F2 的中点,若 B1F1 ? B1 F2 = 2 ,且 CF1 ⊥ B1 F2 ,则椭圆的方程为
14 已知 θ ∈ ? 16 已知 棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直 的表面 ,且 棱柱的体积为 面, 所有棱长都相等, 若该 棱柱的顶点都在球 O


9 ,则球 O 的表面积为 4

、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 本小题满 12 在公差 为零的等差数列 {an } 中, a1 = 2 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列. 求数列 {an } 的通项公式 Ⅱ

bn =

1 ( n ∈ N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an ? an +1

18

本小题满 12 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, 面 ABCD 是菱形, ∠DAB = 60° , PD ⊥ PD = AD = 1 ,点 E,F 别为 AB 和 PD 的中点. 求证 直线 AF / / 面 PEC 求 棱锥 P ? BEF 的体积.

面 ABCD ,

P

F C D B A E

19

本小题满 某商店计 划

12 天购进某商品若 时 件 ,商 店

第 18 题图

销 售 一 件 该 商 品 可 获 利 润 60 件商品 损 10 元 若供

元,若供大

求,剩余商品全部退回,但

求,则从外部调剂,

件 调 剂 商 品 可 获 利 40 元 . 单位 元 关 当天需求

若商店一天购进该商品 10 件,求当天的利润 y 件, n ∈ N 的函数解析式 Ⅱ 商店记录了 50 天该商品的日需求 日需求 频数

n 单位

n

单位 件, n ∈ N ,整理得 表

7 4

8 8

9 10

10
14

11

12 5

9

50 天记录的各需求 的频率作为各需求 发生的概 率,求当天的利润在区间 [500, 650] 内的概率.
20 本小题满 为2 3 . 求抛物线 E 的方程 已知点 G ( ?1, 0) ,延长 AF 交抛物线 E 线 GA 相 21 (本小题满 12 的圆,必 直线 GB 相 . ) 点 B ,证明 点 F 为圆心且 直 12
2

若商店一天购进 10 件该商品,

已知点 F 为抛物线 E : y = 2 px ( p > 0) 的焦点,点 A(2, m ) 在抛物线 E

,且到原点的距离

已知函数 f ( x ) = x ln x ? 求 a 的取值范围

a 2 x ? x + a(a ∈ R 2

在其定义域内有两个 同的极值点.

设 个极值点分别

x1 , x2 ,证明: x1 ? x2 > e 2 .

请考生从第 22 、 23 、 24 题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果 多做,则按所做的第一个题目计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡 将所选题号后的方框涂黑. 22 本小题满分 10 分 选修 4—1 几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ∠ACB 的平分线, ?ACD 的外接圆交 BC 于点 E , AB = 2 AC . 求证 BE = 2 AD Ⅱ 当 AC = 1 , EC = 2 时,求 AD 的长.

23

本小题满分 10 分 选修 4—4 坐标系 参数方程
已知在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程 坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O

? x = 2 + 2 cos θ , (θ ? ? y = 2 sin θ ,
极轴

参数 ) ,在极坐标系
中,直线 l 的方程

直角

极点,以 x 轴正半轴

π? ρ sin ? ?θ + ? = 2 2 . 4? ? 求曲线 C 在极坐标系中的方程 求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.
24 本小题满分 10 分 选修 4—5 已知函数 f ( x) = 2 x + 1 ? x ? 2 . 解 等式 f ( x ) ≥ 0 若存在实数 x ,使得 f ( x) ≤ x + a ,求实数 a 的取值范围. 等式选讲

海珠区 2017 届第一学期高三综合测试



文科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 本解答 同,可根据试题的 要考 查内容比照评分参考制 相应的评分细则. 2.对 算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但 部分的解答有较 重的错误,就 再给分. 得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后继

3.解答右端所注 数,表示考生 确做到这一 应得的累加 数. 4.只给整数 数.选择题 给中间 . 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1 B 7 B 2 C 8 A 3 A 9 D 4 A 10 C 5 A 11 D 6 D 12 D

.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13 .解答题 17 (本小题满 12 ) 解 解: 设数列 {an } 的公差为 …………
2

1 3

14

3 4

15

x2 y 2 + =1 4 3

16



d ( d ≠ 0) ,
由题意知 ( a1 + d ) = a1 ( a1 + 3d ) , 即 ( 2+d ) = 2 ( 2 + 3d ) ,即 d ( d ? 2 ) = 0 ,又 d ≠ 0 ,所
2

…………

d = 2 .…………
…………

故数列 {an } 的通项公式 an = 2 + ( n ? 1) × 2 = 2n . Ⅱ 由 所 得 bn =

1 1 1 1 1 1 = ……7 = = ? an ? an +1 2n ? 2 ( n + 1) 4n ( n + 1) 4 n n + 1
…………8 …………9

Tn =b1 + b2 + b3 + L + bn

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 = ?? 1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + L + ? ? ?? 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n n + 1 ?? 1? 1 ? = ?1 ? ? 4 ? n +1?

…………10 …………11

=


n . 4 ( n + 1)
数列 {bn } 的前 n 项和 Tn = 18 (本小题满 12 )

n . 4 ( n + 1)

…………12



作 FM / /CD 交 PC 于 M ,连接 ME .
P

…………

Q点F 为PD 的中点,
// 1 ∴ FM = CD , 2 // 1 又 AE= CD , 2

M

F D A E

C B

// ∴ AE= FM ,

∴ 四边形 AEMF 为平行四边形, ∴ AF / / EM ,

…………

Q AF ? 平面PEC , EM ? 平面PEC , ∴ 直线AF / / 平面PEC .
Ⅱ 连接 ED ,在 ?ADE 中, AD = 1 , AE =

…………3 …………4

1 , ∠DAE = 60° , 2
2

1 1 3 ?1? ∴ ED 2 = AD 2 + AE 2 ? 2 AD × AE × cos 60° =12 + ? ? ? 2 × 1 × × = , 2 2 4 ?2? ∴ ED = 3 , 2
…………5 …………6 …………7 …………8 …………9

∴ AE 2 + ED 2 = AD 2 , ∴ ED ⊥ AB .

PD ⊥ 平面ABCD , AB ? 平面ABCD ,
∴ PD ⊥ AB ,

PD ∩ ED = D, PD ? 平面PEF , ED ? 平面PEF ,
∴ AB ⊥ 平面PEF .

S ?PEF =

1 1 1 3 3 × PF × ED = × × = , 2 2 2 2 8 = VP ? BEF = VB ? PEF

∴ 棱锥 P ? BEF 的体 1 = × S ?PEF × BE 3 1 3 1 = × × 3 8 2 = 3 . 48
19 解 (本小题满 当日需求 12 )

…………10 …………11

…………12

n ≥ 10 时,
…………2

利润为 y = 60 × 10 + ( n ? 10 ) × 40 = 40n + 200 当日需求 所

n < 10 时,利润为 y = 60 × n ? (10 ? n ) × 10 = 70n ? 100 .…………4

利润 y 关于需求

n 的函数解析式为
…………6

? ?40n + 200 ( n ≥ 10, n ∈ N ) y=? . 70 n 100 n 10, n N ? < ∈ ( ) ? ?

50 天内有 4 天获得的利润为 390 元,有 8 天获得的利润为 460 元,有 10 天获得的利润为 530 元,有 14 天获得的利润为 600 元,有 9 天获得的利润为 640 元,有 5 天获得的利润为 680 元. …………9 为 9 、 10 、 11 , 其 对 应 的 频 数 …………10 别 为 10 、 14 、

650] 内 , 日 需 求 若 利 润 在 区 间 [500,
9.

则利润在区间 [500, 650] 内的概率为 20 (本小题满 12 )

10+14+9 33 = . 50 50

…………12

解析 解法一 解得 p = 2 , 所

I 由题意可得

2 ? ?m = 4 p , ? 2 + = 4 m 2 3 ? ?

…………2 …………3 …………4

2 抛物线 Ε 的方程为 y = 4 x .

II 因为点 Α ( 2, m ) 在抛物线 Ε : y 2 = 4 x 所

, …………5

m = ±2 2 ,

由抛物线的对 性, 妨设 Α 2, 2 2 . 由 Α 2, 2 2 , F (1, 0 ) 可得直线 ΑF 的方程 y = 2 2 ( x ? 1) . …………6 由?

(

)

(

)

? y = 2 2 ( x ? 1) ? ? ? y = 4x
2

,得 2 x ? 5 x + 2 = 0 ,
2

解得 x = 2 或 x = 又 G ( ?1, 0 ) , 所

1 ?1 ? ,从而 Β ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

…………7

kGΑ =

2 2 ?0 2 2 = , 2 ? ( ?1) 3

…………8

kGΒ =


? 2 ?0 2 2 , =? 1 3 ? ( ?1) 2

…………9

kGΑ + kGΒ = 0 ,从而 ∠ΑGF = ∠ΒGF ,
F 为圆心且 直线 GΑ 相 的圆必 直线 GΒ 相 .
I 同解法一. 点 F 为圆心且 直线 GΑ 相 的圆的半径为 r .
2

…………10 …………11 …………12

这表明点 F 到直线 GΑ , GΒ 的距离相等, 故 解法二 II 设

因为点 Α ( 2, m ) 在抛物线 Ε : y = 4 x 所

, …………5

m = ±2 2 ,

由抛物线的对 性, 妨设 Α 2, 2 2 . 由 Α 2, 2 2 , F (1, 0 ) 可得直线 ΑF 的方程为 y = 2 2 ( x ? 1) .…………6 由?

(

)

(

)

? y = 2 2 ( x ? 1) ? ? ? y = 4x
2

,得 2 x 2 ? 5 x + 2 = 0 ,

解得 x = 2 或 x =

1 ?1 ? ,从而 Β ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

…………7 …………8 …………9 …………10

又 G ( ?1, 0 ) ,故直线 GΑ 的方程为 2 2 x ? 3 y + 2 2 = 0 , 从而 r =

2 2+2 2 8+9

=

4 2 . 17

又直线 GΒ 的方程为 2 2 x + 3 y + 2 2 = 0 , 所 点 F 到直线 GΒ 的距离 d =

2 2 +2 2 8+9

=

4 2 =r. 17

…………11 …………12

这表明 点 F 为圆心且 直线 GΑ 相 的圆必 直线 GΒ 相 . 21 解 ( 所 (本小题满 12 ) y

)依题,函数 f ( x) 的定义域为 (0, +∞) ,

方程 f ′( x) = 0 在 (0, +∞) 有两个 同根. A o 1 x …………3 y=lnx

y=ax

即,方程 ln x ? ax = 0 在 (0, +∞) 有两个 同根. ………………令 解法一 转化为,函数 y = ln x 的图 在 (0, +∞) 只须 0 < a < k . 点 A( x0 , ln x0 ) ,所 解得, x 0 = e ,于是 k = 所 函数 y = ax

有两个 同交点,如图. 的直线斜率为 k ,

可见,若 过原点且 于函数 y = ln x 图

…………4

k = y′ |x= x0 =
1 , e

ln x0 1 ,又 k = ,所 x0 x0

1 ln x0 = , x0 x0
…………5 …………6

1 0<a< . e
解法二 转化为,函数 g ( x) =

ln x x

函数 y = a 的图 在 (0, +∞)

有两个 同交点.

1 ? ln x , x2 即 0 < x < e 时, g ′( x) > 0 , x > e 时, g ′( x) < 0 ,
又 g ′( x) = 所

…………以

g ( x) 在 (0, e) 单调增,在 (e, +∞)
1 e

单调

. …………3

从而 g ( x )极大 = g (e) =

又 g ( x) 有且只有一个零点是 令,且在 x → 0 时, g ( x) → ?∞ ,在在 x → +∞ 时, g ( x) → 0 , 所

g ( x) 的草图如 ,

…………5

1 e
a o

y

1

e

x

可见,要想函数 g ( x) = 图 在 (0, +∞)

ln x x

函数 y = a 的

有两个 同交点,

只须 0 < a < 解法 而 g ′( x ) =

1 . …………6 e g ( x) = ln x ? ax ,从而转化为函数 g ( x) 有两个 同零点,
…………以

1 1 ? ax ? ax = x>0 x x 若 a ≤ 0 ,可见 g ′( x) > 0 在 (0, +∞) 恒成立,所
时 g ( x) 可能有两个 同零点.

g ( x) 在 (0, +∞) 单调增,
…………3

1 1 时, g ′( x) > 0 ,在 x > 时, g ′( x) < 0 , a a 1 1 所 g ( x) 在 (0, ) 单调增,在 ( , +∞) 单调 , a a 1 1 从而 g ( x)极大 = g ( ) = ln ? 1 …………4 a a 又因为在 x → 0 时, g ( x) → ?∞ ,在在 x → +∞ 时, g ( x) → ?∞ ,于是只须
若 a > 0 ,在 0 < x <

1 1 ? 1 > 0 ,所 0 < a < . …………5 a e 1 综 所述, 0 < a < …………6 e 由 可知 x1 , x2 别是方程 ln x ? ax = 0 的两个根,
g ( x)极大 > 0 ,即 ln
即 ln x1 = ax1 , ln x2 = ax2 ,

x ln 1 x1 = a( x1 ? x2 ) ,即 x2 . 设 x1 > x2 ,作差得, ln a= x2 x1 ? x2

2 等式 x1 ? x2 > e 等价于

…………7

ln x1 + ln x2 > 2 ? a ( x1 + x2 ) > 2 ? ln

x1 2 ( x1 ? x2 ) > x2 x1 + x2

…………8

x1 2 ( x1 ? x2 ) 2 ( t ? 1) x = t ,则 t > 1 , ln 1 > ? ln t > x2 x2 x1 + x2 t +1

…………9

( t ? 1) > 0 2 ( t ? 1) 设 g ( t ) = ln t ? , , t > 1 , g ' (t ) = 2 t +1 t ( t + 1)
2

∴ 函 数 g ( t ) 在 (1, +∞ ) ∴ g ( t ) > g (1) = 0 ,

单调递增,

…………令代



等 式 ln t >

2 ( t ? 1) 成立, t +1
10 ) …………1
D

…………令令 …………令以

故所证 以以 解

2 等 式 x1 ? x2 > e 成 立 .

(本小题满

如图所示,连接 DE ,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形,
A C

∠BDE = ∠BCA , 又 ∠DBE = ∠CBA , 所 ?DBE ~ ?CBA ,
即有

BE DE = . ………… BA CA E 又 AB = 2 AC , B ………… 所 , BE = 2 DE , 又 CD 是 ∠ACB 的平 线,所 AD = DE , ………… 从而 BE = 2 AD . ………… 因为 AC = 1 , EC = 2 ,所 AB = 2 AC = 2 , …………6 设 AD = t ,根据割线定理得, BD ? BA = BE ? BC ,即

( AB ? AD ) ? BA = 2 AD ? ( 2 AD + CE ) ,


…………7

( 2 ? t ) × 2 = 2t ( 2t + 2 ) ,
2

即 2t + 3t ? 2 = 0 , 解得 t =

…………8 …………9 …………10

1 或t = ?2 ( 舍去 ) , 2 1 即 AD = . 2
23 解: (本小题满 10 ) 曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2) 2 + y 2 = 4 ,

即 x 2 + y 2 ? 4 x = 0 ,将 ? 所

? x = ρ cos θ ? y = ρ sin θ

入方程 x + y ? 4 x = 0 化简得 ρ = 4 cos θ .
2 2

,曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 4 cos θ .

…………5

Q 直线 l 的直角坐标方程为 x + y ? 4 = 0 ,

? x 2 + y 2 ? 4 x = 0, 由? 得直线 l ? x + y = 4,
所 弦长 OA = 2 2 . 以4 ( ) (本小题满 当x≤? 10 )

曲线 C 的交点坐标为 (2, 2), (4, 0) , …………10

1 时, ?1 ? 2 x + x ≥ 2 ? x ≤ ?3 ,所 x ≤ ?3 2 1 1 当 ? < x < 0 时, 2 x + 1 + x ≥ 2 ? x ≥ ,所 为 φ 2 3

当 x ≥ 0 时, x + 1 ≥ 2 ? x ≥ 1 ,所 综合 (

x ≥1
…………5

等式的解集为 ( ?∞, ?3] ∪ [1, +∞ )

)即 2 x + 1 ? 2 x ≤ 2 + a ? x + 由绝对值的几何意义,只需 ?

1 a ? x ≤ 1+ 2 2
…………令代

1 a ≤ 1 + ? a ≥ ?3 2 2



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