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高中数学必修1-5综合测试题2


高中数学必修 1-5 综合测试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 1 1. 已知集合 M ? {?2, ?1, 0,1, 2},N ? {x | ? 2 x ?1 ? 8,x ? R} ,则 M ? N ? 2
A. {0,1} B. {?1 , 0} C. {?1, 0,1} D. {?2, ?1, 0,1, 2} )

2. 已知数列{ an }既是等差数列又是等比数列,则这个数列的前 n 项和为 (
A.0 B.n C.n a 1 D.a 1
n

3. 已知实数列 1,a,b,c,2 成等比数列,则 abc 等于(
A.4 B. ? 4 C. 2

) D. ? ) y

2

2 2

4. 函数 y ? a x (0 ? a ? 1) 的反函数的图象大致是 (
y y y 1 O A 1 x O B 1 x O C

1 x O D ) x

? ? ? ? 5. 若平面向量 a ? (?1, 2) 与 b 的夹角是 180°,且 | b |? 3 5 ,则 b 的坐标为(? A. (3, ?6) B. (?6,3) C. (6, ?3) D. (?3, 6) 6.已知 x ? y ? ?1, x ? y ? 4, y ? 2 ? 0, 则 2 x ? 4 y 的最小值是
A.8 B.9 C.10 D.13

7. 如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图,
则组成此几何体的长方体木块块数共有 A.3 块 B.4 块 C.5 块 D.6 块

8. 等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则 a12+a22+a32+…
+an 等于 ( (A) (2 n ? 1) 2
2

) (B) (2 ? 1)
n

1 3

(C) 4 ? 1
n

(D)

1 n (4 ? 1) 3


9. 已知在 ?ABC 中, sin B ?

4 5 ? ,? tan A ? ,则( 13 12

A. C ? A ? B B. C ? B ? A C. B ? A ? C C. A ? B ? C 2 2 10、 二次方程 x +(a +1)x+a-2=0,有一个根比 1 大,另一个根比-1 小,则 a 的取值范围是 ( ) A.-3<a<1 B.-2<a<0 C.-1<a<0 D.0<a<2

1

11. 要得到函数 y ?
图象( ?)

? 1 3 ? sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin( 2 x ? ) ? sin 2 x ? 的 6 2 2 3
? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移 )

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6 + 12.设 x,y ? R ,且 xy-(x+y)=1,则 (
A.向右平移 (A) x+y ? 2 2 +2 (C) x+y ? ( 2 +1)
2

(B) xy ?

2 +1

(D)xy ? 2 2 +2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 不等式

x 2 ? 8x ? 20 ? 0 的解集为 R ,则实数 m 的取值范围 m x2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4


14. 若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标
准方程是

15. 经 过 圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的 圆 心 C , 且 与 直 线 x ? y ? 0
是 .

垂直的直线方程

16. 设 f ( x) 的定义域为 R,若存在常数 M>0,使 | f ( x) |? M | x | 对一切实数成立,则称

f ( x) 为 F 函 数 , 给 出 下 列 函 数 . ① f ( x) =0 ; ② f ( x) = x 2 ; ③

f ( x) ? 2 ( s ix n? c o x s) ;④ f ( x) ?
数,且满足对一切实数 x1,x2 均有 | 有 .(请填写序号)

x x ? x ?1
2

;⑤

f ( x) 是定义在 R 上的奇函

f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 | x1 ? x2 | ,其中为 F 函数的

三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分. 17. 等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .

2

? 18.已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R,? > 0) 的最小正周期是 . 2
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.

19. 如 图 , 在 直 四 棱 柱 A B C? D1 A B C D 已 知 1 1 中 1 ,

DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ⊥ DC,AB//DC .
(1)求证: D1C ⊥ AC1 ; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使 D1E // 平面 A 1BD , 并说明理由.

3

20 数列 {an } 的各项均为正数, an?1 ? an?1an 求 1.数列 {an } 的通项公式;2.

2

2 ,? a 4 的等差中项 ? 2an ? 0 , a3 ? 2是a2 ?

bn ? a n log 1 a n 求前 n 项的和 Sn, S n ? n ? 2 n?1 ? 50
2



正整数 n 的最小值 成立的

20、在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且

cos B b ?? . cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13,a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积

4

选做题
(时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 1. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,当 x>2 时, f ( x) 单调递增,如果

x1 ? x2 ? 4? , ?且( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值为(
A.恒小于 0 C.可能为 0 B.恒大于 0 D.可正可负



2. 一个等比数列 {an } 的前 n 项和为 48, 前 2n 项和为 60, 则前 3n 项和为 ( A、63 B、108 C、75 D、83



二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 3. 设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,
则通项 an ? __________。

4. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球
面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球 的体积为_________.

三、解答题:本大题共 2 小题,共 30 分. 5. 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?,
AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM

3 1 6. 若 {an } 的前 n 项和为 Sn , 点 (n, S n ) 均在函数 y= x 2 ? x 的图像上。 2 2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式(Ⅱ)设 bn ? 项和,求使得 Tn ?

3 ,Tn 是数列 {bn } 的前 n a n a n ?1

m 对所有 n ? N ? 都成立的最小正整数 m。 20

5

参考答案
一、选择题 (答案+提示) 1.C2. C3. C 4. C 5. B 6. C7.B8. D9. A 10. C11.C12.A 二、填空题 1 13(-∞,- ﹚14 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 本小题主要考查圆与直线相切问题。 2 | 4a ? 3 | 1 ? 1, ?a ? 2 舍 a ? ? 设圆心为 ( a,1), 由已知得 d ? 5 2 15. x ? y ? 1 ? 0 。16. ①④⑤
在这样的 M,在③中 在②中, | x
2

|? M | x | 即| x |? M ,∵x∈R,故不存

? ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) ,即 2 | sin( x ? ) |? M | x | ,即 2 ? M | x | 对 4 4

一切 x 恒成立,故不存在这样的 M.

三、解答题 (详细解答)

? 18. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ? ) ? a ? 1 6
因为函数 f ( x ) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1 ………… (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知: f ( x) ? 2sin(? x ?

?

? ? ) 把函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ) 的图象向右平移 6 6 6?
?
4 ] 上为增函数

个单位,可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x …又? y ? g ( x) 在 [0,

? g ( x) 的周期 T ?

2?

?

? ? 即 ? ? 2 所以 ? 的最大值为 2 …………………………

19. (1)证明:在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 连结 C1D , ? DC ? DD1 ,

? 四边形 DCC1D1 是正方形. ? DC1 ⊥ D1C . 又
AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC ⊥ DD1 ? D ,
? AD ⊥ 平面 DCC1D1 , D1C ? 平面 DCC1D1 ,

? AD ⊥ D1C . ? AD,DC1 ? 平面 ADC1 ,且 AD ⊥ DC1 ? D ,

? D1C ⊥平面 ADC1 ,

又 AC1 ? 平面 ADC1 , ? D1 C⊥ A 1 . C

(2)连结 AD1 ,连结 AE ,设 AD1 ? A1D ? M ,

BD ? AE ? N ,连结 MN ,

D1

C1
B1

? 平面 AD1E ? 平面 A1BD ? MN ,

A1

M

6

要使 D1E ∥平面 A 1BD ,须使 MN ∥ D 1E , 又 M 是 AD1 的中点.

? N 是 AE 的中点.
? AB ? DE .

又易知 △ ABN ≌△EDN , 即 E 是 DC 的中点.

综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E ∥平面 A 1BD . 20. 1)∵ an?1 ? an?1an
2 2 ? 2an ? 0 ,∴ (an?1 ? an )(an?1 ? 2an ) ? 0 ,

∵数列 {an } 的各项均为正数,∴ an?1 ? an 即 an?1 ∵ a3

? 0 ,∴ an?1 ? 2an ? 0 ,

? 2an (n∈N ? ),所以数列 {an } 是以 2 为公比的等比数列.

? 2是a2 ? ,? a 4 的等差中项,∴ a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 ,
? 8a1 ? 4 ,∴a1=2,∴数列 {an } 的通项公式 an ? 2 n .
? a n log 1 a n ,得 bn ? ?n ? 2 n ,
2

∴ 2a1 ? 8a1

(2)由(1)及 bn



S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , ∴ S n ? ?2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? 4 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ,

①∴ 2S n

? ?22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? 4 ? 25 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n ? 2
2 3 4 5 n n?1



①-②得, S n

2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n?1 1? 2

? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 . 要 使 S n ? n ? 2 n?1 ? 50

成立,只需

2 n?1 ? 2 ? 50 成 立 , 即

2n?1 ? 52? ,? n ? 5? . ∴使 S n ? n ? 2 n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5.
21. (1) 由

cos B b cos B sin B ?? ? ?? cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? 2sin A cos B ? ? sin B cos C ? cos B sin C

? 2sin A cos B ? ? sin( B ? C ) ? 2sin A cos B ? ? sin A
1 2 ? cos B ? ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? ? 2 3
(2)S=

3 3 4

选做题答案
1. A 妨设 x1 由 x1 ? x2

? 4? ,? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 知 x1,x2 中有一个小于 2,一个大于 2,即不

? 2 ? x2 ? , ?又f (? x) ? ? f ( x ? 4) 知 f ( x) 以(2,0)为对称中心,且当 x>2 时,
7

f ( x) 单 调 递 增 , 所 以 x1 ? 2 ? 4 ? x1? ,? f ( x2 ) ? f (4 ? x1 ) ? ? f ( x1 ) , 所 以

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故选 A.
2.A 3. .
n ? n ? 1? ? 1 _。 2

4. V ?
2R ?

4 ?. 3
2

? 3?

? 12 ? 2

∴R ?1

∴球的体积 V ?

4 ? 3

5. ①∵SA?平面 ABC
∴SA?BC 又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A ∴BC?平面 SAB ∵AN ? 平面 SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B ∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A ∴SC?平面 ANM 6. 解: (1)由题意知:

Sn ?

3 2 1 n ? n 2 2

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 3n ? 2 ,当 n=1 时, a1 ? 1 ,适合上式。

? an ? 3n ? 2 3 3 1 1 (2) bn ? ? ? ? a n a n?1 (3n ? 2)(3n ? 1) 3n ? 2 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 3n ? 1 3 ?Tn ?在n ? N *上是增函数 ? (Tn) min ? T1 ? 4

8

要使 Tn ?

? m ? 16

m m 3 对所有 n ? N *都成立,只需 ? ? m ? 15 20 20 4

9



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