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高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理习题课件2新人教a版选修12

第二章
推理与证明

2. 1

合情推理与演绎推理

课时作业(05)

类比推理

作业 目标 作业 设计

①了解合情推理的含义,能利用归纳、类比进行 简单的推理.②了解类比推理在数学中的作用.

限时:40 分钟 满分:90 分

一、选择题:每小题 5 分,共 30 分. 1. 立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是( A.三棱柱 C.三棱锥 B.三棱台 D.正方体 )

答案:C

2.下面使用类比推理恰当的是(

)

A. “若 a· 3=b· 3, 则 a=b”类推出“若 a· 0=b· 0, 则 a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“(a· b)c=ac· bc” a+b a b C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ c =c +c (c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”
解析:由实数运算的知识易得 C 项正确.
答案:C

3.下面几种推理是类比推理的是(

)

A.因为三角形的内角和是 180° ×(3-2),四边形的内角和 是 180° ×(4-2),…,所以 n 边形的内角和是 180° ×(n-2) B.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 C.某校高二年级有 20 个班,1 班有 51 位团员,2 班有 53 位团员,3 班有 52 位团员,由此可以推测各班都超过 50 位团员 D.4 能被 2 整除,6 能被 2 整除,8 能被 2 整除,所以偶数 能被 2 整除

解析:A、C、D 是归纳推理,B 是类比推理.
答案:B

1 4.三角形的面积为 S=2(a+b+c)r,a、b、c 为三角形的边 长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的 体积为( )

1 A.V=3abc 1 B.V=3Sh

1 C.V=3(S1+S2+S3+S4)r,(S1、S2、S3、S4 为四个面的面积, r 为内切球的半径) 1 D.V= (ab+bc+ac)h,(h 为四面体的高) 3

解析:△ABC 的内心为 O,连接 OA、OB、OC,将△ABC 分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是 r,底边长分别 为 a、b、c;类比:设四面体 ABCD 的内切球球心为 O,连接 OA、OB、OC、OD,将四面体分割为四个以 O 为顶点,以原来 1 面为底面的四面体,高都为 r,所以有 V= (S1+S2+S3+S4)r. 3

答案:C

5.下列推理正确的是(

)

A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有:loga(x+y)=logax+ logay B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有:sin(x+y)=sinx+siny C.把(ab)n 与(a+b)n 类比,则有:(x+y)n=xn+yn D.把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则有:(xy)z=x(yz)

解析:A 错误,因为 logax+logay=loga(xy)(x>0,y>0);B 错误,因为 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny;对于 C,则有(x+y)n
n 1 n 1 n =C0 · y+…+Cr xn r· yr+…+Cn nx +Cnx n· ny ;D 正确,为加乘法
- -

的结合律,故选 D.
答案:D

6.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1· b2 · b3 · b4 · b5 · b6· b7· b8· b9 =29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为( A.a1a2a3…a9=29 B.a1+a2+a3+…+a9=29 C.a1a2a3…a9=2×9 D.a1+a2+a3+…+a9=2×9 )

解析:等比数列中的乘法运算,类比为等差数列中的加法运 算,等比数列中的乘方运算,类比为等差数列中的乘法运算,故 选 D.
答案:D

二、填空题:每小题 5 分,共 15 分. 7.若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列 bn= a1+a2+a3+…+an (n∈N*)也是等差数列.类比上述性质, n 相应地有,若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且 cn>0,则数列 dn =__________(n∈N*)也是等比数列.

解析:由等差、等比数列的性质易知,等差数列、等比数列 在运算上具有相似性.等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商 与开方的类比.由此猜想 dn= c1c2c3…cn. n

答案: c1c2c3…cn

n

a11+a12+…+a20 8 . 已 知 等 差 数 列 {an} 中 , 有 = 10 a1+a2+…+a30 , 则 在 等 比 数 列 {bn} 中 , 会 有 类 似 的 结 论 30 __________.
解析:由等比数列的性质可知,b1b30=b2b29=…=b11b20, ∴ 10 b11b12…b20= 30 b1b2…b30.

答案:

10

b11b12…b20=

30

b1b2…b30

9. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S4, S8-S4, S12-S8, S16-S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,__________,__________, T16 成等比数列. T12

解析:等差数列类比于等比数列时,和类比于积,减法类比 于除法,可得类比结论为:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T8 T12 T16 T4,T , T ,T 成等比数列. 4 8 12

T8 T12 答案:T T 4 8

三、解答题:每小题 15 分,共 45 分. 10.如图,在长方形 ABCD 中,对角线 AC 与两邻边所成的 角分别为 α、β,则 cos2α+cos2β=1,则在立体几何中,给出类 比猜想.

解:在长方体 ABCDA′B′C′D′中,AC′与 AB、AD、 AA′所成的角分别为 α、β、γ,则 cos2α+cos2β+cos2γ=1. 如图所示.

证明:设 AB=a,AD=b,AA′=c,连接 BC′,则 cosα a = 2 2 2. a +b +c b c 同理,可得 cosβ= 2 2 2,cosγ= 2 2 2. a +b +c a +b +c
2 2 2 a + b + c 所以 cos2α+cos2β+cos2γ= 2 2 2=1. a +b +c

11.在公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n T20 T30 T40 项积,则有T ,T ,T 也成等比数列,且公比为 4100;类比上 10 20 30 述结论,相应地在公差为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和. (1)写出相应的结论,判断该结论是否正确?并加以证明; (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明).

解:(1)该结论是正确的,证明如下: ∵S20-S10=a11+a12+…+a20, S30-S20=a21+a22+…+a30, S40-S30=a31+a32+…+a40, ∴(S30-S20)-(S20-S10)=(a21-a11)+(a22-a12)+…+(a30- a20)=10×3+10×3+…+10×3=300,(S40-S30)-(S30-S20)= (a31 - a21) + (a32 - a22) + … + (a45 - a30) = 10×3 + 10×3 + … + 10×3=300. ∴数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30,也成等差数列,且公差 为 300.

12.如图(1),在三角形 ABC 中,AB⊥AC,若 AD⊥BC,则 AB2=BD· BC;若类比该命题,如图(2),三棱锥 A-BCD 中,AD ⊥平面 ABC,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M,则 可以得到什么命题?命题是否是真命题并加以证明.

图(1)

图(2)

解:命题是:三棱锥 A-BCD 中,AD⊥平面 ABC,若 A 点
2 在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M,则有 S△ S△BCD ABC=S△BCM·

是一个真命题. 证明如下:

在图(2)中,连接 DM,并延长交 BC 于 E,连接 AE,则有 DE⊥BC. 因为 AD⊥平面 ABC, 所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE,所以 AE2=EM· ED. 于是
?1 ? ?1 ? ?1 ? 2 ? BC· AE? =?2BC· EM?· ED?=S△BCM· S△ABC=?2BC· S△BCD. 2 ? ? ? ?? ?
2



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