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高中数学人教A版选修2-1课件:本章整合2


本章整合

-1-

定义:|1 | + |2 | = 2 > |1 2 | = 2 标准方程 焦点在轴上: 2 + 2 = 1( > > 0)

2

2

椭圆

2 2 焦点在轴上: 2 + 2 = 1( > > 0)

顶点:( ± ,0),(0, ± )或(0, ± ),( ± ,0) 对称轴:轴,轴;长轴长 2,短轴长 2 性质 焦点:(-,0),(,0)或(0,-),(0,) 焦距:|1 2 | = 2, = 2 - 2 离心率: =

(0 < < 1)

定义:||1 |-|2 || = 2 < |1 2 | = 2

圆 锥 曲 线

标准方程

焦点在轴上: 2 - 2 = 1(, > 0)

2 2

2 2 焦点在轴上: 2 - 2 = 1(, > 0)
渐近线方程 = ±

焦点在轴上:顶点( ± ,0),焦点( ± ,0) 双曲线

2 2 或 2 - 2 = 0 2 2 或 2 - 2 = 0

焦点在轴上:顶点(0, ± ),焦点(0, ± ) 性质 渐近线方程 = ± 焦距:|1 2 | = 2, = 离心率: = 定义:|| = 标准方程 抛物线 焦点在轴上: 2 = ±2( > 0) 焦点在轴上: 2 = ±2( > 0)

( > 1)

2 + 2

, 0 或 0, ± 2 2 性质 准线: = ? 或 = ? 2 2
焦点: ± 离心率: = 1

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题一 直线与圆锥曲线的位置关系 1.已知直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线M的方程为f(x,y)=0. + + = 0, 由 消元, (,) = 0 如消去y后,得ax2+bx+c=0. (1)若a=0,当圆锥曲线M是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行; 当圆锥曲线M是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). (2)若a≠0,设Δ=b2-4ac. 当Δ>0时,直线和圆锥曲线M相交于不同的两点; 当Δ=0时,直线和圆锥曲线M相切于一点; 当Δ<0时,直线和圆锥曲线M没有公共点.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

2.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面 几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、 线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数 的方法,还要多结合圆锥曲线的定义、根与系数的关系以及“点差 法”等.这些问题也是以往高考的重点和热点,高考中,大多以解答题 的形式出现而且难度较大.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用1已知直线y=(a+1)x-1与y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值. 提示:本题主要考查直线与抛物线的位置关系,应转化为直线方 程与曲线方程恰有一个公共解,同时注意分类讨论思想的运用.

解:联立方程,得

= 1, 当 a=0 时,此方程组恰有一组解为 = 0. +1 当 a≠0 时,得 2 ? ? 1 = 0.

= ( + 1)-1, 2 = .

①若

+1



= 0, 即a=-1, = -1, = -1;

则方程为-y-1=0,得

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

②若


这时直线与曲线相切,只有一个公共点. 综上可知,当 直线 y=(a+1)x-1 与 y2=ax 恰有一个公共点.
4 a=0,-1,? 时, 5

+1 ≠0,即 a≠-1, 4(+1) Δ=0,得 1+

= 0, 解得a=? .

4 5

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用2

2 已知椭圆 2

+

2
2

= 1( > > 0)的离心率 =

3 , 2

连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.点 A 的坐标为(-a,0), 点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且 · = 4. 求0 的值.

解:(1)由 e=

再由 c2=a2-b2,得 a=2b.
1



=

3 , 得3a2=4c2. 2

由题意可知 × 2 × 2 = 4, 即ab=2. 2 = 2, 解方程组 得a=2,b=1. = 2,
2 故椭圆的方程为 4

+ 2 = 1.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

(2)由(1)可知 A(-2,0). 设点 B 的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k. 则直线 l 的方程为 y=k(x+2). = ( + 2), 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 2 + 2 = 1. 由方程组消去 y 并整理,得 (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 由-2x1=
162 -4 1+4 4
2

4

, 得x1=

2-82

1+4

2.

从而 y1=

1+4

2 . 设线段AB

的中点为 M,
2 1+4
2

则点 M 的坐标为 -

82

1+4

2,

.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

以下分两种情况: ①当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 于是 = (?2, ?0), = (2, ?0). 由 · = 4, 得y0=±2 2. ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y?
2 1+4
2

=

解得 y0=?

1 ? 6

+
2.

82 1+4
2

. 令x=0,

1+4

由 = (?2, ?0), = (1, 1 ? 0), · = ?21 ? 0(1 ? 0) = =

-2(2-8 )
4

2

1 + 4
2 2 2

2

+

6 1 + 4
2

4 1 + 4
2

+

6 1 + 4
2

4(16 +15 -1) (1+4 )

= 4, 整理得7k2=2.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

故 k=±

14 2 14 . 所以y0=± . 7 5

综上所述,y0=±2 2或y0=±

2 14 . 5

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题二 动点的轨迹方程 1.求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围. 2.求轨迹方程的常用方法: (1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系式F(x,y)=0,注意求谁 设谁. (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程,先根据条件设 出所求曲线的含参方程,再由条件确定其待定系数. (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲 线的定义直接写出动点的轨迹方程. (4)相关点法:动点P(x,y)随另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且 Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用含x,y的代数式表示x0,y0,再将 x0,y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用△ABC的一边的两个顶点分别为B(-a,0),C(a,0)(a>0),另两边 的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程,并且根据m的取值情 况讨论其轨迹.

解:设顶点 A 的坐标为(x,y),则 kAB=
由题意,得 · + -

, + AC

=

=

2 , 即 2

2 ? 2

. -

= 1(≠0).

当m>0时,轨迹是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(两顶点除 外); 当m<0,且m≠-1时,轨迹是中心在原点,以坐标轴为对称轴的椭圆 (除去与x轴的两个交点),其中当-1<m<0时,椭圆的焦点在x轴上; 当m<-1时,椭圆的焦点在y轴上; 当m=-1时,轨迹是圆心在原点,半径为a的圆(除去与x轴的两个交 点).

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题三 与圆锥曲线有关的最值和范围问题 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: 1.结合定义利用图形中几何量之间的大小关系. 2.不等式(组)求解法:根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所 讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化 范围. 3.函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、另一个适当 的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数 的变化范围. 4.利用基本不等式:基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进 行巧妙的构思. 5.构造一个一元二次方程,利用判别式Δ≥0来求解.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用 设

2 F1,F2 分别是椭圆 4

+ 2 = 1 的左、右焦点.

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求1 ·2 的最大值和最小值; (2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率的取值范围. 提示:本题(1)中求最值时要注意变量 x 的范围是由椭圆的范围 得到的,应注意这种条件的发掘和应用. (2)中∠AOB 为锐角可由向量进行转化,但两者不完全相同,如 , 同向共线时,也有 · > 0, 在解题时要注意这些特殊情况.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

解:(1)由已知得 F1(? 3, 0), 2( 3, 0), 设点

当 x=0,即 P(0,±1)时,(1 ·2 )min = ?2; 当 x=±2,即 P(±2,0)时,(1 ·2 )max = 1. (2)过点 M(0,2)的直线设为 y=kx+2, = + 2, 由 2 + 2 = 1, 消去 y 化简整理,得(1+4k2)x2+16kx+12=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=?
16 1+4
2 , 12 =

2 3 故1 ·2 = 2 ? 3 + 2 = 2 ? 3 + 1 ? = 2 ? 2, 4 4

2 P(x,y),则 4

+ 2 = 1, 且-2≤x≤2.

4

12

1+4

2,

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0, 3 2 解得 k > . 又因为∠AOB 为锐角, 所以 · > 0. 即 x1x2+y1y2>0, 即 x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0, 故(1+k2)·
3 4 12 4

解得 k2<4.

1+4

2 + 2 ·

-16
2

1+4

+ 4 > 0,

因此, < 2 < 4, 即 k∈ -2,3 2



3 ,2 2

.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题四 定点、定值问题的求解策略 1.定点问题的求解策略 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件 建立b,k数量关系进行消元,借助于直线方程找出定点; (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

2.定值问题的求解策略 (1)有关斜率的定值问题,包含证明动直线的斜率为定值,不同直 线斜率的关系 比如: 1 + 2, 1· k2,
1 1 , 1 · 2 1

+

1 等 2

是定值,

证明两条直线垂直(即证明两条直线的斜率之积为定值 ? 1)等, 方法是设原始量的有关变量, 逐步表示出关系式中涉及的斜率, 最后进行化简得到一个定值. (2)有关向量的定值问题,包括向量之积为定值,向量之间一些组 合关系为定值.方法是先设出原始的变量,逐步表示出向量所涉及的 点的坐标,再表示出向量直接利用坐标关系列式子,最后化简,得定 值.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用 1 若直线 l:y=kx+m 与椭圆

2 C: 4

2 + 3

= 1, 相交于, 两点

(, 不是左、右顶点), 且以为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.
证明:设点 A(x1,y1),B(x2,y2), = + , 由 2 2 + = 1, 得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0. ∵Δ>0,∴3+4k2-m2>0.

4

3

∴x1+x2= ∴y1y2=

-8

3+4 3(2 -42 ) 3+4
2

2 , 12

=

4(2 -3) 3+4
2

,

.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

∵以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 D(2,0), ∴kAD· kBD=-1. ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. ∴7m2+16mk+4k2=0. 2 ∴m1=-2k,m2=? 7 , 且均满足3+4k2-m2>0.
盾.
2 7 2 7

当 m=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2),则直线过定点(2,0),与已知矛 当 m=? 时,l 的方程为 y= 故直线过定点,坐标为
2 ,0 7

, 则直线过定点

2 ,0 7

.

.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用 2

2 已知椭圆 2

+

2
2

= 1 > > 0 的左、右焦点分别

为1, 2, 短轴两个端点为, , 且四边形12是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C,D 分别是椭圆长轴的左、 右端点,动点 M 满足 MD⊥CD, 连接 CM,交椭圆于点 P.证明: · 为定值; (3)在(2)的条件下,试问:x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得 以 MP 为直径的圆恒过直线 DP,MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐 标?若不存在,说明理由.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

(1)解:如图,由题意,得 2b=2c=2 2, 则b=c= 2, = 2.

2 故所求的椭圆方程为 4

2 + 2

= 1.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

(2)证明:由(1)知点 C(-2,0),D(2,0). 由题意可设 CM:y=k(x+2),P(x1,y1). ∵MD⊥CD,∴M(2,4k). 由
2 4

= ( + 2)
82 -4 1+2 2-42
2,

2 + 2

= 1,

整理,得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0.

∵-2x1= ∴x1=

1+2

2 , 1 = (1 + 2) =

4

即 ∴ · = 2 ·

2-4

2 2

1+2

2,

1 + 2 1 + 2 2 2-4 4
2

,

4
2

, =

即 ·为定值.

1 + 2

+ 4 ·

4(1 + 2 ) 1 + 2
2

2

1 + 2

2

= 4.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

(3)解:设 Q(x0,0),则 x0≠-2. 若以 MP 为直径的圆恒过 DP,MQ 的交点,则 MQ⊥DP, 故 · = 0 恒成立. 由(2)可知 = (2 ? 0,4), = 即 · = (2 ? 0) · 即
82 1+2
2

-8

2

-8

2 2

1+2

2,

4 1+2
2

,
2

1 + 2

+ 4 ·

4

1 + 2

= 0,

× 0 = 0 恒成立,即 x0=0.

故存在 Q(0,0),使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP,MQ 的交点.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题五 存在性问题的求解策略 圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点,主要以解答题的形 式出现,难度较大,一般作为压轴题.解决这类问题往往采用“假设反 证法”或“假设检验法”,也可先用特殊情况得到所求值,再给出一般 性的证明.考查的知识点多,能力要求高,尤其是运算变形能力,同时 着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用 直线 l:ax-y-1=0 与双曲线 C:x2-2y2=1 相交于 P,Q 两点. (1)当实数 a 为何值时,|PQ|=2 1 + 2 ; (2)是否存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存 在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
提示:(1)将直线方程与双曲线方程联立,利用弦长公式求解即 可;(2)假设存在,根据已知条件进行推理,看推导结果是否与已知条 件相矛盾.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

解:(1)设点 P,Q 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), --1 = 0, 则(x1,y1),(x2,y2)是方程组 2 的实数解,消去 y,得 2 -2 -1 = 0 (1-2a2)x2+4ax-3=0. 当 1-2a2=0 时,直线与双曲线只能有一个交点,故不合题意. 当 1-2a ≠0 时,由 Δ>0,得 ?
-4 , 12 1-22
2

=

3 ? , 1-22

6 2

< <

6 2 , 且a≠± . 又x1+x2= 2 2

由弦长公式,得|PQ|= 1 + 2 · 与已知联立,得 a2=1. 故所求的实数 a=±1.

-4 1-22

2

-4

-3 1-22

,

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

(2)假设存在实数a, 使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O,则由OP⊥OQ, 得x1x2+y1y2=0,从而得a2=-2, 这与实数的性质矛盾,故不存在实数a, 使得以PQ为直径的圆过坐标原点.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1(2015 课标全国Ⅱ高考)已知 A,B 为双曲线 E 的左、 右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) A. 5B. 2C. 3D. 2
2 解析:设双曲线的标准方程为 2

?

2
2

= 1 > 0, > 0 ,

点M 在右支上, 如图所示,∠ABM=120°, 过点 M 向 x 轴作垂线,垂足为 N,则∠MBN=60°. ∵AB=BM=2a, ∴MN=2asin 60°= 3, = 2cos 60°=a.
2 2 ∴点 M 坐标为(2a, 3), 代入双曲线方程 2 ? 2 = 2 2 2 整理,得 2 = 1, 即 2 = 1. ∴ 2 = 1 + 2 = 2, ∴ =

1, 2.

答案:D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2(2015 广东高考)已知双曲线
2 2 A. ? 4 3 2 2 C. ? 16 9

2 C: 2

?

2
2

= 1 的离心率 = , )

5 4

且其右焦点为2(5,0), 则双曲线的方程为( = =
2 2 1B. ? 9 16 2 2 1D. ? 3 4


=1 =1
5 , 所以a=4. 4

解析:因为双曲线 C 的右焦点为 F2(5,0),所以 c=5. 因为离心率 e= 故双曲线 C
答案:C

=

又 a2+b2=c2,所以 b2=9.

2 2 的方程为 ? 16 9

= 1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3(2015

2 天津高考)已知双曲线 2

?

2
2

= 1( > 0, > 0)

的一条渐近线过点(2, 3), 且双曲线的一个焦点在抛物线2 = 4 7的准线上, 则双曲线的方程为( )
2 2 2 2 A. ? = 1B. ? = 1 21 28 28 21 2 2 2 2 C. ? = 1D. ? = 1 3 4 4 3 2 2 解析:因为双曲线 2 ? 2 = 1( 2 所以 = 3. ①

> 0, > 0)的渐近线方程为y=±

,

又因为抛物线 y2=4 7的准线为x=? 7, 所以 c= 2 + 2 = 7. ② 由①②,得 a =4,b
答案:D
2 2

2 =3.故所求双曲线的方程为 4

2 ? 3

= 1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

4(2014 课标全国Ⅰ高考)已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个 焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3B. 3C. 3D. 3

解析:由题意,可得双曲线 即x± = 0.

2 2 C为 ? 3 3

= 1, 则双曲线的半焦距c=
1 ,

3 + 3. 不妨取右焦点( 3 + 3, 0), 其渐近线方程为y=± 所以由点到直线的距离公式得 d=
答案:A
3+3 1+

= 3. 故选A.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

5(2015

2 2 课标全国Ⅰ高考)一个圆经过椭圆 + 16 4

= 1 的三个顶点,

且圆心在轴的正半轴上, 则该圆的标准方程为____________.

解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆
3 心为(a,0)(a>0),所以 (-0) + (0-2) = 4 ? , 解得a= , 故圆心为 2 3 3 5 3 2 ,0 , 此时半径r=4? = , 因此该圆的标准方程是 + 2 = 2 2 2 2 25 . 4
2 2

答案:

3 2 2

+ 2 =

25 4

1

2

3

4

5
2
2

6

7

8

9

10

11

6(2015 湖南高考)设 F 是双曲线

2 C: 2

?

= 1 的一个焦点.

若上存在点, 使线段的中点恰为其虚轴的一个端点, 则的离心率为___________. 解析:不妨设 F(c,0)为双曲线的右焦点,虚轴一个端点为 B(0,b),依题

意得点 P 为(-c,2b),又点 P
答案: 5

(-)2 在双曲线上,所以 2

?

(2)2
2

=

2 1, 得 2

=

5, 即e2=5.因为 e>1,所以 e= 5.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2 7(2015 山东高考)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2

?

2
2

= 1( >

0, > 0)的渐近线与抛物线2: 2 = 2( > 0)交于点, , . 若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 .

解析:双曲线的渐近线为 y=±

. 由

= , 2 = 2,





2 22 , 2

.

2 2 2 = - , 由 得 - , 2 . 2

= 2,


∵ 0, 2 为△OAB 的垂心,∴kAF· kOB=-1.
2 2 2 2 即 2 · -0



=

2 ?1,解得 2 3 2

= ,
答案:
3 2

5 4



2 2

= , 即可得e= .

9 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

8(2015陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1 的一个焦点,则p= .

解析:双曲线 x2-y2=1 的焦点为 F1(? 2, 0), 2( 2, 0). 抛物线的准线方程为 x=? . 因p>0,故 ? = ? 2, 解得p=2 2.
2 2

答案: 2 2

1

2

3

4

5

6
2

7

8

9

10

11

9(2015 安徽高考)设椭圆 E

2 的方程为 2

+

2

= 1( > > 0),
5 . 10

点为坐标原点, 点的坐标为(, 0), 点的坐标为(0, ), 点在线段上, 满足|| = 2||, 直线的斜率为 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的 对称点的纵坐标为 , 求的方程.
7 2

解:(1)由题设条件知,点 M 的坐标为 又 kOM=
5 , 从而 10 2

=

5 , 10

2 1 , 3 3

,

进而得 a= 5, =

2 - 2 = 2, 故e=



=

2 5 . 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11
+ 5

(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 AB 的方程为


= 1, 点N 的坐标为
5 4

5 1 ,- 2 2

.
7 4 7 2

设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 1 , 中点 T 的坐标为 +
1 1 ,- 2 4

, 则线段NS 的

+

.
5 1 4 + 2 7 1 2+2 5 1 - 2

又点 T 在直线 AB 上,且 kNS· kAB=-1,从而有

5

+

-4+4

1

7

= 1,

= 5,

解得b=3. 所以 a=3 5, 故椭圆E
2 2 的方程为 + 45 9

= 1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

10(2015 山东高考)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 1( > > 0)的离心率为

2 C: 2

+

2
2

=

3 , 左、右焦点分别是1, 2. 2

以1 为圆心以 3 为半径的圆与以2 为圆心以 1 为半径的圆相交, 且交点在椭圆上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆
2 E: 2 4

+

2 4
2

= 1, 为椭圆上任意一点. 过点的直线 =

+ 交椭圆于, 两点, 射线交椭圆于点 .
|| ①求 || 的值;

②求△ABQ 面积的最大值.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

解:(1)由题意知 2a=4,则 a=2. 2 = 1.


=

3 , 2 ? 2 2

= 2, 可得b=1,所以椭圆 C = 1.

2 的方程为 4

+

(2)由(1)知椭圆 E
||

2 2 的方程为 + 16 4

①设 P(x0,y0), || = ,
由题意知 Q(-λx0,-λy0).
2 2 ( ) 2 ( ) 0 0 2 因为 0 + 0 = 1, 又 + = 1, 4 16 4 2 2 || 0 2 即 + 0 = 1, 所以λ=2,即 = 2. 4 4 ||

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

②设 A(x1,y1),B(x2,y2),
将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 由 Δ>0,可得 m2<4+16k2. 则有 x1+x2=? 所以|x1-x2|=
8 1+4
2 , 12


2

=

42 -16 1+4

.

4 16 +4-2 1+4
2

2

.

因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m), 所以△OAB 的面积 S= |||1 ? 2| = 2 42 1+4
2

1 2

2 16 +4-2|| 1+4
2

2

=

2 (16 +4-2 )2 1+4
2

2

=

2

1+4

2.

1
2 1+4
2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11



= . 将y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,

可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由 Δ≥0,可得 m2≤1+4k2. 由①②可知 0<t≤1, 因此 S=2 (4-) = 2 - 2 + 4. 故 S≤2 3, 当且仅当 t=1,即 m2=1+4k2 时取得最大值 2 3. 由①知,△ABQ 面积为 3S, 所以△ABQ 面积的最大值为 6 3.



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

11(2015 课标全国Ⅱ高考)已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0),直线 l 不过原 点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (2)若 l 过点
, 3

, 延长线段与交于点,

四边形能否为平行四边形? 若能, 求此时的斜率; 若不能, 说明理由. (1)证明:设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2 得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,
故 xM=
1 +2 2

=

- +9
2

, = + =


9 +9
2

.

于是直线 OM 的斜率 kOM=

=

9 ? , 即kOM· k=-9.

所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

(2)解:四边形 OAPB 能为平行四边形. 因为直线 l 过点 所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k>0,k≠3. 由(1)得 OM 的方程为 设点 P 的横坐标为 xP. 由 = - , 9 2 + 2 = 2
9 9 y=? . , 3

,

2 得

=

2 2 9 +81
2

, 即xP=

±

3 2 +9

.

将点

因此 xM=

, 的坐标代入l 3 (-3) 3( +9)
2

的方程得 b=

(3-) , 3

.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相 平分,即 xP=2xM. 于是
± 3 2 +9

=2×

(-3) 3( +9)
2

, 解得k1=4? 7, 2 = 4 + 7.

因为 ki>0,ki≠3,i=1,2, 所以当 l 的斜率为 4? 7或4+ 7时,四边形 OAPB 为平行四边 形.


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