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高中数学必修四(综合测试题+详细答案)


高解答题(3

道)
?

1.已知|a|= 2 ,|b|=3,向量 a 与向量 b 夹角为 45 ,求使向量 a+ ? b 与 ? a+b 的夹角是锐角时, ? 的取值范围

2 . ( 2011广 东 卷 理 ) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin? 和 cos? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

3.(2011 湖南卷理)已知向量 a ? (sin ? , cos ? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). 若 | a |?| b |, 0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。

?

?

?

?

4. 求函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin x 在 ? ?

? ? ?? 上的最值. , ? 2 2? ?

1

5. 已知△ABC 的内角 B 满足 2cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0, , B ?a ,CA ? b 且 a , b 满足:a? ? ?9 , a ? 3, b ? 5 , 若 C b

?? ? ?

? ? ???

?

? ?

? ?

?

?

? 为 a , b 的夹角.求 sin( B ? ? ) 。

? ?

6.已知 0 ? x ?

?

cos 2 x ? 5 的值。 , sin( ? x) ? , 求 ? 4 4 13 cos( ? x) 4

7.已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b (a ? 0) 2

(1)写出函数的单调递减区间; (2)设 x ? [0 , ] , f ( x ) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a, b 的值. 2

?

2

大题参考答案
? ? ? ? ? 5 ? x) ? ( ? x) ? ,?cos( ? x) ? sin( ? x) ? , 4 4 2 4 4 13

3、解:? (

而 cos 2 x ? sin(

? ? ? 120 ? 2 x) ? sin 2( ? x) ? 2sin( ? x) cos( ? x) ? 2 4 4 4 169 120 cos 2 x 12 ? ? 169 ? 。 ? 5 13 cos( ? x) 4 13

?

4、解: f ( x) ?

1 3a 3 a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a?b 2 2 2

a 3a ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ) ? b 2 2 3
(1) 2k? ?

?

2 3 5? 11? ?[k? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 12 12

? 2x ?

?

? 2k? ?

3? 5? 11? , k? ? ? x ? k? ? 2 12 12

(2) 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 2 3

f ( x)min ? ?

3 a ? b ? ?2, f ( x)max ? a ? b ? 3, 2

? 3 ? a ? b ? ?2 ?a ? 2 ?? ?? ? 2 ?b ? ?2 ? 3 ? ?a ? b ? 3 ?
1、解:∵ |a|= 2 ,|b|=3 ,a 与 b 夹角为 45 ∴ a ? b ?| a || b | cos 45 ? 3 2 ?
?
?

2 ?3 2

2 2 2 2 2 而(a+ ? b)( ? a+b)= ?a ? ab ? ? ba ? ?b ? 2? ? 3 ? 3? ? 9? ? 3? ? 11? ? 3 ·

要使向量 a+ ? b 与 ? a+b 的夹角是锐角,则(a+ ? b)( ? a+b)>0 ·
2 即 3? ? 11? ? 3 ? 0

3

从而得

??

? 11 ? 85 ? 11 ? 85 或? ? 6 6

3、解: 由 | a |?| b | 知, sin2 ? ? (cos? ? 2sin? )2 ? 5,
2 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.

?

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos2? ? ?1 , 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

2 ? ? 9? .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 2 4 4 4

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 3? ? 因此 ? ? ,或 ? ? . 4 2 ?

?

4



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