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高二数学综合测试题 (理)新课标人教A版选修2-2


数学测试题 理科 理科) 选修 2-2 数学测试题 (理科
班别_______学号_____ 姓名__________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 8 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.) 2 1.函数 y=x cosx 的导数为( ) 2 2 (A) y′=2xcosx-x sinx (B) y′=2xcosx+x sinx 2 2 (C) y′=x cosx-2xsinx (D) y′=xcosx-x sinx 2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) > 0 ,右侧 f ' ( x ) < 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值 (C)如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) > 0 ,右侧 f ' ( x ) < 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极小值 (D)如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) < 0 ,右侧 f ' ( x) > 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值
* 3.某个命题与正整数有关,若当 n = k ( k ∈ N ) 时该命题成立,那么可推得当 n = k + 1 时该命题也成立,现已知当 n = 5 时该命题不成立,那么可推得( ) n = 6 时,该命题不成立 n = 6 时,该命题成立 (B)当 (A)当 (C)当 n = 4 时,该命题成立 (D)当 n = 4 时,该命题不成立 3 4.函数f ( x) = 3 x ? 4 x ( x ∈ [0,1])的最大值是( ) 1 ( A)1 ( B) (C )0 ( D) ? 1 2 5.如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离 平衡位置 6cm 处,则克服弹力所做的功为( ) (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 6.给出以下命题:

⑴若



b a

f ( x)dx > 0

,则 f(x)>0;

∫ sin x dx = 4 ; ⑵ 0 ⑶ f(x) 的 原 函 数 为 F(x) , 且 F(x) 是 以 T 为 周 期 的 函 数 , 则
; 其中正确命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 2 (a ? a ? 2) + ( a ? 1 ? 1)i (a ∈ R) 7.若复数 不是纯虚数,则 a 的取值范围是( (A) a ≠ ?1 或 a ≠ 2 (B) a ≠ ?1 且 a ≠ 2 (C) a ≠ ?1 (D) a ≠ 2
0 T





a

f ( x)dx = ∫

a +T

f ( x)dx

)

1+ 1+ x x ,则下列大小关系式成立的是( 8.设 0< a <b,且 f (x)=

).

a+b (A)f ( a )< f ( 2 )<f ( ab ) a+b (C)f ( ab )< f ( 2 )<f ( a ) 题号 1 2 3 4

a+b (B)f ( 2 )<f (b)< f ( ab ) a+b (D)f (b)< f ( 2 )<f ( ab ) 5 6 7 8 9 10

答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上 9. 已 知 (2x - 1)+i=y - (3 - y)i , 其 中 x, y ∈ R , 求 x= , y= . 3 2 10.曲线 y=2x -3x 共有____个极值.
0 11.已知 f (x ) 为一次函数,且 ,则 f (x ) =_______. 12.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几 何中,类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比 命题的真假性是________ 13. 观 察 下 列 式 子 1 3 1 1 5 1 1 1 7 1+ 2 < , 1+ 2 + 2 < , 1+ 2 + 2 + 2 < 2 2 2 3 3 2 3 4 4 , … … ,
h :w w w tk g o w /c tp / x j c m/ x . . y

f ( x) = x + 2 ∫ f (t )dt

1

新新新新 新新新新 源源源源源源源源 源源源源源源源源

特特特特特 特特 特特 特特 特特 王王新王 新王 王王 王王 新新
w k t@ 6 .o m c 2 c x 1

h :w w x tk g o w /c tp / . j c m/ x . y

新新新新 新新新新 源源源源源源源源 源源源源源源源源

特特特特特 特特 特特 特特 特特 王王新王 新王 王王 王王 新新
w k t1 6 .o x c @2 c m

则可归纳出________________________________ 2 , 14.关于 x 的不等式 mx ? nx + p > 0 (m、n、p ∈ R) 的解集为 (?1 2) ,则复数 m + pi
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

所对应的点位于复平面内的第________象限. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 15. (本小题满分 12 分)一物体沿直线以速度 v(t ) = 2t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单 位为:米/秒)的速度作变速直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间 运动的路程?

16. (本小题满分 12 分) 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行直 线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, l ⊥ l1 ⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

3 2 17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = ax + (a ? 1) x + 48(a ? 2) x + b 的图象关于 ?4, 4] 原点成中心对称, 试判断 f ( x) 在区间 [ 上的单调性,并证明你的结论.

18. (本小题满分 14 分)如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点,
PM ⊥ BB1 交 AA1 于点 M , PN ⊥ BB1 交 CC1 于点 N . (1) 求证: CC1 ⊥ MN ;

(2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理:
DE 2 = DF 2 + EF 2 ? 2 DF ? EF cos ∠DFE .

拓展到空间,类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式, 并予以证明.

b 19. (本小题满分 14 分)已知 a 、 ∈ R , a > b > e (其中 e 是自然对数的底数),求 a b 证: b > a .(提示:可考虑用分析法找思路)

20.

( 本 小 题 满 分
1 + af ′( x )( x ≠ 0) f ′( x )

14

分 ) 已 知 函 数

f (x) = ln x ( x ≠ 0) , 函 数

g ( x) =

⑴当 x ≠ 0 时,求函数 y = g ( x) 的表达式; ⑵若 a > 0 ,函数 y = g ( x) 在 (0, +∞) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; 2 7 y = x+ 3 6 与函数 y = g ( x) 的图象所围成图形的面积. ⑶在⑵的条件下,求直线

ABDAD BCD 12.夹在两个平行平面间的平行线段相等;真命题. 1 1 1 2n + 1 1+ 2 + 2 +L + < 2 (n + 1) n + 1 (n∈N*) 13. 2 3
0≤t ≤

选修 2-2 模块测试数学答案及评分标准 5 9.x= 2 , y=4; 10.两 11. f ( x) = x ? 1

14.二

3 3 ≤t ≤5 v(t ) = 2t ? 3 ≤ 0 ; 当 2 2 时, 15.解:∵当 时, v(t ) = 2t ? 3 ≥ 0 . ∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程
5 S = ∫ (3 ? 2t )dx + ∫ 3 (2t ? 3)dx 9 + (10 + 9 ) = 29 4 2 (米) 2 =4 3 2 0

16.解:⑴由 y=x +x-2,得 y′=3x +1, 2 由已知得 3x +1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4). 1 ? l ⊥ l1 , l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 4 , ⑵∵直线 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4) 1 y + 4 = ? ( x + 1) 4 ∴直线 l 的方程为 即 x + 4 y + 17 = 0 . 17.解: 答 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称, 3 则 f(x)是奇函数,所以 a=1,b=0,于是 f(x)= x ? 48 x.

3

2

[ ?4, 4] 上连续 又∵函数 f ( x) 在 所以 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.

∴ f ′( x) = 3 x 2 ? 48, ∴当 x ∈ (?4, 4) ∴ f ′( x) < 0

18.(1) 证: Q CC1 // BB1 ? CC1 ⊥ PM , CC1 ⊥ PN , ∴ CC1 ⊥ 平面PMN ? CC1 ⊥ MN ;
BCC1B1 ACC1 A1 (2) 解:在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 ABB1 A1 BCC1B1 ACC1A1 , α为 其中 平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所组成的二面角. Q CC1 ⊥ 平面PMN , ∴ 上 述 的 二 面 角 为 ∠MNP , 在 ?PMN 中 ,

S2

= S2

+ S2

? 2S

?S

cosα

PM 2 = PN 2 + MN 2 ? 2 PN ? MN cos ∠MNP ?
2 2 2 PM 2CC1 = PN 2CC1 + MN 2CC1 ? 2( PN ? CC ) ? ( MN ? CC ) cos ∠MNP
1 1

, ,

由于 ∴有

S BCC1B = PN ? CC , S ACC1 A = MN ? CC , S ABB1 A = PM ? BB1
1
1

1

1

1

2 S ABB1 A1

=

2 S BCC1B1
a

+

2 S ACC1 A1
b

? 2 S BCC

1B1

? S ACC
a

1 A1

cosα

.

19.证明:∵ b > 0, a > 0 ∴要证: b > a 只要证: a ln b > b ln a ln b ln a > a .(∵ a > b > e ) 只要证 b ln x 1 ? ln x f ( x) = f ′( x) = x ,∵ x2 取函数 ∴当 x > e 时, f ′( x) < 0 ,∴函数 f ( x) 在 (e, +∞) 上是单调递减.
b

ln b ln a > f (b) > f (a) 即 b a .得证 ∴当 a > b > e 时,有

f ( x) = ln x 20.解:⑴∵ , ∴当 x > 0 时, f ( x) = ln x ; 当 x < 0 时, f ( x) = ln(? x) 1 1 1 f ′( x) = f ′( x) = ? (?1) = x ; 当 x < 0 时, ?x x. ∴当 x > 0 时, a y = g ( x) = x + x. ∴当 x ≠ 0 时,函数 a g ( x) = x + x, ⑵∵由⑴知当 x > 0 时,
∴当 a > 0, x > 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x = a 时取等号. ∴函数 y = g ( x) 在 (0, +∞) 上的最小值是 2 a ,∴依题意得 2 a = 2 ∴ a = 1 . 2 7 3 ? ? ? ?y = 3 x + 6 ? x1 = 2 ? x2 = 2 ? ? ,? ? ? 5 ? y = 13 ? y2 = 2 ?y = x + 1 ? 1 6 x 解得 ? ? ? ⑶由 ?
∴直线 2 ? 2 7 1 ? S = ∫ 3 ?( x + ) ? ( x + ) ?dx 7 ? ln 3 6 x ? = 24 2? 3 y= 2 7 x+ 3 6 与函数 y = g ( x) 的图象所围成图形的面积



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