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高一数学精品练习3

1.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )(a ? 0,0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ( (1)求 f ( x ) 的解析式;

? 1

, ). 3 2

3 12 ) ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 的值。 2 5 13 ? 1 ? ? 4? 1.解: (1)由题意,A=1,把点 M 代入解析式,得 sin( ? ? ) ? 。 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? 3 2 3 3 3
(2)已知 ? , ? ? (0,

?

?

5? ? ? , ?? = ? f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x 3 6 2 2 3 12 3 12 4 5 56 , f (? ? ? ) = cos(? ? ? )= cos ? cos ? +sin ? sin ? = ? + ? = (2) cos ? ? , cos ? ? 5 13 5 13 5 13 65

?

??=

2. (2012 年高考(天津文) )在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的分别是 a, b, c .已知

a ? 2, c ? 2,cos A ? ?
(I)求 sin C 和 b 的值;

2 . 4
(II)求 cos(2 A ?

?
3

) 的值.

2.解:(1)在 ?ABC 中,由 cos A ? ?

a c 2 14 ? ,可得 sin A ? ,又由 及 a ? 2 , c ? 2 ,可得 sin A sin C 4 4

sin C ?

7 2 2 2 2 由 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? b ? 2 ? 0 ,因为 b ? 0 ,故解得 b ? 1 . 4 7 ,b ?1 4
3 2 14 7 2 , sin A ? ,得 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? ? , sin A ? 2sin A cos A ? ? 4 4 4 4

所以 sin C ?

(2)由 cos A ? ?

所以 cos(2 A ?

?
3

) ? cos 2 A cos

?
3

? sin 2 A sin

?
3

?

?3 ? 21 8

3.已知数列{an}是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 . ⑴求数列{an}的通项公式;⑵令 bn

? ( 3)an

,求数列{bn}的前 n 项和.

解:(1) {an }是等差数列, ? a1 +a2 +a3 =3a2 =12, ? a2 ? 4. 设{an }的公差为d , 则d ? a2 ? a1 ? 2. ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n....................6分
(2) bn ? ( 3) 2 n ? 3n , ? 数列{bn }是首项为3公比为3的等比数列; ? S10 ? 3(1 ? 310 ) 3 ? (59049 -1) ? ? 88572.................... 12分 1? 3 2

4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n ; (1) 设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 2 n ?1 a ?1 a a ? nn ? 1 ,∵ bn ? nn (1)证明:由 an?1 ? 2an ? 2n 得 nn ,∴ bn?1 ? bn ? 1 , ?1 2 2 2 ?1
又 b1 ? 1 ,∴ bn 是首项为 1 公差为 1 的等差数列。 (2)解:由(1)知 bn 是首项为 1 公差为 1 的等差数列,∴ bn ? n ,∴ an ? n2n?1 . ∴ S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?2 ? n ? 2n?1

2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n
两式相减,得 S n ? n ? 2 n ? 1? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2 n?1 ? n ? 2 n ? 2 n ? 1 5.已知等比数列 {an } 的前 n 项和 An = ( ) ? c. 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 S n -
n

1 3

Sn?1 =1( n ? 2 ).
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)若数列{

1001 1 的最小正整数 n 是多少? . } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2010 bn bn?1

5.解: (1) a1 ? A1 ?

1 1 1 2 ? c, a2 ? A2 ? A1 ? ( ? c) ? ( ? c) ? ? , 3 9 3 9 1 1 2 a3 ? A3 ? A2 ? ( ? c) ? ( ? c) ? ? , 27 9 27 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
(2) ∴数列

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n ? N * ;……….4 分

Sn ? Sn?1 ? 1(n ? 2), S1 ? b1 ? 1,

? S ? 是首项为 1 公差为 1 的等差数列.
n

∴ Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n . ∴ Sn ? n2
2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ; 2

………….6 分

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );

………………………9 分

(3) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?
1? ?? 3? 1 1 ? 1 ?1 ?1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?K ? ? 2 n?2 n 1? ? 3 ?5 ?2 5 ? 7 ? 2 ?1 ? 2 1 ?

1? ? ?1 ? 2?

1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

………………………12 分

n 1001 1001 1001 ? 得n ? ,故满足 Tn ? 的最小正整数为 126.………………………14 分 2n ? 1 2010 8 2010



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