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江苏省常州市第一中学、江阴南菁高中2016届高三两校联考数学试题(附答案)

常州市第一中学、江阴南菁高中 2016 届高三两校联考 数学试题 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1 , 1 , 3} ,且 A ? B ,则实数 a 的值是 ▲ . 2. “ a ? 1 ”是“ (a ?1 ) x ?2 对 x ? (1, ??) 恒成立”的 必要不充分、充要” ) . ▲ .条件(填“充分不必要、 3.已知 m,n 为实数,若关于 x 的不等式 x2+mx+n<0 的解集为(—1,3),则 m+n 的值为 ▲ . 4.函数 y ? 3 sin x ? cos x ? 2( x ? 0) 的值域是 ▲ . 5.已知抛物线 y2=2px 过点 M(2,2),则点 M 到抛物线焦点的距离为 ▲ . 6. 底面边长为 a 的正四面体的体积为 ▲ . x2 y2 7.已知 F 是椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点, A 为右顶点, P 是椭圆 a b 上一点, PF ? x 轴.若 PF ? 1 AF ,则该椭圆的离心率是 4 ▲ . 8.已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面 积为 ▲ . 9.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? 4 f (2) ,若 函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (?1, 0) 对称,且 f (1) ? 3 ,则 f (2015) ? ▲ . 10.在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB//DC,∠ABC=60°,BC= BC 和 DC 上, 1 AB=2,动点 E 和 F 分别在线段 2 F D ▲ . A C E B 1 DC ,则 AE · BF 的最小值为 且 BE = ? BC , DF = 2? (第 10 题图) 11.已知函数 f ( x) ? e x ,对于实数 m 、 n 、 p 有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , f (m ? n ? p) ? f (m) ? f (n) ? f ( p) ,则 p 的最大值等于 . 12.已知函数 f ? x ? ? x ? g ? x? a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x ,若关于 x 的方程 2 ? f ? x ? ? 2e ( e x x ▲ . 为自然对数的底数)只有一个实数根, 则 a = 13.设 a1 , a2 ,…, an 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此 数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 ? n, ? ? a1 ? ? 所组成的 d? 集合为 ▲ . 14.已知 P 点为圆 O1 与圆 O2 公共点,圆 O1 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? b2 +1,圆 O2 : ( x ? c)2 ? ( y ? d )2 ? d 2 +1 ,若 ac ? 8, a c ? ,则点 P 与直线 l : 3x ? 4 y ? 25 ? 0 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 b d ▲ . 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 并把答案写在答题纸的指定区域内) 15. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边,若 m =( sin 2 B ? C , 1 ), n ? (?2,cos 2 A ?1) , 2 且m ? n . (1)求角 A 的度数; (2)当 a ? 2 3 ,且△ ABC 的面积 S ? ▲ ▲ ▲ a 2 ? b2 ? c2 时,求边 c 的值和△ ABC 的面积。 4 3 16. (本题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别为 AA1 , CC1 的中点, AC ? BE ,点 F 在线段 AB 上,且 AB ? 4AF . (1)证: BC ? C1 D ; (2)若 M 为线段 BE 上一点,试确定 M 在线段 BE 上的位置,使得 C1 D / / 平面 B1 FM . ▲ ▲ ▲ B1 C1 A1 D A E C A1 B F 17. (本题满分 14 分) 如图,相距 14km 的两个居民小区 M 和 N 位于河岸 l(直线)的同侧,M 和 N 距离河岸分别 为 10km 和 8km.现要在河的小区一侧选一地点 P,在 P 处建一个生 活污水处理站,从 P 排直线水管 PM,PN 分别到两个小区和垂直于 河岸的水管 PQ,使小区污水经处理后排入河道.设 PQ 段长为 t km (0 < t < 8) . (1)求污水处理站 P 到两小区的水管的总长最小值(用 t 表示) ; (2)请确定污水处理站 P 的位置,使所排三段水管的总长最小,并 求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度. P Q 河 l M N ▲ ▲ ▲ 18.(本题满分 16 分) x2 y2 3 已知椭圆 E: 2+ 2=1 过点 D(1, ),且右焦点为 F(1,0),右顶点为 A.过点 F 的弦为 a b 2 BC.直线 BA, 直线 CA 分别交直线 l:x=m,(m>2)于 P? Q 两点. (1) 求椭圆方程; (2) (2)若 FP⊥FQ,求 m 的值. F O A B x y D C P ▲ ▲ ▲ Q 19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数


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