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浙江省杭州学军中学2014届高三第一学期期中考试理科数学试题


浙江省杭州学军中学 2014 届高三第一学期期中考试理科数学试题
一、选择题(大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2 x ? 1 则CU ( A ? B) ? }, A. (??,1) B. (1,??) C. (??,1] D. [1,??) ) ( )

2.已知 a, b 是实数,则“ | a ? b |? a ? b ”是“ ab ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.函数 y ? 3 cos?2 x ? ? ? 的图像向右平移

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?? ? 后关于点 ? ,0 ? 对称, 那么 ? 的最小值为( ) 3 ?6 ?
C.

A.

5? 6

B.

? 2

? 3
)

D.

? 6

4.正数 x , y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3x ? 4 y 的最小值是( A.

24 5

B.

28 5

C. 5

D. 6

5. 若 f ( x) ? 1 ?

1 , 当 x ? [ 0 , 1 ] , f ( x) ? x , 若 在 区 间 ? ?1,1? 内 , 时 f ( x ? 1)
m?x 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( m
B. ? , ?? ? )

g ( x)?
A. ?0, ?

f ( x? )

? 1? ? 2?

?1 ?2

? ?

C. ?0, ?

? 1? ? 3?

D. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

6. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x)为奇函数,且 ( x)关于x ? 1对称 , 且 x ? (?1, 0) 时 , f

f ( x )? x2?
A.

1 , 则 f (log2 20) ? ( 5 4 B. 5

) C. ?1 D. ?

4 5


7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n 且满足 S 24 ? 0, S 25 ? 0 ,记 bn ? an 则 bn 最小时, n 的值为 A. 11 ( B.12 ) C.13 D.14

8.若函数 y ? e( a?1) x ? 4x ( x ? R )有大于零的极值点,则实数 a 范围是 A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ?





1 3

D. a ? ?

1 3

9.将 2 个相同的 a 和 2 个相同的 b 共 4 个字母填在 3 ? 3 的方格内,每个小方格内至多填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数为 A.196 B.197 C.198 D.199 ( )

??? ??? ? ? 10.在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 9,sin B ? cos A ? sin C, S?ABC ? 6 ,P 为线段 AB 上的点,
??? ? ??? ? ??? ? CA CB 且 CP ? x ? ??? ? y ? ??? , 则xy 的最大值为( ? ? | CA | | CB |
A.1 B.2 C.3 二、填空题(大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知向量 a、 b ,其中 a ? 12. (2 x ? ) D.4

( 2 , b ? 2 ,且 a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是
1 的系数为 12,则实数 a 的值为_____ x2

a x

) 6 的展开式中

13.数列 {an }满足a1 ?

2, an?1 ?

1 ? an , 则{an } 的前 10 项的和等于 1 ? an

14. 若 ? ? ?

? 1 ? ?? ? , ? ? , tan(? ? ) ? , 求 sin( 2? ? ) ? 6 7 3 ?2 ?
?e x ? 1, x ? 0 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0 , 则方程f ( x) ? x ? 0在区间[0,5) 上所有实根和为

15.已知 f ( x) ? ?

16.设 X n ? {1, 2,3?n}(n ? N * ) ,对 X n 的任意非空子集 A,定义 f ( A) 为 A 中的最大元素, 当 A 取遍 X n 的所有非空子集时,对应的 f ( A) 的和为 S n ,则 S 5 ? 17.对任意实数 x ? 0 , y ? 0 .若不等式 x ? xy ? a( x ? 2 y) 恒成立,则实数 a 的最小值 为 三、解答题(大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分)已知向量 a = (1,2) ,b = (cos?,sin?),设 m = a ? t b (为实数). (1)求 a ? b 的最大值 (2)若 a ⊥ b ,问:是否存在实数,使得向量 a – b 和向量 m 的夹角为 请求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

? ,若存在, 4

19.本题满分 14 分) ( 在△ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 角 已知 sin B ? 成等比数列。

5 且 a, b, c 13 ,

1 1 + 的值; tan A tan C ??? ??? ? ? (II)若 BA ? BC ? 12 ,求 a ? c 的值。
(I)求

20. (本小题满分 14 分)设公比大于零的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 ,

S 4 ? 5S 2 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1, Tn ? n 2bn , n ? N * .
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2) Cn ? (S n ? 1)(nbn ? ? ), 若数列 Cn } 是单调递减数列, 设 求实数 ? 的取值范围. {

21(本小题满分 15) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d , 设曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处的 切线为 3 y ? 4 x ? 12 , f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .

(1)设 g ( x) ? x f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (2)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立, 求实数的取值范围.

22.(本题满分 15) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) . (1)若 a ?

1 ,求函数 y ?| f ( x) | 的单调区间; e ?1

(2)若不等式 f ( x) ? ?

ax2 (1 ? 2a ? ea) x ? 恒成立,求 a 的取值范围. e e2

( e 为自然对数的底数)

高三数学(理)答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 C 5 D 6 C 7 C 8 B 9 C 10 C

二、填空题 11.

450
7 25

12. 1

13.

?3?8 2
129 17.

14.

15.10

16.

6?2 4

三、解答题 18.解: (1) 5 ? 1 (2) t ? …………6 分 …………8 分

?5?3 5 2

19 解: (1)∵ a, b, c 成等比数列,∴ b ? ac ,由正弦定理得 sin B ? sin A sin C ,??3 分
2 2



1 1 cos A cos C cos A sin C ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C ? sin( A ? C ) sin B 1 13 ? ? ? .??7 分 2 sin A sin C sin B sin B 5

(2)由 BA ? BC ? 12 得 ac cos B ? 12 , ∵ sin B ?

5 12 2 , ∴ cos B ? ,∴ ac ? 13 ,∴ b ? 13 ,????????10 分 13 13
2 2 2 2 2

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? 24 , ∴ a ? c ? 24 ? 13,即 a ? c ? 37 ,
2 2 2 2

∴ (a ? c) ? a ? c ? 2ac ? 37 ? 26 ? 63 , ∴ a ? c ? 3 7 ?????14 分
2 2 2

20



21. (Ⅰ f ?( x) ? x2 ? 2bx ? c , ? f ?(2 ? x) ? f ?( x) , )

? 函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b ? ?1 . ? 直线 y ? 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0) ,? f (3) ? 0 ,且 f ?(3) ? 4 ,
即 9 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ,且 9 ? 6b ? c ? 4 ,解得 c ? 1 , d ? ?3 . 则 f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? x ? 3 . 3
2 2
2

? x 2 ? x, x ? 1, ? 故 f ?( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ?1) , g ( x) ? x ( x ? 1) ? x x ? 1 ? ? y 2 ? x ? x , x ? 1. ? 2 1 1? 2 2 其图像如图所示.当 x ? x ? 时, x ? ,根据图像得: 1 4 2
(ⅰ )当 0 ? m ?

1 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m ; 2

?1

O

1

1? 2 2

2 x

(ⅱ )当

1 1 1? 2 ?m? 时, g ( x) 最大值为 ; 4 2 2

(ⅲ )当 m ?

1? 2 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m . ???????????8 分 2

(Ⅱ)方法一: h( x) ? ln( x ?1)2 ? 2ln x ?1 ,则 h( x ?1 ? t ) ? 2ln x ? t ,

h( 2x? 2 ) 2 l nx 2 , 1 ? 当 x ? [0, 1] 时, 2x ?1 ? 2x ?1 , ? ?
? 不等式 2ln x ? t ? 2ln 2x ?1 恒成立等价于 x ? t ? 2x ? 1 且 x ? t 恒成立,
由 x ? t ? 2x ? 1 恒成立,得 ? x ? 1 ? t ? 3x ? 1 恒成立,

? 当 x ? [0, 1] 时, 3x ? 1? [1, 4] , ? x ? 1? [?2, ?1] ,? ?1 ? t ? 1,
又? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] , 因此,实数的取值范围是 ?1 ? t ? 0 .??????????????14 分 方法二: (数形结合法)作出函数 y ? 2 x ? 1, x ? [0, 1] 的图像,其图像为线段 AB (如图) ,

y

? y ? x ? t 的图像过点 A 时, t ? ?1 或 t ? 1 , ? 要使不等式 x ? t ? 2x ? 1 对 x ? [0, 1] 恒成立,
必须 ?1 ? t ? 1, 又? 当函数 h( x ? 1 ? t ) 有意义时, x ? t ,

4B 3 2 A 1
? 2 ?1O

1

2 3 4 x

? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] ,
因此,实数的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . 22. 解: (Ⅰ)若 a ? ?????????????14 分

x ?1 1 1 1 ,则 f ( x ) ? ln x ? , f '( x) ? ? . e ?1 e ?1 x e ?1

当 x ? (0, e ? 1) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (e ? 1,??) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 又因为 f (1) ? 0 , f (e ) ? 0 ,所以 当 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? (1, e ? 1) 时, f ( x ) ? 0 ; 当 x ? (e ? 1, e ) 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? (e ,??) 时, f ( x ) ? 0 . 故 y ?| f ( x ) | 的极小值点为 1 和 e ,极大值点为 e ? 1 . (Ⅱ)不等式 f ( x ) ? ?
2

?2 分

?4 分 ?6 分

ax 2
2

e (1 ? 2a ) x ax ? a ? 0 .…(*) 整理为 ln x ? 2 ? e e ax 2 (1 ? 2a ) x ?a, 设 g( x ) ? ln x ? 2 ? e e

?

(1 ? 2a ? ea ) x , e

则 g' ( x) ?

1 2ax 1 ? 2a ( x ? 0) ? ? x e2 e

?

2ax 2 ? (1 ? 2a )ex ? e 2 e x
2

?

( x ? e )( 2ax ? e ) e2 x



?8 分

①当 a ? 0 时,
2ax ? e ? 0 ,又 x ? 0 ,所以,

当 x ? (0, e ) 时, g' ( x ) ? 0 , g( x ) 递增; 当 x ? (e,??) 时, g' ( x ) ? 0 , g( x ) 递减. 从而 g( x ) max ? g(e ) ? 0 . 故, g( x ) ? 0 恒成立. ②当 a ? 0 时,
g' ( x ) ? ( x ? e )( 2ax ? e )
2

?11 分

e x e 2a 1 a 2a 1 a e 令 2 ? ? 2 ,解得 x1 ? ,则当 x ? x1 时, 2 ? ? 2 ; a ex e ex e e e 2 e a a ? e ,则当 x ? x 2 时, ( x ? e ) 再令 ( x ? e ) 2 ? 1 ,解得 x 2 ? ? 1. a e e2

? ( x ? e )(

2a
2

?

1 ). ex

取 x 0 ? max( x1 , x 2 ) ,则当 x ? x 0 时, g' ( x ) ? 1 . 所以,当 x ? ( x 0 ,??) 时, g( x ) ? g( x 0 ) ? x ? x 0 ,即 g( x ) ? x ? x 0 ? g( x 0 ) . 这与“ g( x ) ? 0 恒成立”矛盾. 综上所述, a ? 0 . ?14 分



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