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指数函数习题精选精讲(教师版)

指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较 多, 同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总 结,与大家共同探讨. 1.比较大小
3 ,则 f (b x ) 与 f (c x ) 的大小关 例 1 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ?

系是_____. 分析:先求 b,c 的值再比较大小,要注意 b x,c x 的取值是否在同一单调区间内. 解:∵ f (1 ? x) ? f (1 ? x) , ∴函数 f ( x) 的对称轴是 x ? 1 . 故 b ? 2 ,又 f (0) ? 3 ,∴ c ? 3 .
1? 上递减,在 ?1 , ? ∞? 上递增. ∴函数 f ( x) 在 ? ?∞,

若 x ≥ 0 ,则 3x ≥ 2x ≥1 ,∴ f (3x ) ≥ f (2x ) ; 若 x ? 0 ,则 3x ? 2 x ? 1 ,∴ f (3x ) ? f (2x ) . 综上可得 f (3x ) ≥ f (2x ) ,即 f (c x ) ≥ f (b x ) . 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对 于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例 2 已知 (a2 ? 2a ? 5)3x ? (a2 ? 2a ? 5)1? x ,则 x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵ a2 ? 2a ? 5 ? (a ? 1)2 ? 4 ≥ 4 ? 1 ,
? ∞) 上是增函数, ∴函数 y ? (a2 ? 2a ? 5) x 在 (?∞,
? ? ∞? . ∴ 3 x ? 1 ? x ,解得 x ? .∴x 的取值范围是 ? ? ,

1 4

1 ?4

?

评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判 断底数与 1 的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例 3 求函数 y ? 1 ? 6x?2 的定义域和值域. 解:由题意可得 1 ? 6 x ? 2 ≥ 0 ,即 6x ?2 ≤1 , ∴ x ? 2 ≤ 0 ,故 x ≤ 2 .
2? . ∴函数 f ( x) 的定义域是 ? ?∞,
1

令 t ? 6 x ? 2 ,则 y ? 1 ? t , 又∵ x ≤ 2 ,∴ x ? 2 ≤ 0 . ∴ 0 ? 6 x ? 2 ≤1 ,即 0 ? t ≤1 . ∴ 0 ≤1 ? t ? 1 ,即 0 ≤ y ? 1 .
1? . ∴函数的值域是 ?0,

评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响. 4.最值问题
, 上有最大值 14,则 a 的值是_______. 例 4 函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在区间 [?11]

分析:令 t ? a x 可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后 t 的取值范围. 解:令 t ? a x ,则 t ? 0 ,函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1 可化为 y ? (t ? 1)2 ? 2 ,其对称轴为 t ? ?1 .
, ∴当 a ? 1 时,∵ x ? ? ?11 ?,

∴ ≤ a x ≤ a ,即 ≤ t ≤ a . ∴当 t ? a 时, ymax ? (a ? 1)2 ? 2 ? 14 . 解得 a ? 3 或 a ? ?5 (舍去) ;
, 当 0 ? a ? 1 时,∵ x ? ? ?11 ?,

1 a

1 a

∴ a ≤ a x ≤ ,即 a ≤ t ≤ ,
1 ? 1 ∴ t ? 时, ymax ? ? ? ? 1? ? 2 ? 14 , a ?a ?
2

1 a

1 a

解得 a ? 或 a ? ? (舍去) ,∴a 的值是 3 或 . 评注: 利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用, 比如: 换元法, 整体代入等. 5.解指数方程 例 5 解方程 3x ? 2 ? 32? x ? 80 . 解:原方程可化为 9 ? (3x )2 ? 80? 3x ? 9? 0 ,令 t ? 3x (t ? 0) ,上述方程可化为 9t 2 ? 80t ? 9 ? 0 , 解得 t ? 9 或 t ? ? (舍去) ,∴ 3x ? 9 ,∴ x ? 2 ,经检验原方程的解是 x ? 2 . 评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根. 6.图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3x 的图象( A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度
2

1 3

1 5

1 3

1 9

) .

D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 分析:注意先将函数 y ? 9 ? 3x ? 5 转化为 t ? 3x ? 2 ? 5 ,再利用图象的平移规律进行判断. 解:∵ y ? 9 ? 3x ? 5 ? 3x?2 ? 5 ,∴把函数 y ? 3x 的图象向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度,可得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,故选(C) . 评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所 以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 习题 1、比较下列各组数的大小: (1)若 (2)若 (3)若 (4)若 (5)若 解: (1) 由 (2)由 (3)由 (4)应有 ,故 (5)应有 因 ,因 .因若 .从而 .因若 ,则 , 故 ,比较 ,比较 ,比较 ,且 与 与 与 ,且 ; ; ,比较 a 与 b; ,比较 a 与 b. 为减函数. 由 ,故 .又 .又 ,这与已知 .又 ,故 ,故 矛盾. ,故 ,这样有 .又 , 故 .从而 .从而 ,这样 . . .又因 . ;

, 此时函数 ,故 ,故 ,则 .又

,且 ,故 .从而 ,这与已知 矛盾. 小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.

3

2.曲线 1 的大小关系是 (

分别是指数函数 ).

,



的图象,则



( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到 形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用 图的意识. 求最值 3 .求下列函数的定义域与值域.
1

,

(1)y=2 x ?3 ;

(2)y=4x+2x+1+1.
1

解:(1)∵x-3≠0,∴y=2 x ?3 的定义域为{x|x∈R 且 x≠3}.又∵
1 x ?3
x

1 ≠0,∴2 x ?3 ≠1, x?3

1

∴y=2

的值域为{y|y>0 且 y≠1}.

(2)y=4 +2x+1+1 的定义域为 R.∵2x>0,∴y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2>1. x x+1 ∴y=4 +2 +1 的值域为{y|y>1}. 4 .已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值 1 解: 设 t=3x,因为-1≤x≤2, 所以 ? t ? 9 , 且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当 t=3 即 x=1 时, f(x) 3 取最大值 12,当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。 5.设 ,求函数 的最大值和最小值. ,

分析:注意到 ,设 ,则原来的函数成为 利用闭区间上二次函数的值域的求法,可求得函数的最值. 解:设 ,由 知,

,函数成为 故函数最小值为 值为 . ,因端点 较

, 距对称轴

,对称轴



远,故函数的最大

4

6.若函数 .解: 即 则

是奇函数,求 为奇函数, ,

的值. ,


1 x-1 1 ) -4· ( )x+2 的最大值和最小值 4 2 x x 得(3 -9) (3 -1)≤0

7. 已知 9x-10.3x+9≤0,求函数 y=(

解:由已知得(3x)2-10·3x+9≤0 ∴1≤3x≤9 故 0≤x≤2 1 1 1 1 而 y=( )x-1-4·( )x+2= 4· ( )2x-4· ( )x+2 4 2 2 2 1 x 1 令 t=( ) ( ? t ? 1 ) 2 4 1 则 y=f(t)=4t2-4t+2=4(t- )2+1 2 1 当 t= 即 x=1 时,ymin=1 2 当 t=1 即 x=0 时,ymax=2 8.已知 解:由 ,求函数 得 ,即

的值域. ,即 ,解之得 ,于是

,故所求函数的值域为

?1? 9.求函数 y= ? ? ? 3?

x 2 ?3 x ? 2

的单调区间.

分析 这是复合函数求单调区间的问题

?1? ?1? 可设 y= ? ? ,u=x2-3x+2,其中 y= ? ? 为减函数 ?3? ?3?
∴u=x2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u=x2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

u

u

?1? 解:设 y= ? ? ,u=x2-3x+2,y 关于 u 递减, ?3?
3 )时,u 为减函数, 2 3 ∴y 关于 x 为增函数;当 x∈[ ,+∞)时,u 为增函数,y 关于 x 为减函数. 2

u

当 x∈(-∞,

5



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