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人教版2017高中(必修一)数学3.1.1


第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的 求解的问题.如约公元50~100年编成的《九章算术》, 就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体 方法?? 11世纪,北宋数学家贾宪给出了三次及三次 以上的方程的解法。 13世纪,南宋数学家秦九韶给出了求任意次 代数方程的正根的解法 今天我们来学习方程的根与函数的零点! 1.理解函数零点的概念,了解函数零点与方程根的 关系.(难点) 2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个 数.(易错点) 3.会求函数的零点.(重点) 探究:下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图 象有何关系? (1)方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3 (2)方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1 (3)方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3 方程 函数 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3 y x2-2x+1=0 y=x2-2x+1 y x2-2x+3=0 y=x2-2x+3 y 5 . 4 . . 3 . . 2 1 -1 函 数 的 图 象 方程的实 数根 .2 1 -1 . -1 -2 . 2 . . . 1 2 . x 0 . 1 2 .3 x -1 1 -3 -4 O . O 1 2 3 x x1=-1,x2=3 x1=x2=1 (1,0) 无实数根 无交点 函数的图象 (-1,0)、(3,0) 与x轴的交点 判别式Δ = b2-4ac 方程ax2+bx+c Δ >0 Δ =0 Δ <0 没有实数根 y 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1、 实数根x =x 1 2 =0(a>0)的根 x2 y y 函数y=ax?+bx +c(a>0)的图 象 x1 0 x2 x 0 x1 x 0 x 函数的图象 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 没有交点 一 一般地,方程 f(x)=0 的实数根,也就是其对 般 结 应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 论 即方程f(x)=0有实数根 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点. 注意: 零点指的是一个实数 零点不是 一个点 结 论 方程 f ( x) ? 0 的根是函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴的 交点的横坐标. 方程f(x)=0有实数根 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ?函数y=f(x)有零点 f ( x) ? 0 函数零点既是对应方程的根,又是函数图象与 x轴交点的横坐标. 零点是对于函数而言,根是对于方程而言. 由此可知,求方程f(x)=0的实数根,就是求函数 y= f(x)的零点.对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0来说,可以将它与函数y=f(x)联系起来, 利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根. 探究:如何求函数的零点? 例1 函数f(x)=x(x-4)的零点为( D ) A.(0,0),(2,0) C.(4,0),(0,0), 由x(x-4)=0得x=0或x=4. B .0 D .4 ,0 注意:函数的零点是实数,而不是点. 哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河? (1 ) (2 ) y 如何求函数的零点? 观察二次函数 f ( x) ? x ?


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