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2.9 指数 指数函数Microsoft Word 文档


2.9 指数 指数函数
——指数函数,对数函数是高考考查的重点内容之一

一,明确复习目标
1.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念,图象和性质,并能灵活运用图象和性质去解决有关问题.

二.建构知识网络
1.幂的有关概念 幂的有关概念

64n个4 7 8 (1)正整数指数幂 a = a a a L a ( n ∈ N )
n

零指数幂 a 0 = 1 ( a ≠ 0) ; 负整数指数幂 a
n

=
m n

1 ( a ≠ 0, n ∈ N ) an

(2)正分数指数幂 a

= n a m ( a > 0, m, n ∈ N , n > 1) ;
1 a
m n

(3)负分数指数幂 a n =

m

=

1
n

a

m

( a > 0, m, n ∈ N



, n > 1)

(4)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质: 有理数指数幂的性质: 有理数指数幂的性质

(1) a r a s = a r + s ( a > 0, r , s ∈ Q )
( 2) ( ar )
3.根式 根式
s

= a rs ( a > 0, r , s ∈ Q )
n

( 3)( ab )

r

= a r b r ( a > 0, b > 0, r ∈ Q )
n

(1)根式的定义:如果 x = a ( n > 1, n ∈ N ) ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,用 示,
n

a表

a 叫做根式, n 叫根指数, a 叫被开方数.
n n

(2)根式的性质: ①当 n 是奇数, a = a ; 当 n 是偶数, n a
n

a = a = a

a≥0 a<0

②负数没有偶次方根,③零的任何次方根都是零 4.指数函数: 指数函数: 指数函数 (1)定义:y=ax (a>0 且 a≠1),叫指数函数,x 是自变量,y 是 x 的函数. )定义: (2)图象:

1

(3)性质: 定义域(-∞,+ ∞);值域 (0,+ ∞); 过定点(0,1) ; 单调性 a> 1 时为增函数 0<a<1 时为减函数 值分布:x 取何值时,y>1,0<y<1? (分 a>1 和 0<a<1 两种情况说明)

三,双基题目练练手
1. 3 a
6

a 等于
B.- a
a

( C. a D.

)

A.- a

a
) B. a D. a
a a

2.当 0 < a < 1 时, a, a

,aa

a

的大小关系是 (
a

A. a C. a

> aa > aa
aa

> aa > a > a > aa
a

a

> a > aa
y (1) (2) (3) (4)

3.下图是指数函数(1)y=ax, (2)y=bx, (3)y=cx, (4)y=dx 的图象,则 a,b,c, d 与 1 的大小关系是

1 O x

A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 4.如果函数 f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0 且 a≠1),在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数 a 的 取值范围是 ( ) A. (0, ]

2 3

B. [

3 ,1) 3

C. (1, 3]

D. [ , +∞ )

3 2

2

5.计算: ( 0.25 ) 6.若 a =

2

1 +8 16

2 3

0.75

= _____________

ln 2 ln 3 ln 5 ,则 a,b,c 的大小顺序是 ,b = ,c = 2 3 5
1 1

简答.精讲: 1-4. ABBB; 1.

3

a 6 a =a 3 (-a) 6 =-(-a) 3

1 1 + 6

1

=-(-a) 2 ;

3. 令 x=1,由图知 c1>d1>a1>b1; 4.记 u=ax,则 f(x)=u[u-(3a2+1)]=g(u)对称轴为 u=(3a2+1)/2,要使 f(x)在 x∈[0,+∞)时递增, 当 0<a<1 时 u=ax∈(0,1]且递减,只须 1≤(3a2+1)/2,解得 5.12;
1 1 1 1 1 1 1

3 ≤ a < 1 ;当 a>1 时无解.故选 B; 3

6.只须看 2 2 ,33 ,5 5 的大小,把 2 2 ,33 6 次乘方, 把 2 2 ,5 5 10 次乘方可知 c<a<b

四,经典例题做一做
1 x -1 1 ) -4( )x+2 的最大值和最小值. 4 2 1 解:由 9x-103x+9≤0 得(3x-1) x-9)≤0,解得 1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令( ) (3 2 1 1 2 1 x =t,则 ≤t≤1,y=4t2-4t+2=4(t- ) +1.当 t= 即 x=1 时,ymin=1;当 t=1 即 x=0 时, 4 2 2 ymax=2. 方法提炼 1.由不等式求 x 的范围;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题..
【例 1】已知 9x-103x+9≤0,求函数 y=(

【例 2】已知 a +

1 = 3, 求 a

(a a +

1 a a
4

+ 2)(a 2 + 1 a

1 + 3) a2

的值.

a+4

解:Q a +

1 a

=3( a +

1 a

)2 = 9 a +

1 =7, a

1 1 ∴ (a + ) 2 = 49 a 2 + 2 = 47 , a a ∴a a + 1 a a =a +a
3 2



3 2

= (a + a )[(a ) a a
2

1 2



1 2

1 2

1 2



1 2

+ (a ) 2 ]

1 2

3

=( a+

1

1 )(a 1 + ) = 3 × 6 = 18 , a a
1
4

而4 a +

a

= (4 a +

1
4

a

)2 =

a +2+

1 a

= 5,

∴ 原式 =

(18 + 2) × (47 + 3) 5

=

20 × 50 5

= 200 5

方法归纳 1.用好 a +

1 1 与a 2 + 2 的关系.2.根式化分数指数幂再计算. a a

【例 3】 (2004 全国Ⅲ)解方程 4x+|1-2x|=11. 解:当 x≤0 时,1-2x≥0. 原方程 4x-2x-10=0 2x= >1 知 x>0(无解). 当 x>0 时,1-2x<0. 原方程 4x+2x-12=0 2x=- 方程的解).

1 41 1 41 1 41 ± 2x = - <0(无解)或 2x= + 2 2 2 2 2 2

1 7 ± 2x=-4(无解)或 2x=3 x=log23(为原 2 2

思想方法 1.分类讨论——分段去绝对值;2.换元法.
【例 4】设函数 f ( x ) = 2 x + a 2 x 1 (a 为实数). ⑴若 a<0,用函数单调性定义证明: y = f ( x) 在 ( ∞, +∞ ) 上是增函数; ⑵若 a=0, y = g ( x ) 的图象与 y = f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称,求函数

y = g ( x)

的解析式.

解: (1)设任意实数 x1<x2,则 f(x1)- f(x2)=

(2 x1 + a 2 x1 1) (2 x2 + a 2 x2 1)
= (2 1 2 2 ) + a (2
x x x1

2 x2 ) = (2 x1 2 x2 )

2 x1 + x2 a 2 x1 + x2

Q x1 < x2 ,∴ 2 x1 < 2 x2 ,∴ 2 x1 2 x2 < 0; Q a < 0,∴ 2 x1 + x2 a > 0 .
又2 1
x + x2

> 0 ,∴f(x1)- f(x2)<0,所以 f(x)是增函数.
4

(2)当 a=0 时,y=f(x)=2x-1,∴2x=y+1, ∴x=log2(y+1), y=g(x)= log2(x+1).

【研究.欣赏】 (2002 上海)已知函数 f ( x ) = a +
x

x2 (a > 1) x +1

(1)证明 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 证明(1)设-1<x1<x2

f ( x2 ) f ( x1 ) = a x2 + = a x2 a x1 +

x2 2 x 2 a x1 1 x2 + 1 x1 + 1

x2 2 x1 2 x2 + 1 x1 + 1 3( x2 x1 ) ( x2 + 1)( x1 + 1)
x2 x1

= a x1 (a x2 x1 1) +

∵x2-x1>0,又 a>1, ∴ a

> 1 ,而-1<x1<x2,

∴x1+1>0, x2+1>0, ∴f(x2)-f(x1)>0,f(x)在(-1,+∞)上为增函数. ( 2 ) 设 x0 为 方 程 f(x)=0 的 负 根 , 则 有 a0+
x

x0 2 =0 即 x0 + 1

a x0 =

2 x0 3 (1 + x0 ) 3 = = 1 + x0 + 1 x0 + 1 x0 + 1

显然, x0 ≠ 1 , 若 0 > x0 > 1 则,1 > x0 + 1 > 0,

3 3 > 3, 1 + >2 x0 + 1 x0 + 1



1 < a x0 < 1 矛盾; a 1 3 < 0, 1 + < 1 ,而 a x0 > 0 矛盾,即不存在 x0<-1 x0 + 1 x0 + 1

若 x0<-1 则,x0+1<0,

的解,综上知,不存在负根. 提炼方法: 1.方法:单调性定义,反证法,分类讨论; 2.反证法推矛盾时,体现了明确的目的性和数式变换的技巧和能力.

5

五.提炼总结以为师
1.根式的运算——根据分数指数幂的意义,转化为分数指数幂的运算; 2.指数函数的定义重在"形式" ,像 y=23x, y = 2 x , y = 3
1 x+2

,y=3x+1 等都不是指

数函数,是复合函数. 3.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质,要分 a>1 与 0<a<1 来研究. 4.对于含有字母参数的指数式, 必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论, 用好用 活指数函数单调性,还要注意换元的灵活运用.

同步练习
【选择题】 1.若 n ∈ N ,则
*

2.9 指数 指数函数
4 n + 21 n + 1 + 4 n 21 n + 1 = ( )
A.2 B. 2 n C. 21 n D. 2 2 n ( )

2. ( 2005 全国卷 III)设 3 x = 1 ,则 7

(

(A)-2<x<-1 (B)-3<x<-2 (C)-1<x<0 (D)0<x<1 3.若函数 y=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过二,三,四象限,则一定有 ) A.0<a<1 且 b>0 B.a>1 且 b>0 C.0<a<1 且 b<0 D.a>1 且 b<0 4. 已知 x + x
1

= 3 , A = x 2 + x 2 , B = x 2 + x 2 ,则 A, B 的值分别为( )
B. ±2 5 , ± 5 D. 5 , 2 5

1



1

3



3

A. ± 5 , ±2 5 C. 2 5 , 5 【填空题】 5.函数 y=(

1 x 2 2 x + 2 ) 的递增区间是___________. 2 1 1 1 6.求值: =________ + + a b a c bc ba c a 1+ x +x 1+ x +x 1+ x + x c b 简答提示: 1-4.AACD; 5. (-∞,1];6. 1;

6

【解答题】 7. (1)求值 ( 3 25 125) ÷ 4 5 (2)若 a + a
1 2 1 2

= 4 ,求

a a a a
2

3 2



3 2 1 2

1 2

的值

解(1) ( 3 25 125) ÷ 4 5 = 5 3 ÷ 5 4 5 2 ÷ 5 4

1

3

1

=5

2 1 3 4

5

3 1 2 4

= 5 5 = 12 55 4 55
1 1 1 2 1 2

5 12

5 4

(2)原式=

( a 2 ) 3 ( a 2 )3


=

(a 2 a 2 )(a + 1 + a 1 ) a2 a
1 1 2

1



1

a a 1 = a + 1 + a = 15

8.函数 y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求 a 的值. 解:设 t=ax,则 y=t2+2t-1,在 t≥-1 时递增.而 x∈[-1,1]. 若 a>1,则 a-1≤t≤a, ymax=a2+2a-1=14, 解得 a=3, (-5 舍) 若 0<a<1,则 a≤t≤a-1, ymin=a-2+2a-1-1=14, 解得 a = (或- 舍)

1 3

1 5

9.设 f(x)=

4x 1 -2x+1,已知 f(m)= 2 ,求 f(-m). 2 x +1 4x 1 -2x, 则 2 x +1

解:设 g(x)=

1 1 x 4 x 1 +2x g(-x)= x +1 +2x= 4 1 2 2 x 2
=

1 4x 1 4x 4x 1 +2x= x+1 +2x=- x+1 + 2x=-g(x) 4 x 2 x +1 2 2
2 -1,

g(x)是奇函数,g(m)=

∴f(-m)=g(-m)+1=-g(m)+1=2- 2 .

7

ex a 10.设 a > 0 , f ( x) = + 是 R 上的偶函数 a ex
(2)证明 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上为增函数 (1)求 a 的值; 解: (1)依题意,对一切 x ∈ R ,有 f ( x ) = f ( x ) ,即 ∴ (a )(e

1 ex a + ae x = + x ae x a e

1 x 1 1 ) = 0 对一切 x ∈ R 成立,则 a = 0 , x a e a ∴ a = ±1 ,∵ a > 0 ,∴ a = 1
(2)(定义法)设 0 < x1 < x2 ,则 f ( x1 ) f ( x2 ) = e 1 e 2 +
x x

1 1 x2 x1 e e

= (e x2 e x1 )(

1 e x1 + x2

1) = e x1 (e x2 x1 1)

1 e x2 + x1 , e x2 + x1
x2 x1

由 x1 > 0, x2 > 0, x2 x1 > 0 ,得 x1 + x2 > 0, e ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 ,

1 > 0 , 1 e x2 + x1 < 0 ,

即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,∴ f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上为增函数 (导数法)∵ a = 1 , x ∈ (0, +∞ ) ∴ f ′( x ) = (e +
x

1 1 (e x ) 2 1 )′ = e x x = >0 ex e ex

∴ f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上为增函数

2x 【探索题】定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(-x),当 x∈(0,1]时, f ( x ) = x ; 4 +1
(1)求证:f(x)是以 4 为周期的周期函数; (2)求 f(x)在[-1,0]上的解析式; (3)若 x∈[a,a+4],(a∈R),求使关于 x 的方程 f(x)=λ有解的λ的取值范围. 解(1)∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f(-x-2)=-f(x+2)=f(x) ∴f(x)的周期为 4. (2)显然 f(0)=0,当 x∈[-1,0)时-x∈(0,1].
8

2 x 2x = x 4 x + 1 4 +1 0 ( x = 0) ∴ f ( x) = 2 x ( x ∈ [1, 0)) x 4 +1 f ( x ) = f ( x) =
(3) 当 x ∈ (0,1] 时, 令t = 2 ∈ (1, 2], 则f ( x ) =
x

t 记 g (t ) t2 +1 =

当1 < t1 < t2 ≤ 2时, t2 t1 > 0, t1t2 > 1, g (t1 ) g (t2 ) = (t1t2 1)(t2 t1 ) >0 2 (t12 + 1)(t2 + 1)
2 1 5 2 2 1 5 2

∴ g (t ) 在(1,2]上是减函数, g (t ) ∈ [ , ) 即 f ( x ) ∈ [ , ) 由 f ( x ) 是奇函数, x ∈ [ 1,1],

2 1 1 2 f ( x) ∈ [ , ) U ( , ] U {0} 5 2 2 5
又 f(x+2)=f(-x),∴x=1 是 f(x)的对称轴.

2 1 1 2 ∴当 x ∈ [1,3]时 , f ( x) ∈ [ , ) U ( , ] U {0} 5 2 2 5
当 x ∈ [ a, a + 4] 时,Q f ( x ) 的周期为 4,

2 1 1 2 ∴当λ ∈ [ , ) U ( , ] U {0} 时,在[a,a+4]上可使方程 f ( x) = λ 有解. 5 2 2 5

9


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