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广东省2012届高三全真模拟卷数学理(第2份)


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 2
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知 a, b 是实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知全集 U ? R , 集合 M ? {x ?2 ? x ? 1 ? 2} 和 N ? {x x ? 2k ? 1, k ? 1, 2,?} 的关系的 韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3 个 C. 1 个 B. 2 个 D. 无穷多

3. 若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z 3 ? A. ?2 2 B. ?2 2 C. ?2 2i D. ?2 2i

4. 设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值

sin x ? a (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是 sin x
B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值

5. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 1 = 2AB , 为 AA1 重点, 则异面直线 BE 与 CD1 AA E 所形成角的余弦值为 (A)

10 10

(B)

1 5

(C)

3 10 10
)

(D)

3 5

6. 在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中,含 x 4 的项的系数是( A. ?10 C. ?5 B. 10 D. 5

1 x

7.如图所示,fi(x) i=1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质: ( “对 [0,1]中任意的 x1 和 x2,任意λ ∈[0,1] f[λ x1+(1-λ )x2]≤λ f(x1)+(1-λ ) , f(x2)恒成立”的只有( )

第1页

A.f1(x) f3(x) , C.f2(x) f3(x) ,

B.f2(x) D.f4(x)

8. 若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为 (A) 3 -1 (B)

3 +1

(C) 2 3 +2

(D) 2 3 -2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12题) 9.在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 10.若三点 A(2, 2), B ( a, 0), C (0, b)( ab ? 0) 共线,则

1 1 ? 的值等于__________. a b

11. 在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________. 12. 执行下边的程序框图,输出的 T= .

(二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13. (不等式选讲选做题)函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A

1 2 ? 的最小值为_______. m n 14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 设 M 、 N 分 别 是 曲 线 ? ? 2sin ? ? 0 和
在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

? 2 上的动点,则 M 、 N 的最小距离是 ? s in(? ? ) ?
4 2

第2页

15. (几何证明选讲选做题)如图,在正三角形 ABC 中,E、F 依次是 AB、AC 的中点,AD⊥ BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D、H、G 为垂足,若将正三角形 ABC 绕 AD 旋转一周所得的圆锥的体 积为 V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与 V 的比值是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a ? ,其中向量 a ? (2 cos x,1), b ? (cos x, 3 sin 2 x), x ? R b (1) 若函数 f ( x) ? 1 ? 3, 且x ? ? ?

? ?

?

?

? ? ?? , , 求x; ? 3 3? ?

(2) 若函数 y ? 2sin 2 x 的图象按向量 c ? (m, n)( m ? 图象,求实数 m,n 的值。

?

?
3

) 平移后得到函数 y ? f ( x) 的

17. . (本小题满分 12 分) 某班有学生 45 人,其中 O 型血的人有 10 人,A 型血的人有 12 人, B 型血的人有 8 人,AB 型 血的人有 15 人,现抽取两人进行检验, (1) 求这两人血型相同的概率; (2) 求这两人血型相同的分布列.

18. (本小题满分 14 分)已知长方体 AC1 中,棱

AB ? BC ? 1, 棱 BB1 ? 2 ,连结 B1C ,过 B

第3页

点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E ,交 B1C 于 F . (1)求证: A1C ? 平面 EBD ; (2)求点 A 到平面 A1 B1C 的距离; (3)求平面 A1 B1C 与直线 DE 所成角的正弦值.

19、 (本题满分 14 分) 已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于
2 2

A,B 两点.
(I)若动点 M 满足 F1M ? F1 A ? F1 B ? F1O (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程; (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由.

?????

???? ???? ????
??? ?

??? ?

20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)

2

,数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是

公比为 q( q ? R, q ? 1 )的等比数列.若 a1 ? f (d ? 1), a3 ? f (d ? 1), b1 ? f (q ? 1), b3 ? f (q ? 1). (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

第4页

(Ⅱ)若 ?cn ? 对 n ? N ? ,恒有 值; (Ⅲ)试比较

c c c1 c2 ? ? 3 ? ??? ? n ? an ?1 ,求 c1 ? c3 ? c5 ? ??? ? c2 n ?1 的 b1 2b2 3b3 nbn

3bn ? 1 an ?1 与 的大小. 3bn ? 1 an ? 2

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f (x)=

1? x ? ln x 。 ax

(1)若函数 f (x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)当 a =1 时,求 f (x)在[

1 ,2]上的最大值和最小值。 2 n 1 ? 。 n ?1 n

(3)求证:对于大于 1 的正整数 n, ln

第5页

参考答案
答案:1—8 CBDBCBAD 9.

3 7

10.

1 2

11. an ? 2n?1 ? 3 . 12.30 13.8 14.

2 ?1

15.

5 8

一、选择题 1.答案:C 【解析】对于“ a ? 0 且 b ? 0 ”可以推出“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”,反之也是成立的 2.答案:B

1 【解析】由 M ? {x ?2 ? x ? 1 ? 2} 得 ? 1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? ? ,3?,有 2 个,选 B.
3.答案:D 【解析】由 z ? 2 ? 0 ? z ? ? 2i ? z ? ?2 2i ,故选 D.
2 3

4. 答案:B 【解析】令 t ? sin x, t ? (0,1] ,则函数 f ? x ? ?

sin x ? a (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 sin x a a y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域,又 a ? 0 ,所以 y ? 1 ? , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B。 t t

5. 答案:C 【解析】本题考查异面直线夹角求法,方法一:利用平移,CD’∥BA' ,因此求△EBA'中∠

A'BE 即可,易知 EB= 2 ,A'E=1,A'B= 5 ,故由余弦定理求 cos∠A'BE= 可求。 6. 答案:B

3 10 ,或由向量法 10

r r 【解析】对于 Tr ?1 ? C5 ( x 2 )5? r (? ) r ? ? ?1? C5 x10?3r ,对于 10 ? 3r ? 4,? r ? 2 ,则 x 4 的 r
2 项的系数是 C5 (?1) 2 ? 10

1 x

7. 答案:A 【解析】利用特殊值法,因为λ ∈[0,1] ,令λ =

1 ,则不等式变为: 2

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 x ? x2 )≤ 。 f( 1 )为自变量 x1、x2 中点, 1 对应的 2 2 2 2

第6页

函数值即“中点的纵坐标” ,

1 [f(x1)+f(x2) ]为 x1、x2 对应的函数值所对应的点的中 2

点,即“纵坐标的中点” ,再结合 f(x)函数图象的凹凸性,可得到答案 A 8. 答案:D 【解析】若 a, b, c ? 0 且 a (a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3, 所以 a ? ab ? ac ? bc ? 4 ? 2 3 ,
2

4 ? 2 3 ? a 2 ? ab ? ac ? bc ?

1 1 (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? 2bc) ≤ (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? b 2 ? c 2 ) 4 4

∴ (2 3 ? 2) 2 ≤ (2a ? b ? c) 2 ,则( 2a ? b ? c )≥ 2 3 ? 2 ,选 D. 二、填空题 9. 答案:

3 7

3 【解析】在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C8 个三角形,要得直角非等腰三角形, ..

则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有 24 个,得

24 C83

10. 答案:

1 2

??? ? ??? ? AB=(a-2,-2) AC=(-2,b-2) ,依题意,有(a-2)?(b-2)-4=0,即 ,
ab-2a-2b=0 所以

1 1 1 ? = a b 2

11. 答案: an ? 2n?1 ? 3 . 【解析】 在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,∴ an ?1 ? 3 ? 2(an ? 3)(n ? 1) , 即{ an ? 3 }是以 a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列, an ? 3 ? 4 ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,所以该数 列的通项 an ? 2n?1 ? 3 . 12.答案:30 【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出 T=30 13. 答案:8 【 解 析 】 函 数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A(?2, ? 1) ,

第7页

(?2) ? m ? (?1) ? n ? 1 ? 0 , 2m ? n ? 1 , m, n ? 0 ,

1 2 1 2 n 4m n 4m ? ? ( ? ) ? (2m ? n) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8. m n m n m n m n
14.答案: 2 ? 1 15 答案:

5 8
3 ,旋转半径 BD=1,

【解析】解法一:设正三角形边长为 2,其高 AD=

V=

1 3? π ·1· 3 = . 3 3

又 EF=1,HD=

1 3 ,HE= ,则 HGEF 旋转所得圆柱的体积 V1=π · 2 2



1 2 3 3? ? )· . 2 8 2
? V ? V1 ? 5 3? V2 5 , ? . 24 V 8

由阴影部分产生的旋转体的体积 V2

故由阴影部分所产生的旋转体的体积与 V 的比是

5 . 8

解法二:设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则圆柱的高为

h r ,底面圆半径为 ,则 2 2

r h ? ( )2 ? V ? V柱 V柱 3 5 ?1? ?1? 2 2 ?1? ? 1 2 V V 8 8 ?r h 3
三、解答题 16. 解: (1)依题设得 f ( x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? xos 2 x ? 3 sin 2 x

? =2sin(2x+ ) ? 1 6

?

第8页

X

1

2

3

4



2sin(2x+ ) ? 1 ? 1 ? 3, 得 sin(2 x ? ) ? ? 6 6

?

?

P

45/244

33/122

7/61

105/244

??

?
3

?x?

?
3

,??

?
2

? 2x ?

?
6

?

? 2x ?
?

?
6

??

?
3

, 即x ? ?

?
4

5? 6

(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c ? (m, n) 平移后得到函数 y ? sin 2( x ? m) ? n 的图象, 即 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 。 由 ( 1 ) 得 : f ( x ) ? 2 sin 2(x ?

?
12

)? 1 , 又

?m ?

?
2

,? m ? ?

?
12

,n ?1

17. 16. (本题满分 12 分) 解(1)记两人血型同为 O,A,B,AB 型的概率分别为 P1,P2,P3,P4,则

P1 ?

1 1 14 7 ,P 2 ? ,P 3 ? , P 4 ? . ---------------------------4 分 22 15 495 66 122 故两人血型相同的概率为 P ? ----6 分 495

(2)将两人血型同为 O,A,B,AB 型编号为 1,2,3,4, 记两人血型相同为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3,4,其分布列为:

18. (1)证:以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,那么

??? ???? ???? ?

A(0, 0, 0) 、 B(1, 0, 0) 、 C (1,1, 0) 、 D(0,1, 0) 、 A1 (0, 0, 2) 、 B1 (1, 0, 2) 、 C1 (1,1, 2) 、

???? ? ??? ? D1 (0,1, 2) , A1C ? (1,1, ?2) , BD ? (?1,1, 0) ,???(2 分)
设 E (1,1, z ) ,则: BE ? (0,1, z ) , CB1 ? (0, ?1, 2) ,? BE ? B1C ? BE ? CB1 ? ?1 ? 2 z ? 0 ,

??? ?

????

??? ???? ?

z?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? ??? ? 1 1 1 ,? E (1,1, ) , BE ? (0,1, ) ,? A1C ? BD ? ?1 ? 1 ? 0 ? 0 , A1C ? BE ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 , 2 2 2

第9页

? A1C ? BD, A1C ? BE ,???(4分)
又 BD ? BE ? B ? A1C ? 平面 EBD .???(5分) (2)连结 AE1 ,A 到平面 A1 B1C 的距离,即三棱锥 A ? A1 B1C 的高,设为 h, ??(6分)

S? A1B1C ?

5 1 , VC ? A1B1 A ? ,由 VA? A1B1C ? VC ? A1B1 A 2 3

得:

1 5 1 2 5 ,???(8分) ? h ? ,h ? 3 2 3 5 2 5 .???(9分) 5

? 点 A 到平面 A1 B1C 的距离是

(3)连结 DF ,? A1C ? BE , B1C ? BE , A1C ? B1C ? C ,? BE ? 平面

A1 B1C ,

? DF 是 DE 在平面 A1 B1C 上的射影,?EDF 是 DE 与平面 A1 B1C 所成的角, ??? (1
1分) 设 F (1, y , z ) ,那么 BF ? (0, y, z ), CF ? ( ?1, y ? 1, z ), B1C ? (0,1, ?2) ,? BF ? B1C ? 0

??? ?

??? ?

???? ?

??? ???? ? ?

? y ? 2z ? 0



??? ???? ? ? ? CF // B1C , ? z ? 2 ? 2 y



由①、②得 y ?

???? ??? ? 1 1 1 DE ? (1, 0, ) , EF ? (0, ? , ? ) ???(12分) 2 5 10
在 Rt ? FDE 中, DE ?

4 2 ,z ? , 5 5

EF 1 5 5 ? ,因此, DE 与 , EF ? .? sin ?EDF ? ED 5 2 10 1 .???(14分) 5

平面

A1 B1C 所成的角的正弦值是

0) 0) 19. 解:由条件知 F1 (?2, , F2 (2, ,设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) .
解法一: (I)设 M ( x,y ) ,则 则 F1M ? ( x ? 2,y ) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) ,

?????

????

???? ???? ????? ???? ???? ???? F1 B ? ( x2 ? 2,y2 ),1O ? (2, ,由 F1M ? F1 A ? F1 B ? F1O 得 F 0)
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y

第 10 页

于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? , ?. ? 2 2?

y y1 ? y2 y y 2 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 x ?8 2
2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x12 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程. 0) 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

(II)假设在 x 轴上存在定点 C (m, ,使 CA? 为常数. CB 0) 当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

??? ??? ? ?

4k 2 4k 2 ? 2 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 , k ?1 k ?1

CB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 于是 CA?
2

??? ??? ? ?

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m 2

?

(k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? 4k 2 ? m 2 k 2 ?1 k 2 ?1

2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? ? m 2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 . 2 k ?1 k ?1

CB CB 因为 CA? 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA? = ?1 .
当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, 2) , ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

第 11 页

此时 CA? CB ? (1,2)?(1, 2) ? ?1 . ? 故在 x 轴上存在定点 C (1, ,使 CA? 为常数. CB 0) 解法二: (I)同解法一的(I)有 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? x ? 4, ? y1 ? y2 ? y

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 . k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? ? 4? ? 2 . ? k ?1 ? k ?1
由①②③得 x ? 4 ?

4k 2 .???????????????????④ k 2 ?1

y?

4k .??????????????????????????⑤ k 2 ?1

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

x?4 ? k ,将其代入⑤有 y

x?4 4 y ( x ? 4) y 2 2 y? ? .整理得 ( x ? 6) ? y ? 4 . 2 2 2 ( x ? 4) ( x ? 4) ? y ?1 2 y 4?
当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (4, ,满足上述方程. 0) 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程. 0) 故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

CB (II)假设在 x 轴上存在定点点 C (m, ,使 CA? 为常数, 0)
当 AB 不与 x 轴垂直时,由(I)有 x1 ? x2 ?

??? ??? ? ?

4k 2 4k 2 ? 2 ? 1 , x1 x2 ? 2 . k2 k ?1

第 12 页

以上同解法一的(II) .
2 2 20. (Ⅰ) ∵ a3 ? a1 ? 2d , ∴ f (d ? 1) ? f (d ? 1) ? 2d . 即 d ? (d ? 2) ? 2d , 解得 d =2.

∴ a1 ? f (2 ? 1) ? 0 .

∴ an ? 2(n ? 1) . ????????????? 2 分

b3 f (q ? 1) q2 ? q2 ? q2 ? (q ? 2) 2 . ∵ b1 , ∴ f (q ? 1)

∵ q ? 0, q ? 1 , ∴ q ? 3 .

n ?1 又 b1 ? f (q ? 1) ? 1 , ∴ bn ? 3 .???????????????? 4 分

c1 ? a2 (Ⅱ) 由题设知 b1 , ∴ c1 ? a2b1 ? 2 . c cn ?1 c c1 c2 ? ? 3 ?? ? ? n ? an ?1 b1 2b2 3b3 (n ? 1)bn ?1 nbn



n?2



,

,

c cn ?1 c1 c2 ? ? 3 ?? ? ? an b1 2b2 3b3 (n ? 1)bn ?1 , cn ? an ?1 ? an ? 2 两式相减,得 nbn .
3n ?1 ( c1 ? b1a2 ? 2 适合).??????????? 7 分 ∴ cn ? 2nbn ? 2n?

设 T= c1 ? c3 ? c5 ? ? ? c2 n ?1 ,
2 4 32 n ? 2 ∴ T ? 2 ? 6 ? 3 ? 10 ? 3 ? ? ? (4n ? 2)?

32 T ? 2 ? 32 ? 6 ? 34 ? 10 ? 36 ? ? ? (4n ? 6)? 2 n ? 2 ? (4n ? 2)? 2 n 3 3

两式相减 ,得
?8T ? 2 ? 4 ? 32 ? 4 ? 34 ? ? ? 4 ? 32 n ? 2 ? (4n ? 2)? 2 n 3

? 2 ? 4?

1 9 9(9n ?1 ? 1) ? (4n ? 2)? n ? 2 ? ? 9n ? ? (4n ? 2) ? 9n 9 2 2 9 ?1 5 5 n ? ? ? ? 9 ? 4n? n 9 2 2 . T? 5 n 5 ? ( ? )? 2 n 3 16 2 16 .??????????????????? 9 分



3bn ? 1 3n ? 1 2 ? 1? n = 3bn ? 1 3n ? 1 3 ?1 , (Ⅲ)

an ?1 2n 2 ? ? 1? an ? 2 2(n ? 1) 2n ? 2 .

第 13 页

n 现只须比较 3 ? 1 与 2n ? 2 的大小.

n 当 n=1 时, 3 ? 1 ? 4 ? 2n ? 2 ;

n 当 n=2 时, 3 ? 1 ? 10 ? 2n ? 2 ? 6 ;

n 当 n=3 时, 3 ? 1 ? 28 ? 2n ? 2 ? 8 ;

n 当 n=4 时, 3 ? 1 ? 82 ? 2n ? 2 ? 10 .

n 猜想 n ? 2 时, 3 ? 1 ? 2n ? 2 .

用数学归纳法证明
n n (1)当 n=2 时,左边 ? 3 ? 1 ? 10 ,右边 ? 2n ? 2 ? 6 , 3 ? 1 ? 2n ? 2 成立.

k (2)假设当 n=k 时, 不等式成立,即 3 ? 1 ? 2k ? 2 .

k ?1 k k k 当 n=k+1 时, 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3

? 2k ? 2 ? 2 ? 3k ? 2k ? 2 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2 .

即当 n=k+1 时,不等式也成立.
n 由(1) ,可知 n ? 2 时, 3 ? 1 ? 2n ? 2 都成立. (2)

n 所以 3 ? 1 ? 2n ? 2 (当且仅当 n=1 时,等号成立)

所以 21.(1)f ′(x)= 即 a≥

1?

3bn ? 1 an ?1 2 2 ? ? 1? 3bn ? 1 an ? 2 . ??????????? 14 分 3 ?1 2n ? 2 .即
n

ax ? 1 (a ? 0) ax 2

依题

ax ? 1 ≥0 在[1,+∞)上恒成立 ax 2
??

1 在[1,+∞)上恒成立,∴a≥1 x

(2)当 a=1 时,f ′(x)=

1 1 x ?1 ,其中 x∈[ ,2], 而 x∈[ ,1)时,f ′(x)<0;x 2 2 2 x

∈(1, (1)=0

1 1 ]时,f ′(x)>0, ∴x=1 是 f (x)在[ ,2]上唯一的极小值点,∴ [f (x)]min=f 2 2
??

第 14 页

1 3 1 1 ln e3 ? ln 24 )-f (2)= -2ln2= >0, ( )>f (2), ∴[f (x)]max=f ( )=1-ln2 ∴f 2 2 2 2 2 1 综上,a=1 时,f (x)在[ ,2]上的最大值和最小值分别为 1-ln2 和 0 ?? 2
又f( (3)若 a=1 时,由(1)知 f (x)= 当 n>1 时,令 x=

1? x ? ln x 在[1,+∞)上为增函数, x

n ,则 x>1,故 f (x)>f (1)=0, n ?1
??

n 1? n n 1 n n 1 即f ( )= n ? 1 +ln =- +ln >0,∴ln > n n ?1 n ?1 n n ?1 n ?1 n n ?1

第 15 页



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