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高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义素材新人教B版选修1_1

3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何 课堂探究 探究一 求导数 求函数在点 x0 处的导数就是求该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限, Δy Δy 求解过程中要注意对式子 的变形和约分,变形不彻底可能会导致Δ lim 不存在,得出错 x→0Δ x Δx 误结论. 【典型例题 1】 已知函数 y= x,求 y′,y′|x=1. 思路分析:按求导数的步骤求解即可,但要注意变形的技巧. 解:因为 Δ y= Δ x+x- x, Δy Δ x+x- x 所以 = Δx Δx = = Δx ( Δ x+x+ x)Δ x 1 Δ x+x+ x . 1 = . Δ x+x+ x 2 x 1 所以 y′=Δ lim x→0 Δy = lim Δ x Δ x→0 1 所以 y′|x=1= . 2 点评 函数的导数与在点 x0 处的导数不是同一概念,在点 x0 处的导数是函数的导数在 x =x0 处的函数值.分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧,要认真体会. 探究二 利用导数求曲线的切线方程 求曲线上某点(x0,y0)处的切线方程,需要先求出 f′(x0),即切线的斜率,再用点斜式 写出切线方程后化简, 但要注意分清“求曲线 y=f(x)上过点 M 的切线”与“求曲线 y=f(x) 上在点 M 处的切线”两者的不同. 1 3 ? 8? 【典型例题 2】 如图,已知曲线 y= x 上一点 P?2, ?, 3 ? 3? 1 求:(1)点 P 处的切线方程. (2)满足斜率为 1 的曲线的切线方程. 思路分析:(1)先利用导数的几何意义求斜率,然后写出切线方程. (2)设出切点坐标,利用斜率求出切点坐标,从而得切线方程. 1 3 解:因为 y=f(x)= x , 3 1 1 3 3 (x+Δ x) - x 3 3 Δy 所以 y′=Δ lim =Δ lim x→0Δ x x→0 Δx x2Δ x+x(Δ x)2+ (Δ x)3 =Δ lim x→0 Δx 1 3 ?x2+x·Δ x+1(Δ x)2? =Δ lim ? ? x→0? 3 ? =x . (1)因为 y′|x=2=4, 8 所以在点 P 处的切线方程为 y- =4(x-2), 3 即 12x-3y-16=0. (2)设切点坐标为 M ? x0 , 2 由于切线斜率 k= x0 , 2 ? ? 1 3? x0 ? , 3 ? 1? ? ? 1? 2 则 x0 =1,x0=±1,那么切点坐标 M?-1,- ?或 M′?1, ?,所以所求切线方程为 y 3? ? ? 3? 1 1 2 2 + =x+1 或 y- =x-1,即 x-y+ =0 或 x-y- =0. 3 3 3 3 探究三 导数几何意义的应用 (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线间的位置关系 等,因此要综合应用所学知识解题. (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可 以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量. 1 3 【典型例题 3】 已知点 M(0,-1),F(0,1),过点 M 的直线 l 与曲线 y= x -4x+4 在 3 x=-2 处的切线平行. (1)求直线 l 的方程; (2)求以点 F 为焦点,l 为准线的抛物线 C 的方程. 思路分析:要求直线 l 的方程,只需求 y′|x=-2,要求抛物线 C 的方程,可以利用抛物 2 线的定义求解. 解:(1)设曲线 y=f(x), 因为 y′|x=-2=Δ lim x→0 f(-2+Δ x)-f(-2) =0, Δx 所以直线 l 的斜率为 0,其方程为 y=-1. (2)因为抛物线以点 F(0,1)为焦点,y=-1 为准线, 所以可设抛物线方程为 x =2py, 则有 =1,p=2. 2 故抛物线 C 的方程为 x =4y. 探究四 易错辨析 易错点 混淆切点与切线经过的点 【典型例题 4】 试求过点 P(3,5)且与曲线 y=x 相切的直线的方程. 错解:因为函数 y=x 的导数为 y′=2x, 所以 y′|x=3=2×3=6. 所以切线方程为 y-5=6(x-3),即 y=6x-13. 错因分析:没有注意到点 P 不在曲线上,点 P 不是切点,错解中把点 P 当成了切点,从 而导致错误. 正解:直线的斜率不存在时显然不成立. 函数 y=x 的导数为 y′=2x. 设所求切线的切点为 A(x0,y0), 则 y0=x20,切线斜率为 y′|x=x0=2x0. 因为切线过 P(3,5)和 A(x0,y0)两点, 所以其斜率为 2 x2 ? 5 y0-5 x0 ? 5 = ,所以 2x0= 0 , x0-3 x ? 3 x ?3 0 0 2 2 2 2 2 p 解得 x0=1 或 x0=5,从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为 2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为 2x0=10. 所以所求切线有两条,方程分别为 y-1=2(x-1)或 y-5=10(x-3), 即 y=2x-1 或 y=10x-25. 点评 求曲线上在点 P 处的切线与过点 P 的切线有区别,在点 P 处的切线,点 P 必为切 点;求过点 P 的切线,点 P 未必是切点,点 P 也不一定在已知曲线上.应注意概念区别,其 求解方法上也有所不同,要认真体会.若点 P 在曲线上,要分点 P 是切点和不是切点两种情 3 况解决. 4


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