江苏省常州市溧阳市2016届高三上学期期中数学试卷【解析版】(文科)

2015-2016 学年江苏省常州市溧阳市高三 （上） 期中数学试卷 （文 科） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）只需直接写出结果． 1．若集合 A={x|x ﹣4x≤0}，B={x|x ﹣2x＞0}，则 A∩B=__________． 2 2 2．复数 z=1+i，且 （a∈R）是纯虚数，则实数 a 的值为__________． 3．若直线 mx﹣2y﹣1=0 经过第一、三、四象限，则实数 m 的取值范围是__________． 4．cos 75°+cos 15°+cos75°cos15°的值等于__________． 2 2 5．若实数 x 满足 x＞﹣4，则函数 f（x）=x+ 的最小值为__________． 6．设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不重合的平面，给定下列四个命题： ①若 m⊥n，n?α，则 m⊥α； ②若 m⊥α，m?β，则 α⊥β； ③若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n； ④若 m?α，n?β，α∥β，则 m∥n． 其中真命题的序号为__________． 7．设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c，△ ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r= ； 类比这个结论可知：四面体 P﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球的半 径为 r，四面体 P﹣ABC 的体积为 V，则 r=__________． 8．若圆 x +y ﹣4mx+（2m﹣3）y+4=0 被直线 2x﹣2y﹣3=0 所截得的弦最长，则实数 m 的 值为__________． 2 2 9．如图，在△ ABC 中，已知 B= AB=__________． ，D 是 BC 边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则 10．设 P，A，B，C 是球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=1， 则球 O 的表面积为__________． 11．若实数 x，y 满足 x+y﹣4≥0，则 z=x +y +6x﹣2y+10 的最小值为__________． 2 2 12．已知在平面直角坐标系中，点 A（2 则这样的直线 l 共有__________条． ，0） ，B（0，1）到直线 l 的距离分别为 1 和 2， 13．定义在 R 上的函数 f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x） ，f（0）=6，f′（x）是 f（x）的导 x x 函数，则不等式 e f（x）＞e +5（其中 e 为自然对数的底数）的解集为__________． 14．已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，前 n 项和为 Sn，记数列{log2an}的前 n 项和 为 Tn，若 a1∈[ ， ]，且 =9，则当 n=__________时，Tn 有最小值． 二、解答题（本大题共 6 小题，满分 90 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （14 分）在△ ABC 在，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosC= ，sinA= （1）求 tanB 的值； （2）若 c= ，求△ ABC 的面积． cosB． 16． （14 分） 如图， 在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD， AD=DC=a， ∠ABC=60°， 平面 ACEF⊥ 平面 ABCD，四边形 ACEF 是平行四边形，点 M 在线段 EF 上． （1）求证：BC⊥平面 ACEF； （2）当 FM 为何值时，AM∥平面 BDE？证明你的结论． 17． （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（﹣3，4） ，B（9，0） ，C，D 分别为线 段 OA，OB 上的动点，且满足 AC=BD （1）若 AC=4，求直线 CD 的方程； （2）证明：△ OCD 的外接圆恒过定点． 18． （16 分）某油库的设计容量是 30 万吨，年初储量为 10 万吨，从年初起计划每月购进石 油 m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油 1 万吨，区域外前 x 个月 的需求量 y（万吨）与 x 的函数关系为 y= （p＞0，1≤x≤16，x∈N ） ，并且前 4 个月， * 区域外的需求量为 20 万吨． （1）试写出第 x 个月石油调出后，油库内储油量 M（万吨）与 x 的函数关系式； （2）要使 16 个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每 月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定 m 的取值范围． 19． （16 分）已知函数 f（x）=e ﹣a（x﹣1） ，其中，a∈R，e 是自然对数的底数． （1）当 a=﹣1 时，求函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）讨论函数 f（x）的单调性，并写出相应的单调区间； （3）已知 b∈R，若函数 f（x）≥b 对任意 x∈R 都成立，求 ab 的最大值． 20． （16 分）若数列{an}满足条件：存在正整数 k，使得 an+k+an﹣k=2an 对一切 n∈N ，n＞k 都成立，则称数列{an}为 k 级等差数列． （1）已知数列{an}为 2 级等差数列，且前四项分别为 2，0，4，3，求 a8+a9 的值； （2）若 an=2n+sinωn（ω 为常数） ，且{an}是 3 级等差数列，求 ω 所有可能值的集合，并求 ω 取最小正值时数列{an}的前 3n 项和 S3n； （3）若{an}既是 2 级等差数列{an}，也是 3 级等差数列，证明：{an}是等差数列． * x 2015-2016 学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学 试卷（文科） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）只需直接写出结果． 2 2 1．若集合 A={x|x ﹣4x≤0}，B={x|x ﹣2x＞0}，则 A∩B=（2，4]． 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应