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2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结


2014 年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
知识点梳理: 1. 椭圆定义: (1)第一定义:平面内与两个定点 F、F2 的距离之和为常数 2a(2a ?| F2 F2 |) 的动 1 点 P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点 F、F2 叫椭圆的焦点. 1 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F1F 2 时, P 的轨迹为椭圆 ; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F1F 2 时, P 的轨迹不存在; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F1F 2 时, P 的轨迹为 以 F、F2 为端点的线段 1 (2)椭圆的第二定义:平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距 离之比是常数 e ( 0 ? e ? 1 )的点的轨迹为椭圆 (利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互 转化). ;

2.椭圆的方程与几何性质: x2 y2 标准方程 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2
a b

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

性 质

参数关 系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性 离心率

a 2 ? b2 ? c 2
(c,0), (?c,0) (0, c), (0,?c)

2c

| x |? a, | y |? b
(?a,0),(a,0),(0,?b),(0, b)

| y |? a, | x |? b
(0,?a),(0, a),(?b,0),(b,0)

关于 x 轴、y 轴和原点对称 c e ? ? (0,1) a

准线

x??

a2 c

y??

a2 c

考点 1

椭圆定义及标准方程

题型 1:椭圆定义的运用 [例 1 ] 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光 线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的 焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1) A ? C ? A ,此时小球经过的路程为 2(a-c); (2) A ? B ? D ? B ? A , 此时小球经过的路程为 2(a+c); (3) A ? P ? B ? Q ? A 此时小球经过的路程为 4a,故选 D 总结:考虑小球的运行路径要全面 练习
2 的椭圆两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 3 两点,则△ABF2 的周长为 ( ) A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴 a=3,△ABF2 的周长为 4a=12
C A
O y

P D B Q
x

1.短轴长为 5 ,离心率 e ?

2. 已 知 P 为 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 的 一 点 , M , N 分 别 为 圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和 圆 25 16

( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 上的点,则 PM ? PN 的最小值为(

) D. 15

A. 5 [解析]B.

B. 7

C .13

| 两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点,? PC | ? | PD |? 10 , PM ? PN 的最

小值为 10-1-2=7 题型 2 求椭圆的标准方程 [例 2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互 相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数 a, b, c 的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为
x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a2 b b a

b?c ? ? 则 ?a ? c ? 4( 2 ? 1) , ? a 2 ? b2 ? c2 ?

x2 y2 x2 y 2 ?1或 ? ? 1. 解之得: a ? 4 2 ,b=c=4.则所求的椭圆的方程为 ? 32 16 16 32 总结:准确把握图形特征,正确转化出参数 a, b, c 的数量关系.

[警示]易漏焦点在 y 轴上的情况. 练习: 3. 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ____________. [解析](0,1). 椭圆方程化为
x2 y2 2 + =1. 焦点在 y 轴上,则 >2,即 k<1. 2 2 k k

又 k>0,∴0<k<1. 4.已知方程 x2 cos? ? y 2 sin? ? 1,? ? (0,? ) ,讨论方程表示的曲线的形状

? [解析]当 ? ? (0, ) 时, sin ? ? cos ? ,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆, 4 ? 当 ? ? 时, sin ? ? cos ? ,方程表示圆心在原点的圆, 4 ? ? 当 ? ? ( , ) 时, sin ? ? cos ? ,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 4 2 5. 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦
点到椭圆上的点的最短距离是 3 ,求这个椭圆方程.
2 ?a ? 2 3 ?a ? c ? 3 x2 y x2 y2 ? ?? [解析] ? ,? b ? 3 ,所求方程为 + =1 或 + =1. 12 9 12 9 ?c ? 3 ?a ? 2c ?

考点 2 椭圆的几何性质 题型 1:求椭圆的离心率(或范围) [例 3 ] 在 △ ABC 中, ?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A, B 为焦点的椭圆经 过点 C ,则该椭圆的离心率 e ?
1 | AB | ? | AC | sin A ? 3 , 2



【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率 [解析] S ?ABC ?

? AC |? 2 3 , | BC |? | AB |2 ? | AC |2 ?2 | AB | ? | AC | cos A ? 2 |
e? | AB | 2 3 ?1 ? ? | AC | ? | BC | 2 3 ? 2 2

总结: (1)离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量,决定了椭圆的形状;反之,形状确 定,离心率也随之确定 (2)只要列出 a、b、c 的齐次关系式,就能求出离心率(或范围) (3) “焦点三角形”应给予足够关注 练习 6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 1 5 3 2 C. A. B. D. 2 4 2 2 [解析]选 B 7.已知 m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则椭圆 率为
?2 n ? 2 m ? n ?m ? 2 x2 y 2 2 ? 2 2 ? 1 的离心率为 [解析]由 ?n ? m n ? ? ,椭圆 ? m n 2 ?n ? 4 ?m n ? 0 ?

x2 y 2 ? ? 1 的离心 m n

题型 2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等) [例 4 ] 已知实数 x, y 满足
x2 y 2 ? ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? x 的最大值与最小值 4 2

【解题思路】 把 x2 ? y 2 ? x 看作 x 的函数 [解析] 由
?2 ?
1 x2 y 2 ? ? 1得 y2 ? 2 ? x2 , 2 4 2

1 2 x ? 0 ? ?2 ? x ? 2 2 1 1 3 ? x 2 ? y 2 ? x ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? , x ? [?2,2] 2 2 2 3 当 x ? 1 时, x2 ? y 2 ? x 取得最小值 ,当 x ? ?2 时, x2 ? y 2 ? x 取得最大值 6 2

练习

9.已知点 A, B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )上两点,且 AO ? ? BO ,则 ? = m2 n2

[解析] 由 AO ? ? BO 知点 A, O, B 共线,因椭圆关于原点对称,? ? ? ?1
2 2 10.如图,把椭圆 x ? y ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭

25 16

圆的上半部分于 P , P2 , P , P4 , P , P , P 七个点, F 是椭圆的一个 1 3 5 6 7 焦点 则 PF ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? ________________ 1 2 3 4 5 6 7 [解析]由椭圆的对称性知: P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? 2a ? 35 . 1 7 2 6 3 5 考点 3 椭圆的最值问题 [例 5 ]椭圆 ___________. 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点 P,设 P( 4 cos? ,3sin ? ). 那么点 P 到直线 l 的距离为:
x2 y2 ? ? 1 上 的 点 到 直 线 l: x ? y ? 9 ? 0 的 距 离 的 最 小 值 为 16 9

| 4 cos? ? 3sin ? ? 12 | 12 ? 12
总结:

?

2 | 5 sin(? ? ? ) ? 9 | ? 2 2. 2

也可以直接设点 P( x, y ) ,用 x 表示 y 后,把动点到直线的距离表示为 x 的函数, 关键是要具有“函数思想” 练习:
x2 y2 ? 1 的内接矩形的面积的最大值为 11.椭圆 ? 16 9

[解析]设内接矩形的一个顶点为 (4 cos? ,3sin ? ) , 矩形的面积 S ? 48 sin ? cos ? ? 24 sin 2? ? 24 12. P 是椭圆
x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,求 | PF | ? | PF2 | 的 1 a 2 b2

最大值与最小值

[解析] | PF | ? | PF2 |?| PF | (2a? | PF |) ? ?(| PF | ?a)2 ? a2 ,| PF |?[a ? c, a ? c] 1 1 1 1 1 当 | PF |? a 时, | PF | ? | PF2 | 取得最大值 a 2 , 1 1 当 | PF |? a ? c 时, | PF | ? | PF2 | 取得最小值 b2 1 1 13.已知点 P 是椭圆
x2 ? y 2 ? 1 上的在第一象限内的点,又 A(2,0) 、 B(0,1) , 4

O 是原点,则四边形 OAPB 的面积的最大值是_________.

? [解析] 设 P (2 cos ? , sin ? ), ? ? (0, ) ,则 2 1 1 SOAPB ? S ?OPA ? S ?OPB ? OA ? sin ? ? OB ? 2 cos ? ? sin ? ? cos? ? 2 2 2
考点 4 椭圆的综合应用 题型:椭圆与向量、解三角形的交汇问题 [例 6 ] 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,一个长轴端点为 ? 0 ,1? ,短轴端点和焦点 所组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异 两点 A、B,且 AP ? 3PB . (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. 【解题思路】通过 AP ? 3PB ,沟通 A、B 两点的坐标关系,再利用判别式和根 与系数关系得到一个关于 m 的不等式 [解析](1)由题意可知椭圆 C 为焦点在 y 轴上的椭圆,可设
C: y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

由条件知 a ? 1 且 b ? c ,又有 a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 a ? 1 , b ? c ?
x2 c 2 ?1 ? ,其标准方程为: y 2 ? 1 a 2 2

2 2

故椭圆 C 的离心率为 e ?

(2)设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ?y=kx+m ? 2 2 ?2x +y =1 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ=(2km)2-4(k2+2) 2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) (m

-2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2 ?x1+x2=-2x2 ∵ AP =3 PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ?x1x2=-3x2 -2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0 2-2m 1 1 m2=4时,上式不成立;m2≠4时,k2= 2 , 4m -1 因 λ=3 ∴k≠0 ∴k2= 2-2m2 1 1 >0,∴-1<m<-2 或 2<m<1 2 4m -1
2

容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,-2)∪(2,1) 总结:椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功 能

例 7.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点 a 2 b2

??? ? ??? ? F1 , A 为椭圆的右顶点, B 是椭圆的上顶点,且 AB ? ?OP(? ? 0) .
⑴、求该椭圆的离心率. ⑵、若该椭圆的准线方程是 x ? ?2 5 ,求椭圆方程. ??? ? ??? ? [解析] ⑴、? AB ? ? OP ,? AB ∥ OP ,? △ PF1O ∽△ BOA ,

?

PF1 BO

?

FO1 OA

?

c bc , ? PF1 ? a a

又 P ( ?c, y ) ?

c 2 PF1 b2 ? 2 ? 1 ? PF1 ? 2 ,? b ? c , a2 b a

而 a 2 ? b2 ? c 2 ? a 2 ? 2c 2 ? e ?

2 . 2
a2 ? 2 5 ? a 2 ? 2 5c , c

⑵、? x ? ?2 5 为准线方程,?

?a 2 ? 2 5c ?a 2 ? 10 ? x2 y 2 ? ?1. 由 ?b ? c . ? 所求椭圆方程为 ? ?? 2 10 5 ?b ? 5 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
练习 14.设过点 P?x, y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点, 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,则 P 点的轨迹方程是 ( ) 3 2 3 2 A. x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? B. x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 2 3 2 3 C. 3x 2 ? y ? 1?x ? 0, y ? 0? D. 3x 2 ? y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 2

3 3 [解析] AB ? (? x,3 y ), OQ ? (? x, y ) ? x 2 ? 3 y 2 ? 1 ,选 A. 2 2
15. 如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB=90°,AB=2,AC=
2 。一曲线 E 过点 C, 2

动点 P 在曲线 E 上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。 (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2)设直线 l 的斜率为 k,若∠MBN 为钝角,求 k 的取值范围。 解: (1) AB 所在直线为 x 轴, 的中点 O 为原点建立直角坐标系, A 以 AB 则 (- 1,0) ,B(1,0) 由题设可得

| PA | ? | PB |?| CA | ? | CB |?

2 2 2 3 2 ? 22 ? ( ) 2 ? ? ?2 2 2 2 2 2

∴动点 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

则 a ? 2 , c ? 1.b ? a 2 ? c 2 ? 1 ∴曲线 E 方程为
x2 ? y2 ? 1 2

(2)直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1),设M ( x1 , y1 ),设M ( x1 , y1 , ), N ( x2 , y2 )
? y ? k ( x ? 1) 得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0 由? 2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0

∴方程有两个不等的实数根
? x 1 ? x2 ? ? 4k 2 2(k 2 ? 1) , x1 ? x 2 ? 2 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? BM ? ( x1 ? 1, y1 ), BN ? ( x2 ? 1, y2 )
BM ? BN ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)(x1 ? 1)
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2
? (1 ? k 2 ) 2(k 2 ? 1) 4k 2 7k 2 ? 1 ? (k 2 ? 1)(? ) ?1? k 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∵∠MBN 是钝角

? BM ? BN ? 0

7k 2 ? 1 ?0 1 ? 2k 2

解得: ?

7 7 ?k? 7 7

又 M、B、N 三点不共线 ?k ? 0 综上所述,k 的取值范围是 (?
7 7 ,0) ? (0, ) 7 7

课后作业 1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且 ?BDB1 ? 90? , 则椭圆的离心率为( )

A

3 ?1 2

B

5 ?1 2

C

5 ?1 2

D

3 2
5 ?1 2

[解析] B .

b b ? (? ) ? ?1 ? a 2 ? c 2 ? ac ? e ? a c

x2 2 2. 设 F1、F2 为椭圆 +y =1 的两焦点,P 在椭圆上,当△F1PF2 面积为 1 时, 4

PF ? PF2 的值为 1
A、0 B、1 C、2 D、3

[解析] A .
(?

? S?F1PF2 ? 3 | yP |? 1 , ? P 的纵坐标为 ?

3 ,从而 P 的坐标为 3

2 6 3 ,? ) , PF ? PF2 ? 0, 1 3 3
x2 y2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

3.椭圆

A.x ? 2 y ? 0
2

B.2 x ? y ? 10 ? 0
2

C.2 x ? y ? 2 ? 0

D.x ? 2 y ? 8 ? 0

2 x1 y12 x2 y2 y ? y2 [解析] D. ? ? 1, ? ? 1 ,两式相减得: x1 ? x2 ? 4( y1 ? y2 ) 1 ? 0, 36 9 36 9 x1 ? x2 y ? y2 1 ?? ? x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? 4 ,? 1 x1 ? x2 2 3 4.在 △ ABC 中, ?A ? 90? , tan B ? .若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 4 椭圆的离心率 e ? . 1 AB ? [解析] AB ? 4k , AC ? 3k , BC ? 5k , e ? AC ? BC 2 5. 已知 F1 , F2 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 ?PF1 F2 : ?PF2 F1 : ?F1 PF2 ? 1 : 2 : 3 , 则此椭圆的离心率为 _________.

[三角形三边的比是 1 : 3 : 2 ] x2 y 2 6.在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心,a a b 2 ?a ? 为半径的圆,过点 ? ,0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = . ? c ? [解析]
2 a2 ? 2a ? e ? c 2
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) 与过点 A(2,0),B(0,1)的直线 l 有且只有一
3 .求椭圆方程 2

[解析]

3 ?1

7、已知椭圆

个公共点 T,且椭圆的离心率 e ? [解析]直线 l 的方程为: y ? ? 由已知

1 x ?1 2

a2 ? b2 3 ? ? a 2 ? 4b 2 a 2



? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 ? b 由?a 1 ?y ? ? x ? 1 ? 2 ?

得: (b 2 ?

1 2 2 a )x ? a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 4

∴ ? ? a 4 ? (4b 2 ? a 2 )(a 2 ? a 2 b 2 ) ? 0 ,即 a 2 ? 4 ? 4b 2



由①②得: a 2 ? 2 , 2 ? b 故椭圆 E 方程为

1 2

y2 x2 ? ?1 1 2 2

8.已知 A、 分别是椭圆 B

x2 y2 2 ? 2 ? 1 的左右两个焦点, 为坐标原点, P (?1, O 点 ) 2 2 a b

在椭圆上,线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求 的值。 [解析](1)∵点 M 是线段 PB 的中点 ∴ OM 是△ PAB的中位线 又 OM ? AB ∴ PA ? AB

sin A ?sin B sin C

?c ? 1 ?1 1 ? ∴ ? 2 ? 2 ?1 ? a 2b ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

解得a 2 ? 2, b2 ? 1, c 2 ? 1

∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 =1 2
C

(2)∵点 C 在椭圆上,A、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC+BC=2a= 2 2 ,AB=2c=2
A

B

在△ABC 中,由正弦定理, ∴ 9.

BC AC AB ? ? sin A sin B sin C

sin A ? sin B BC ? AC 2 2 ? ? 2 = sin C AB 2
已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的 平面直角坐标系 xoy.

(Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN

y 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
D C

A

O
图8

B

x

[解析] (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2,0 , 设椭圆的标准方程是
x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? . 2 a b
2
2 2

?

??

2,0 , 2,1 .

?? ?

则2a ? AC ? BC ?

?

2? ? 2

?

?? ? ?1 ? 0?
2

?

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0?
2

?

2

?4?2 2 ?a ? 2 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 . x2 y2 ? ? 1. ? 椭圆的标准方程是 4 2 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? . 设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?.

? y ? kx ? 2 联立方程: ? 2 2 ?x ? 2 y ? 4
消去 y 整理得, 1 ? 2k 2 x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 8k 4 , x1 x 2 ? 有 x1 ? x 2 ? ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 即 1 ? k 2 x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 所以, 即
4 1? k 2 16k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

?

?

?

?

?

8 ? 4k 2 ? 0, 1 ? 2k 2 得 k 2 ? 2, k ? ? 2.

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 . 所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点.



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