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2011高考数学总复习课件5.3 平面向量的数量积_图文

§5.3
要点梳理

平面向量的数量积

基础知识 自主学习

1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ ,则数量

|a|?|b|cos θ 叫做a与b的数量积(或内积),记
作a?b=|a||b|?cos θ . 规定:零向量与任一向量的数量积为 0 .

两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a?b=0 ,两非 零向量a与b平行的充要条件是 a?b=±|a||b| .

2.平面向量数量积的几何意义 数量积a?b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影

|b|cosθ

的乘积.

3.平面向量数量积的重要性质 (1)e?a=a?e=|a|cos θ ;

(2)非零向量a,b,a⊥b

a?b=0



(3)当a与b同向时,a?b= |a||b| ; 当a与b反向时,a?b= -|a||b| ,

a ? a; a? b (4)cos θ = |a || b|;
a?a= a2 ,|a|= (5)|a?b| ≤ |a||b|.

4.平面向量数量积满足的运算律

(1)a?b= b?a

(交换律);

(2)( ? a)?b= ? a?b = a? ? b ( ? 为实数); (3)(a+b)?c= a?c+b?c .

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设 向 量 a= ( x1 , y1 ) , b= ( x2 , y2 ) , 则 a?b= x1x2+y1y2 ,由此得到
(1)若a=(x,y),则|a|2= x2+y2
2 2 ? x ? y 或|a| .

( 2 )设 A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ),则 A 、 B 两点间
的距离|AB|=|AB|=

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

.

(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b
x1x2+y1y2=0 .

基础自测
1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为(C ) A. 13 解析 B. 13 C. 65 D. 65 5 5 a?b 设a和b的夹角为θ ,|a|cos θ =|a|

|a || b|

?

2 ? (?4) ? 3 ? 7 (?4) 2 ? 7 2

13 65 ? ? . 5 65

2.若|a|=2cos 15°,|b|=4sin 15°,a,b的夹角为 30°,则a?b等于 A.
3 2

( B ) C. 2 3
?

B. 3

D. 1
2

解析

a ? b ?| a | | b | cos 30
? 4 sin 30? ? cos 30? ? 2 sin 60? ? 3

? 2 cos15? ? 4 sin 15? ? cos 30?

3.已知a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则a?(b?c)

等于
A.(26,-78) C.-52 解析

( A) B.(-28,-42)
D.-78

a?(b?c)=(1,-3)?(4?2+6?3)=(26,-78).

4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n,则x等于( D )
A.1 解析 B.2 C.3 D.4 由m?n=0,得4(x-5)+x=0,得x=4.

5. ( 2009? 江 西 文 , 13 ) 已 知 向 量

a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若(a-c)⊥b,则k= 0 .
解析 ∵a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1), (a-c)⊥b,b=(1,3), ∴(3-k)?1-3=0,∴k=0.

题型分类
题型一 平面向量的数量积

深度剖析

3 3 【例1】已知向量a=(cos x,sin x), 2 2 π π x x b=(cos ,-sin ),且x∈[ ? , ]. 3 4 2 2 (1)求a?b及|a+b|;
(2)若f(x)=a?b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值. 思维启迪 利用数量积的坐标运算及性质即可求解, 在求|a+b|时注意x的取值范围.

3 x 3 x 解 (1) a ? b ? cos x cos ? sin x sin ? cos 2 x, 2 2 2 2 3x x 3 x a ? b ? (cos ? cos , sin x - sin ) 2 2 2 2 3 x 2 3 x 2 |a ? b | ? ( cos x ? cos ) ? (sin x ? sin ) 2 2 2 2

2 ? 2 cos 2 x ? 2 | cos x |, π π ? x ? [? , ],? cos x >0 3 4
∴|a+b|=2cos x.

(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1
1 2 3 )- . 2 2 π π 1 ∵x∈[ ? , ] ,∴ ≤cos x≤1, 3 4 2 1 3 ∴当cos x= 时,f(x)取得最小值为; 2 2

=2(cos x-

当cos x=1时,f(x)取得最大值为-1.

探究提高

(1)与三角函数相结合考查向量的数

量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此 类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公 式、向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三

角恒等变换的相关知识.
(2)求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角 为θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|, 然后再求数量积即a?b=|a||b|cosθ,若知道向量 的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=x1x2+y1y2.

知能迁移1

(1)已知O是△ABC内部一点,

=0, OA ? OB ? OC AB ? AC ? 2 3,
且∠BAC=30°,则△AOB的面积为 ( D)

A.2
解析

B.1

1 ∴S△AOB= S△ABC. 3 又 AB ? AC ?| AB | | AC |cos 30°=2
得 | AB | | AC | =4.

由OA ? OB ? OC =0得O为△ABC的重心.
3,

1 C. 2

1 D. 3

1 1 ∴S△ABC= sin 30°=1.∴S△AOB= . | AB | | AC | 2 3

(2)(2009?重庆理,4)已知|a|=1,|b|=6,a?(ba)=2,则向量a与b的夹角是 A. ( C ) D. π

π 6

B. π

C. π

4

3

2

解析

∵a?(b-a)=a?b-a2=2,∴a?b=2+a2=3

a? b 3 1 ? ? , ∴a 与 b 的 夹 角 ∴cos〈a , b〉= |a || b | 1? 6 2
为 π .
3

题型二

π 【例2】已知向量a=(cos(-θ ),sin(-θ )),b= (cos( ? ? ), 2 π sin( ? ? )), 2
(1)求证:a⊥b; (2)若存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t2+3)b, k ? t2 y=-ka+tb,满足x⊥y,试求此时 的最小值. t 思维启迪 (1)可通过求a?b=0证明a⊥b.

利用平面向量的数量积解决垂直问题

( 2 ) 由 x⊥y 得 x?y=0 ,即求出关于 k,t 的一个方程,
2 k ? t 从而求出 的代数表达式,消去一个量k,得出关 t 于

t的函数,从而求出最小值.

π (1)证明 ∵a?b=cos(-θ )?cos( -θ )+sin(-θ ) 2 π ?sin( -θ )=sin θ cos θ -sin θ cosθ =0. 2 ∴a⊥b.

(2)解

由x⊥y得x?y=0,

即[a+(t2+3)b]?(-ka+tb)=0,

∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t 2+3)]a?b=0,
∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0. 又|a|2=1,|b|2=1,

∴-k+t3+3t=0,∴k=t3+3t.
k ? t2 t3 ? t2 ? 3t 1 11 ∴ ? ? t2 ? t ? 3 ? (t ? )2 ? . t t 2 4 2 11
1 故当t=? 2

k?t 时, t

有最小值 4 .

探究提高

( 1 )两个非零向量互相垂直的充要条

件是它们的数量积为零 . 因此,可以将证两向量的 垂直问题,转化为证明两个向量的数量积为零. (2)向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的 运算,由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用

向量的数量积来解决,因此,我们可以利用向量的
坐标研究有关长度、角度和垂直问题.

1 3 知能迁移2 已知平面向量a=(, ),b=(- 3 , -1). 2 2 (1)证明:a⊥b;

(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2- 2)b, y=-ka+t2b,且x⊥y,试把k表示为t的函数.

(1)证明

1 3 a?b= (? , )?( ? 3 ,-1) 2 2

1 3 ? (? ) ? (? 3 ) ? ? (?1) ? 0, 2 2
∴a⊥b.

(2)解

∵x⊥y,∴x?y=0,

即[a+(t2-2)b]?(-ka+t2b)=0. 展开得-ka2+[t2-k(t2-2)]a?b+t2(t2-2)b2=0,

∵a?b=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,
∴-k+4t2(t2-2)=0,∴k=f(t)=4t2 (t2-2).

题型三

向量的夹角及向量模的问题

1 【 例 3】 ( 12 分 ) 已 知 |a|=1 , a?b= , ( a2 1 b)?(a+b)= , 2 求:(1)a与b的夹角;
(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.

1 解 (1)∵(a-b)?(a+b)= , 2 1 ∴|a|2-|b|2= , 2 又∵|a|=1,∴|b|= | a |2 ? 1 ? 2 . 2 2 设a与b的夹角为θ , 1 a? b 2 2 ? ? , 则cos θ = | a || b | 2 2 1? 2 ∵ 0°≤θ ≤ 180°,∴θ =45°.

3分

5分 6分

(2)∵(a-b)2=a2-2a?b+b2
1 1 1 ? 1? 2? ? ? , 2 2 2

∴|a-b|=

2 . 2

8分
1 1 5 ? ? , 2 2 2

(a+b)2=a2+2a?b+b2=1+2?
∴|a+b|=

10 , 2
10分

设a-b与a+b的夹角为? ,
则cos ? =

(a- b)? ( a ? b) ? |a - b || a? b|

5 ? . 5 2 10 ? 2 2

1 2

12分

探究提高 =

(1)求向量的夹角利用公式cos〈a,b〉

a? b .需分别求向量的数量积和向量的模. | a|?| b|

(2)利用数量积求向量的模,可考虑以下方法.
①|a|2 =a2 =a?a;②|a±b|2 =a2 ±2a?b+b2 ;

③若a=(x,y),则|a|= x 2 ? y 2 .

知能迁移3

已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.

(1)计算:①|a+b|;②|4a-2b|; (2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
1 解 由已知,a?b=4?8?(- )=-16. 2 (1)①∵|a+b|2=a2+2a?b+b2

=16+2?(-16)+64=48,
∴|a+b|=4 3 .

②|4a-2b|2=16a2-16a?b+4b2

=16?16-16?(-16)+4?64=3?162,
∴|4a-2b|=16 3 .

(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)?(ka-b)=0,
∴ka2+(2k-1)a?b-2b2=0.

16k-16(2k-1)-2?64=0,∴k=-7.

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1.数量积a?b中间的符号“?”不能省略,也不能用 “?”来替代. 2.要熟练类似( ? a+μ b)?(sa+tb)= ? sa2+( ? t+μ s)

a?b+μ tb2的运算律(? 、μ 、s、t∈R).
3.求向量模的常用方法:利用公式 |a|2=a2, 将模的运 算转化为向量的数量积的运算.

4.一般地,(a?b)c≠(b?c)a即乘法的结合律不成
立 . 因 a?b 是一个数量,所以 (a?b)c 表示一个与 c 共线的向量,同理右边(b?c)a表示一个与a共线 的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a?b)c ≠(b?c)a.

失误与防范
1. 零 向 量 :(1)0 与 实 数 0 的 区 别 , 不 可 写 错 :
0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a?0=0≠0;(2)0 的方向是任 意的,并非没有方向, 0 与任何向量平行,我们只 定义了非零向量的垂直关系. 2.a?b=0不能推出a=0或b=0,因为a?b=0 a⊥b.

3.a?b=a?c(a≠0)不能推出b=c.即消去律不成立.
4. 向量夹角的概念要领会 ,比如正三角形 ABC 中, 〈 AB, BC 〉应为120°,而不是60°.

定时检测
一、选择题 1.(2009?宁夏文,7)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向

量 ? a+b与a-2b垂直,则实数 ? 的值为( A )

1 A. ? 7
解析

∵a=(-3,2),b=(-1,0),

B. 1 7

C. ? 1 6

1 D. 6

∴ ? a+b=(-3 ? -1,2 ? ), a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2).

1 由( ? a+b)⊥(a-2b),知4 ? +3 ? +1=0.∴? =7

2.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则 |3a-b|等于 ( A )

A.7
解析

B.6

C.5

D.4

| 3a ? b |? (3a ? b) 2

? 9 | a |2 ? | b |2 ?6 a ? b 1 ? 9 ? 25 ? 6 ? 5 ? (? ) ? 49 ? 7. 2

3.设向量a与b的夹角为θ ,定义a与b的“向量积”:
a?b 是 一 个 向 量 , 它 的 模 |a?b|=|a|?|b|?sin θ ,若a=(- 3 , -1),b=(1, 3 ),则|a?b|等于 ( B ) A. 3 解析 C.2 3 ∵|a|=|b|=2,a?b=-2 3, ?2 3 3 ∴cos θ = ?? . 2? 2 2 1 又θ ∈[0,π ],∴sin θ = B.2 D.4

1 ∴|a?b|=2?2? =2. 2

2

4.已知非零向量a,b,若|a|=|b|=1,且a⊥b,又知 (2a+3b)⊥(ka-4b),则实数k的值为 ( D ) A.-6 B.-3 C.3 D.6

解析
∴k=6.

由(2a+3b)?(ka-4b)=0,得2k-12=0,

5. ( 2009?全国Ⅰ文, 8 )设非零向量 a 、 b 、 c 满足

|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=


B (

A.150°
解析

B.120°

C.60°

D.30°

∵a+b=c,∴|c|2=|a+b|2=a2+2a?b+b2.

又|a|=|b|=|c|,∴2a?b=-b2, 1 〉=-|b|2. 即2|a||b|cos〈a,b 2 ∴cos〈a,b〉=- ,∴〈a,b〉=120°.

6. 在△ ABC 中,已知 a 、 b 、 c 成等比数列,且 a+c=3 ,

3 cos B= ,则 AB ? BC 等于 4 3 A. B. ? 3 C.3 D.-3
2 2 2 2

( B )

2 2 3 解析 由已知b2=ac,a+c=3,cos B= ,
得 3 ? a ? c ? b ? (a ? c) ? 3ac ,得ac=2.

4

3 3 则 AB ? BC =ac?cos〈 AB, BC 〉=2? (? ) ? ? . 4 2

4

2ac

2ac

二、填空题 7. ( 2009?江苏, 2 )已知向量 a 和向量 b 的夹角为

30°, |a|=2 , |b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 3 . a?b= 3 解析 由题意知a?b=|a||b|cos 30°=2? 3 ? =3. 2

8. 设向量 a,b 满足 |a-b|=2 , |a|=2 ,且 a-b 与 a 的夹角 为

由已知得 1 ? ( a ? b) ? a , 2 | a ? b || a | 2 1 | a | ? a ? b ∴a?b=2. 即 ? . 2 4 解析 又|a-b|2=4=|a|2+|b|2-2a?b,

π ,则|b|= 3

2 .

∴|b|2=4,∴|b|=2.

a? b 9.已知向量a=(x,1),b=(2,3x),则 2 的取值 2 | a| ? | b|
范围是 解析 . 本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求

x 最值;原式= ,当x=0时,原式=0, 2 1? 2x x 1 ? ; 当x≠0时,原式= 2 1 1 ? 2x ? 2x x

x 1 ? ; 当x>0时,0< 2 1 1 ? 2x ? 2x x 1 2 ? ; ≤ 4 1 2 ? 2x x x 1 当x<0时,0> ? ; 2 1 1 ? 2x ? ( ? ? 2 x) x 1 2 ?? ; ≥ 4 1 ? 2 ? 2x x ? 2 2? 综上所述,取值范围为 ?? , ?.
答案
? 2 2? , ?? ? 4 4 ? ?

?

4

4 ?

三、解答题 10.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ ,cosθ ). (1)若| AC|=| BC|,求tanθ 的值; (2)若( OA ? 2OB )?OC =1,其中O为坐标原点,求

sin 2θ 的值.
解 (1)∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ ,cosθ ), ∴ AC =(2sinθ -1,cosθ ), BC =(2sinθ ,cosθ -1). ∵| AC|=| BC|,

)2 ∴ (2 sin ? ? 1) 2 ? cos 2 ? ? (2 sin ? ) 2 ? (cos ? ? 1

化简得2sinθ =cosθ . ∵cosθ ≠0(若cosθ =0,则sinθ =±1,上式不成立). ∴tan θ = (2)∵ OA =(1,0), ∴ OA ? 2OB =(1,2). ∵( OA ? 2OB)?OC=1,∴2sin θ +2cos θ =1.

1 . 2

OB =(0,1),

OC =(2sinθ ,cosθ ),

1 1 2 ∴sin θ +cos θ = .∴(sin θ +cos θ ) = . 4 2 ∴sin 2θ = ? 3 . 4

11. 设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60°,求向量 a=2m+n与b=2n-3m的夹角.

1 解 由|m|=1,|n|=1,夹角为60°,得m?n= . 2
则有|a|=|2m+n|=
(2 m ? n) 2 ? 4 m 2 ? 4 m ? n ? n 2 ? 7 .

|b|= (2 n ? 3m ) 2 ? 4 n 2 ? 12 m ? n ? 9 m 2 ? 7 .
而a?b=(2m+n)?(2n-3m)=m?n-6m2+2n2=设a与b的夹角为θ ,

7 , 2

7 ? 1 a? b 2 则cos θ = 180? ] , ? ? ? . 又? ?[0, | a|?| b| 7 2
故a,b夹角为120°.

12.在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、 b、c,且2sin2 A ? B +cos 2C=1. 2 (1)求角C的大小;

b ( 2 )若向量 m=(3a,-b), 向量 n= ( a,- ), m⊥n , 3 (m+n)?(-m+n)=-16.求a、b、c的值.
解 (1)∵2sin2 A ? B +cos 2C=1, 2 ∴cos 2C=1-2sin2 A ? B =cos(A+B)=-cos C. 2 ∴2cos2C+cos C-1=0.∴cos C= 1 或-1. 2 ∵C∈(0,π ),∴C= π . 3

2 b (2)∵m⊥n,∴3a2=0,即b2=9a2. 3



又(m+n)?(-m+n)=-16,
2 b 8 ∴-8a2b2=-16,即a2+ =2. 9 9



由①②可得a2=1,b2=9,∴a=1,b=3. 又c2=a2+b2-2abcos C=7,∴c= 7 .

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