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2.2等差数列使用版


2.2

等差数列

观察下列数列有什么共同特点?

()  1 3,5, 7,9,11? (2)20,15,10,5, ? (3)4, 4, 4, 4, 4,?

1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

an?1 ? an ? d (d是常数)
说明:此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列 的主要依据.

练习:判断下列数列中哪些是等差数列,如果 是,写出首项a1和公差d,

(1) 1, 1, 1, 1, 1. (2) 4, 7,10,13,16. (3) ? 3, ?2, ?1,1, 2,3. (4) ? 1, 2,3, 4,5, 6. (5) 5,9,13,?, 4n ? 1,?.
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2、等差数列的通项公式

思考:已知等差数列{an }的首项为a1,公差为d,求an . 根据等差数列的定义得到 方法一:不 完全归纳法 a ? a ? d, a4 ? a3 ? d, a3 ? a2 ? d, 2 1

所以a2 ? a1 ? d

?

a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d

由此得到an ? a1 ? (n ?1)d

?

(n ? 2)

当n ? 1时,上面等式两边均为a1,即等式也成立

?等差数列的通项公式为an ? a1 ? (n ?1)d

2、等差数列的通项公式

思考:已知等差数列{an }的首项为a1,公差为d,求an .

a2 ? a1 ? d, a3 ? a2 ? d, a4 ? a3 ? d,

? a ?a
n

n ?1

?d

}

n ? 1个

方法二 累加法

将所有等式相加得

an ? a1 ? (n ?1)d

例1 ⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.

⑵- 401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是, 是第几项? 解: ⑴由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49. ⑵由a1=-5,d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式 为an=-5-4(n-1). 由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程,得 n=100,即-401是这个数列的第100项.

例2 在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首 项a1与公差d .
解:由题意得: a1+ 4d = 10 a1+11d=31 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组,解之得:

a1 = - 2
d=3 ∴这个数列的首项a1是-2,公差d =3. 小结:已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主要是联立 二元一次方程组。

练一练
1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7, 求公差d 2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= .

3.已知a1 ? 3, an ? 21, d ? 2, 求n
1 4.已知d =- , a7 ? 8, 求a1 3

3.等差中项 如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 .

b ? A ? A ? a ? 2A ? a ? b

思考:(1)在等差数列{an}中,是否有

an ?1 ? an ?1 an ? (n ? 2)? 2
(2)在数列{an}中,如果对于任意的正整数n (n≥2),都有

an ?1 ? an ?1 an ? 2
那么数列{an}一定是等差数列吗?

练习
已知等差数列前三项分别为a ? 6, ?3a ? 5, ?10a ? 1, 则a=_________

思考: 已知数列的通项公式是an ? pn ? q (其中p,q是常数),那么这个数列是否一 定是等差数列?
证明:取数列{an }中的任意相邻两项an ?1与a ( n n ? 2), an ? an ?1 ? ( pn ? q ) ? [ p (n ? 1) ? q ] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q ) ? p. 这是一个与n无关的常数,所以{an }是等差数列.

反之:等差数列的通项公式可以表示 为an ? pn ? q吗?
an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? (a1 ? d ), 设p ? d,q ? a1 ? d , 则an ? pn ? q.
结论:等差数列的通项公式是关于n的一次形式, 反之亦成立。

其图象为落在一条直线上的点。

例如:
首项是1,公差是2的无穷等 差数列的通项公式为

an =2n-1
相应的图象是直线y=2x-1 上均匀排开的无穷多个孤 立的点,如右图

例1
1.已知数列?an ? 是等差数列,a1 ? 2, a3 ? 6, 则数列?2an ? 3?     A.是公差为2的等差数列   B.是公差为3的等差数列     C.是公差为4的等差数列      D.不是等差数列    

例2
1 1 数列?an ? 满足a1 ?  ,a n ?1 =   2 2 ? an ? 1 ? (1)证明:数列 ? ?  是等差数列。 ? an ? 1 ? (2)求数列?an ?的通项公式

练一练
1 1 数列?an ? 满足a1 ?  ,a n ?1 =4-   2 an ? 1 ? 证明:数列 ? ?  是等差数列。 ? an ? 2 ?

变式
数列?an ? 满足a1 ? 1,a2 =2 ,2a n ?1 =2a n ? 3(n ? 2) 试判断数列?an ? 是否是等差数列

1.等差数列的定义

你都掌握 了吗?

2.通项公式及其应用
3.等差数列的判定与证明

2.2 等差数列

第二课时

性质1

思考:在等差数列{an }中,项an与am有何关系?
解:由等差数列的通项公式得

an ? a1 ? (n ?1)d ??①
am ? a1 ? (m ?1)d ??②
① - ②得an ? am ? (n ? m)d .

? an ? am ? (n ? m)d .
an ? am 进一步可以得到 d ? . n?m

例:已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,求a12,a3n.
解法一: 依题意得: a1+2d=9 a1+8d=3 解之得 1)=12-n
解法二:

a1 =11 d =-1∴这个数列的通项公式是:an=11- (n故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.

练一练
已知等差数列{an}中, a5

? 2, a10 ? 12, 求a15

性质2 :设m,?n,? p,?q?? N * 若m ? n ? p ? q, 则

am ? an ? a p ? aq ?.

证明:am ? an ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ? (n ? m )d ? 2d , a p ? aq ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q)d ? 2d , ? a m ? a n ? a p ? aq .

判断:

(1)a3 ? a 5 ? a1 ? a 7 (2)a1 ? a 4 ? a 6 ? a 3 ? a 8 (3)a1 ? a 5 ? a 6 ? a 2 ? a 3 ? a 7 (4)a3 ? a 4 ? a 5 ? 3a4 (5)a3 ? a 4 ? a 5 ? 4a3

可推广到三项, 四项等 注意:等式两 边作和的项数 必须一样多

练习2:已知{an }为等差数列, a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2,求a3 + a13 练习3:已知{an }为等差数列, a1 ? a8 ? a13 ? a18 ? 100,求a10

练习4
已知等差数列{an}中,a3 和a15是方程x2-6x-1=0的 两个根,则a7 +a8 +a9+a10+a11=

变式1:已知{a n }为等差数列, a 4 ? a 5 ? a6 ? a7 ? 56, a 4 a7 ? 187, 求a1,d



已知三个数成等差数列,它们的和是12,积是48,求

这三个数.

解:设三个数为a-d,a,a+d,则 ?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 12 ? ? (a ? d )a(a ? d ) ? 48 ?a?4 ? ?d ? ?2 故所求三数依次为2,4,6或6,4,2



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