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【北京特级教师】2014-2015学年人教A版数学必修三课后练习:几何概型]


几何概型课后练习
主讲教师:熊丹 北京五中数学教师 题一:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金 色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 122 cm,靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少? 题二:如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q, 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3

题三:在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥 P-SBC 的体积大于 率是 .

V 的概 3

题四:一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,在包围该三棱锥的外接球内任取 一点,该点落在三棱锥内部的概率为 .

题五:已知 P 是△ABC 所在平面内一点, 现将一粒黄豆随机撒在△PBC PB + PC +2 PA =0, 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) 1 1 2 1 A. B. C. D. 4 3 3 2 1 题六:在区间(0, 1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为( 3 17 7 2 1 A. B. C. D. 18 9 9 18 )

9 题七:若 m∈(0, 3), 则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0 与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面积小于 的 8 概率为________. 题八:平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上, 求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是( ) a-r a-r 2a-r a+r A. B. C. D. a 2a 2a 2a 题九:在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个小 于 1 的概率是________. y≤x ? ? 题十:若不等式组?y≥-x 表示的平面区域为 M,x2+y2≤1 所表示的平面区域为 N,现 ? ?2x-y-3≤0 随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为________. 题十一:在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则这个正方形 的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( ). 1 1 4 4 A. B. C. D. 4 3 27 15 S 题十二:在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 的概率是( 4 1 1 3 2 A. B. C. D. 4 2 4 3
[学优]

).

题十三:设有一个正方形网格,每个小正方形的边长为 4,用直径等于 1 的硬币投掷到此网格 上,硬币下落后与网格线没有公共点的概率为 . 题十四:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币的直径的 2 倍,向方框中投掷硬币, 硬币完全落在正方形外的不计,则硬币完全落在正方形内的概率为 . 题十五:设点 A 为半径是 1 的圆 O 上一定点,在圆周上等可能地任取一点 B.求弦 AB 的长超 过圆半径的概率. 题十六:已知 AB 是圆 O 的一条直径,CD 是一条动弦且与 AB 垂直,假设 CD 与直径 AB 的交 点在 AB 上是等可能的,则弦 CD 长大于半径的概率是 . 题十七:下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布,共有队员 40 人,成绩分为 1~5 五个 档次,例如表中所示跳高成绩为 4 分,跳远成绩为 2 分的队员为 5 人.将全部队员的姓名卡 混合在一起,任取一张,该卡片队员的跳高成绩为 x 分,跳远成绩为 y 分. y x 5 跳 远

5 4 3 2 1 1 3 1 0 1

跳 4 高 3 2 1

1 0 2 5 1 2 1 0 4 3 1 m 6 0 n 0 0 1 1 3

(1)求 m+n 的值; (2)求 x=4 的概率及 x ≥ 3 且 y = 5 的概率. 题十八:下表为某学年随机抽出的 100 名学生的数学及语文成绩,成绩分为 1~5 个档次,设 x、y 分别表示数学成绩和语文成绩,例如表中数学成绩为 5 分的共有 2+6+2+0+2=12,语文成 绩 2 分的共有 0+10+18+0+2=30 人. (1)求 x≥3 的概率及在 x≥3 的基础上,y=3 的概率; (2)求 x=2 的概率及 m+n 的值.

几何概型 课后练习参考答案
题一: 0.01. 详解:如图,记“射中黄心”为事件 B,由于射中靶面随机地落在面积为

1 4

×π×1222cm2 的大圆内,而当中靶点

1 落在面积为 4

1 ? ? ?12.2 2 4 2 2 ×π×12.2 cm 的黄心内时,事件 B 发生,于是事件 B 发生的概率 P(B)= 1 ? ? ?1222 4

=0.01.

题二: C. 详解:点 E 为边 CD 的中点,故所求的概率 P= 题三: △ABE的面积 1 = . 矩形ABCD的面积 2

2 3



详解:如图,由于三棱锥 P-SBC 和三棱锥 S-PBC 的体积相等,三棱锥 S-PBC 与三棱锥 S-ABC 等高, 故在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P,三棱锥 P-SBC 的体积大于 边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于等于 记事件 A={△PBC 的面积大于 因为 S ?PBC

V 3

,即在面积为 S 的△ABC 的

S 3

即可.

S 3

},基本事件空间是线段 AB 的长度, (如图) ,

?

化简记得到:

S 1 1 1 ,则有 BC ? PE ? ? BC ? AD ; 3 2 3 2 PE 1 PE 1 ? ,因为 PE 平行 AD 则由三角形的相似性 ? ; AD 3 AD 3
的概率

所以,事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度, 因为

AP ?

S 2 AB ,所以△PBC 的面积大于 3 3

AP 2 ? . AB 3

题四:

4 27?



详解:由题意可知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生的所有的事件对应着球的体积,满足条件的事 件是对应三棱锥的体积, 由三视图得到三棱锥的侧棱长度,球的直径

16 ? 16 ? 4 ? 6 ,

4? ? 33 ? 36? 3 1 1 16 是 ? 4? ? 4? 2 ? , 3 2 3
∴球的体积是

,满足条件的事件是对应三棱锥的体积,三棱锥的三条侧棱互相垂直,体积

16 4 ∴在三棱锥的外接球内任取一点,该点落在三棱锥内部的概率为 3 ? 36? 27?
题五: D. 详解:由题意可知,点 P 位于 BC 边的中线的中点处. S△PBC 1 记黄豆落在△PBC 内为事件 D,则 P(D)= = . S△ABC 2 题六: A.



?0<x<1 1 详解:设这两个实数分别为 x,y,则? ,满足 x+y> 的部分如图中阴影部分所示. 3 ?0<y<1 1 1 1 1 17 所以这两个实数的和大于 的概率为 1- × × = . 3 2 3 3 18

题七:

2 . 3

3 3 ,0),(0, ), m+2 3-m 3 3 1 3 3 9 又当 m∈(0,3)时, >0, >0,∴ · · < , 2 m+2 3-m 8 m+2 3-m 2-0 2 解得 0<m<2,∴P= = . 3-0 3 详解:直线与两个坐标轴的交点分别为( 题八: A. 详解:∵硬币的半径为 r,∴当硬币的中心到直线的距离 d>r 时,硬币与直线不相碰. 2(a-r) a-r ∴P= = . 2a a 3 π. 6 详解:以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形,当 P 落在其内时,符合要求.∴P= 1 π 2 3× ( ×× 1) 2 3 3π = . 6 3 2 × 2 4 题九: 题十: π . 12

1 详解:如图,△AOB 为区域 M,扇形 COD 为区域 M 内的区域 N,A(3,3),B(1,-1),S△AOB= × 2× 3 2=3, 2 S扇形COD π π S 扇形 COD= ,所以豆子落在区域 N 内的概率为 P= = . 4 S△AOB 12

题十一: A. 详解:面积为 36 cm2 时,边长 AM=6 cm;面积为 81 cm2 时,边长 AM=9 cm. 9-6 3 1 ∴P= 12 =12=4.

题十二: C. 详解:如图,在 AB 边上取点 P′,使 AP′ 3 则所求概率为 = . AB 4 AP′ 3 = ,则 P 只能在 AP′上(不包括 P′点)运动, AB 4

题十三:

9 . 16

1 详解:因为硬币的直径是 1,所以半径是2,要使硬币下落后与网格线没有公共点,只需硬币下落在正中心的

边长为 3 的正方形的内部∴所求概率为

32 9 ? . 4 2 16

题十四:

4 32 ? ?



详解:设硬币的直径为 2cm,正方形线框的边长为 4.考虑圆心的运动情况. 因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点,所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩 张 1 个小圆半径的区域,且四角为四分之圆弧;此时总面积为:4×4+4×4×1+π×1 =32+π;完全落在最大的正方 形内时,圆心的位置在 2 为边长的正方形内,其面积为:2×2=4;∴硬币落下后完全在最大的正方形内的概率 为:
2

4 32 ? ?



题十五:

2 3



详解:在圆上其他位置任取一点 B,圆半径为 1,则 B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长 2π,其中满足 条件 AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为

2 ? 2? ?1 ,则 3

AB 弦的长度大于等于半径长度的概率

2 ? 2? ?1 2 3 P? ? . 2? 3

题十六:

3 . 2

详解:设弦 CD 长大于半径的概率是 P,如图所示:E,F 两点为 CD 长恰为半径时的位置,根据几何概型长度

EF ? 类型,可得: P ? AB

2?

3 R 3 2 ? 2R 2



题十七: (1)m+n 的值为 3; (2)x = 4 的概率为

9 40

,x ≥ 3 且 y = 5 的概率为

1 . 10

详解: (1)表中反映了队员的跳高、跳远的综合成绩,其中各单元格的数字之和等于 40 即:1+3+1+0+1+1+0+2+5+1+2+1+0+4+3+1+m+6+0+n+0+0+1+1+3=40. 整理,得 m+n+37=40,因此 m+n=3.

9 . 40 1 又∵x≥3 且 y=5 的人数为 1+1+2=4,∴x≥3 且 y=5 的概率为 P2 ? . 10 9 1 答: (1)m+n 的值为 3; (2)x=4 的概率为 ,x≥3 且 y=5 的概率为 . 40 10
(2)∵x=4 的人数为 1+0+2+5+1=9,∴x=4 的概率为: P 1

?

题十八: (1)

8 1 7 , ; (2) , 6 . 5 10 35

详解: (1)当 x=3 时,共有 4+2+0+18+6=30 人;当 x=4 时,共有 2+0+14+10+2=28 人; 当 x=5 时,共有 12 人,故当 x≥3 时:概率 P

?

30 ? 28 ? 12 70 7 ? ? ,在 x≥3 的基础上,y=3 时有 100 100 10

2+14+0=16 人,故此时概率为 P

?

16 8 ? . 70 35

(2)当 x=1 时,共有 0+0+2+2+6=10 人,故当 x=2 时,共有 100-(10+70)=20 人, 此时概率为 P

?

20 1 ? ,∴2+m+12+0+n=20,∴m+n=6. 100 5



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