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100测评网新课标高二数学文同步测试(5)(1-1第三章(2))


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普通高中课程标准实验教科书——数学选修 2—1(文科)[人教版]

2005- 2006 学 年 度 下 学 期

高中学生学科素质训练
新课标高二数学文同步测试(5) (1-1 第三章(2) )
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题时 间 120 分钟。 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号 填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) 。 1.物体运动方程为 s= 1 t4-3,则 t=5 时的瞬时速率为 4 A.5 m/s B.25 m/s
n

( D.625 m/s (



C.125 m/s

2.曲线 y=xn(n∈N)在点 P( 2 , 2 2 ) 处切线斜率为 20,那么 n 为 A.7 B.6 C.5 D.4



3.细杆 AB 长为 20 cm,AM 段的质量与 A 到 M 的距离平方成正比,当 AM=2 cm 时,AM 段 质量为 8 g,那么,当 AM=x 时,M 处的细杆线密度ρ (x)为 A.2x
2

( D.5x ( D.b -3ac<0 ( D.0<b<
2



B.4x

C.3x

4.若 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则 A.b -4ac>0
3

) )

B.b>0,c>0

C.b=0,c>0

5.函数 f(x)=x -6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 A.0<b<1 B.b<1 C.b>0

6. 设f ??3? ? 4, 则 lim f ?3 ? h ? ? f ?3? 为 h ?0 2h A.-1 B.-2 C.-3 D.1

1 2
( )

7.两曲线 y ? x 2 ? ax ? b与2y ? ?1 ? xy3 相切于点(1,-1)处,则 a,b 值分别为 ( A.0,2 B.1,-3 C.-1,1 8.曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离 A. 5 B.2 5 C.3 5 D.-1,-1 ( D.0 (





9.设函数 y=f(x)在 x ? x 1 处有 f ??x 1 ? ? 0, 在 x ? x 2 时 f ??x 2 ? 不存在,则 A. x ? x1及x ? x2一定都是极值点 C. x ? x1及x ? x2都可能不是极值点



B. 只有x ? x1是极值点 D. x ? x1及x ? x2至少有一个点是极值点

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10.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 ( A. ? 1 ? a ? 2 B. ? 3 ? a ? 6 C. a ? ?3或a ? 6 D. a ? ?1或a ? 2 )

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) 。 4 11.曲线 y=x 的斜率等于 4 的切线的方程是___________. 12.垂直于直线 2x-6y+1=0 且与曲线 y=x3+3x2-5 相切的直线方程是____________。 13. 设f ?x? ? x?x ? 1??x ? 2???x ? 1000?, 则f ??0? ? __________ __. 14.质点 P 在半径为 r 的圆周上逆时针做匀角速率运动,角速率为 1 rad/s,设 A 为起点,那 么 t 时刻点 P 在 x 轴上射影点 M 的速率为___________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)。 15. (12 分) (1)在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,求斜率最小的切线方程; (2)一质点做直线运动,它所经过的路程和时间的关系是 s=3t2+t,求 t=2 时的瞬时速度。

16. (12 分)已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,试在

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抛物线的弧 上求一点 P,使△PAB 面积最大.

17. (12 分)已知曲线 C1:y=ax 上点 P 处的切线为?1,曲线 C2:y=bx 上点 A(1,b)处的切 线为?2,且?1⊥?2,垂足 M(2,2) ,求 a、b 的值及点 P 的坐标。

2

3

18. (12 分)路灯距地平面为 8 m,一个身高为 1.6 m 的人以 84 m/min 的速率在地面上行走, 从路灯在地平面上射影点 C,沿某直线离开路灯,求人影长度的变化速率 v.

19. (14 分)已知曲线 S:y=x3+px2+qx 的图象与 x 轴相切于不同于原点的一点,又函数有极

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小值-4,求 p、q 的值。

20. (14 分)设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ?

x ? ln(x ? a) ( x ? (0,??)) 的单调区间。

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参考答案(5) (1-1 第三章(2) )
一、 1.C; 二、 11.4x-y-3=0; 12.3x+y+6=0
x ?0

2.C;

3.B;

4.D;

5.D;

6.B;

7.D;

8.A;

9.C;

10.C;

13.1000! ;提示: f ??0? ? lim f ?x ? ? f ?0? ? lim?x ? 1??x ? 2????x ? 1000? ? 1000!.

x ?0

x ?0

14.-rsint; 三、 15.解: (1) k ? y' | x ? x ? 3x0 2 ? 6 x0 ? 6 ? 3 ( x0 ? 1) 2 ? 3 0 当 x0=-1 时,k 有最小值 3,此时 P 的坐标为(-1,-14) 故所求切线的方程为 3x-y-11=0 (2) s ' =6t+1,当 t=2 时, s ' =13, ∴ 当 t=2 时,质点的瞬时速度为 13 点拨:1、导数的几何意义: f ' (x 0 ) 就是曲线 y=f(x)在点 M(x0,y0)处的切线斜率,即 f ' (x 0 ) =k 切线。 16.解:|AB|为定值,△PAB 面积最大,只要 P 到 AB 的距离最大,只要点 P 是抛物线的平行于 AB 的切线的 切点,设 P(x,y) .由图可知,点 P 在 x 轴下方的图象上 1 1 1 1 ∴y=-2 x ,∴y′=- x ∵kAB=- ∴- x ? ? 2 2 ∴x=4,代入 y2=4x(y<0)得 y=-4.∴P(4,-4) 17.设 P(t,at ) ,则?1 斜率 k1=2at
2

∴ ?1:y-at =2at(x-t) ?2 斜率 k2=3bx |x=1=3b ∴ ?2:y-b=3b(x-1) ∵ ?1 与?2 交于点 M(2,2)
2

2

?2 ? at 2 ? 2at (2 ? t ) ∴ ? ?2 ? b ? 3b(2 ? 1)
?at 2 ? 4at ? 2 ? 0 ? ∴ ? ① 1 ?b ? 2 ?
又?1⊥?2

∴ k1· k2=-1 ∴ at ? ?

1 3



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由①②得 t=10,a=- 1 30

∴ P(10,-

10 ) 3

18.解:如图,路灯距地平面的距离为 DC,人的身高为 EB. 设人从 C 点运动到 B 处路程为 x 米,时间为 t(单位:秒) ,AB 为人影长度,设为 y,则

y 1.6 AB BE ? ? 8 , ∵BE∥CD,∴ AC CD ∴ y ? x

1 7 又 84 m/min=1.4 m/s∴y= 4 x= 20 t(x=1.4t)
7 7 20 20 ∵y′= ∴人影长度的变化速率为 m/s

19.y’=3x2+2px+q
2

……2 分

令 y’=0,设 3x +2px+q=0 两根为 x1,x2,x1<x2,列表: x y’ y (-∞,x1) + x1 0 极大值 (x1,x2) x2 0 极小值 (x2,+∞) +

∴ S 与 x 轴相切于点(x1,0) ,点(x2,-4)在 S 上 x13+px12+qx1=0 ∴ x2 +px2 +qx2=-4 3x12+2px1+q=0 3x2 +2px2+q=0 ③×x1-①得:x1= ?
2 3 2

① ② ③ ④

p 2

④×x2-②得:2x23+px22=4 又 x1+x2=∴ x2= ?

2 p 3 1 p,p=6 6

∴ x1=-3,x2=-1 ∴ p=6,q=9 20.解: f ?( x) ? 当a

1 2 x

?

1 (x x?a

? 0)

? 0 , x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,

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(i) 当a

? 1 时,对所有 x ? 0 ,恒有 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0,??) ? 1 时,对 x ? 1 ,恒有 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0,1) 单调递

单调递增; (ii)当 a

增,在 (1,??) 单调递增,

f ( x) 在 x ? 1 处连续,因此 f ( x) 在 (0,??) 单调递增; (iii)当 0 ? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,即 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,
又知函数 解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a 或 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a ,因此,函数

f ( x) 在 (0,2 ? a ? 2

1 ? a ) 单调递增,在

(2 ? a ? 2 1 ? a ,??) 单调递增,令 f ?( x) ? 0 ,即 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,
解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a , 因此,函数

f ( x) 在 (2 ? a ? 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 上单调递减。

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