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河北省石家庄市2014年高中毕业班第一次模拟考试数学(文)试卷(word版)


2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 (a ? 1)(a ? 1 ? i) 是纯虚数,则 a 的值为 A. -1 或 1
2

B. 1

C. -1

D. 3

2. 设不等式 x ? x ? 0 的解集为 M, 函数 f ( x) ? lg(1 ? x ) 的定义域为 N,则 M∩N= A. (-1, 0] [0.1] 3.函数 f ( x) ? tan(2 x ? B. [0, 1) C.(0,1) D.

) 的单调递增区间是 3 k? ? k? 5? ? , ? ](k ? Z ) A. [ 2 12 2 12 k? ? k? 5? ( ? , ? )(k ? Z ) 2 12 2 12 ? 2? )(k ? Z ) C. (k? ? , k? ? 6 3 ? 5? [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 12 12
1

?

B.

D.

4. 已知 a ? 32 , b ? log 1
3

1 1 , c ? log 2 ,则 2 3
B. b ? c ? a C. c ? b ? a D.

A. a ? b ? c

b?a?c
5. 登山族为了了解某山高 y (km)与气温 x (°C)之间的关系,随机统计了 4 次山高与相应 的气温, 对照表: 气温( C) 山高 (km)
0

18 24

13 34

10 38

-1 64

并制作了

A. -10

B. -8

C. -6

D. -4

6.已知等差数列 {an } ,且 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 48 , 则数列 {an } 的前 13 项之和为 A. 24 B. 39 C. 52 D. 104

1 / 11

7. 执行右面的程序框图,若输出的结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.三棱锥 S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为 A. 2 11 B. 4 2
S

C.

38

D. 16 3

4

A B

C

2 正视图

2

2 3 侧视图

9. 在?ABC 中, B、 C 所对的边长分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? 3a cos C , 角 A、 则 sinA+sinB 的最大值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 3

x2 y 2 10. 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P a b
在第一象限内且在 l1 上,若 l2 ⊥PF1, l2 ∥PF2,则该双曲线的离心率为

A.

5

B. 2

C.

3
f (5) ?

D.

2

11. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f (1) ? 1,

2a ? 3 , 则实数 a ?1
D.

a 的取值范围为
A. ?1 ? a ? 4 B. ?2 ? a ? 1 C. ?1 ? a ? 0

?1 ? a ? 2
12.设直线 l 与曲线 f ( x) ? x3 ? 2 x ? 1有三个不同的交点 A、 B、 C, 且|AB|=|BC|= 10 ,则直 线 l 的方程为 A. y ? 5x ? 1 B. y ? 4 x ? 1 C y ? 3x ? 1 D.

y ? 3x ? 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 抛物线 y ? ?4 x 2 的焦点坐标为

2 / 11

? ?x≥0 14. 若 x, y 满足约束条件?x+2y≥3, 则 z ? x ? y 的最大值是 ? ?2x+y≤3
15. 在三棱锥 P-ABC 中,侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥的外接球 的表面积为______ 16. 已知 O 为锐角?ABC 的外心,AB=6,AC=10, AO ? xAB ? yAC ,且 2 x ? 10 y ? 5 ,则 边 BC 的长为 _______ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 2, a3 ? a4 ? 32. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn } 的前 n 项为 Sn = n2 (n ? N ) ,求数列 {an × bn } 的前 n 项和.
*

??? ?

??? ?

??? ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ,且 AB=AC=A1B=2. (Ⅰ)证明:平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; (Ⅱ)若点 P 为 B1C1 的中点,求三棱锥 P ? ABC 与四棱锥 P ? AA 1B 1A 1 的体积之比.

3 / 11

19.(本小题满分 12 分) 某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进 8 个厂家, 现对两个区域的 16 个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示. (Ⅰ)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高; (Ⅱ)规定 85 分以上(含 85 分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家,求 得分差距不超 过 5 的概率. 东 西

9

9 8

7 8 9

2 1

9 3 4 5

9 8 8 4 3

4 4

20. (本小题满分 12 分) 椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. 2 2 a b

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设椭圆 C 的左,右顶点分别为 A,B ,点 P 是直线 x ? 1 上的动点,直线 PA 与椭圆 的另一交点为 M,直线 PB 与椭圆的另一交点为 N,求证:直线 MN 经过一定点.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? ( x ? 1)(ax ? a ? 1)(a ? R) . (I)若 a =0,判断函数 f ( x ) 的单调性; (II)若 x ? 1 时, f ( x ) <0 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A,B 两点,过 A 点作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 E,连接 EB 并延长 交⊙O1 于点 C,直线 CA 交⊙O2 于点 D. 2 (Ⅰ) 当点 D 与点 A 不重合时(如图①),证明 ED =EB·EC; (II) 当点 D 与点 A 重合时(如图②),若 BC=2,BE=6,求⊙O2 的直径长.

4 / 11

A

D
A

C

O1 B
图①

O2 E
C

O1 E
图②

O2
O2

23. (本小题_分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: ?

? ? x ? 2 cos ? , (?为参数) ,以原点为极点, ? ? y ? 2 sin ? ,

x 轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线 C2 的极 坐标方程为: ? ? cos ? . (I)求曲线 C2 的直角坐标方程; (II)若 P,Q 分别是曲线 C1 和 C2 上的任意一点,求|PQ|的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a (a ? 0) . (I)当 a =1 时,求 f ( x) ? x 的解集; (II )若不存在实数 x ,使 f ( x ) <3 成立,求 a 的取值范围.

5 / 11

2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 数学(文科)答案
一、选择题: A 卷答案:1-5 CBBAC B 卷答案:1-5 DBBAD 二、填空题: 6-10 CCBDB 11-12AD 6-10 DDBCB 11-12AC

(0, ?
13.

1 ) 16

14.

0

15.14 ? 16. 4 6 三、解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案,学生除标准答案的其他解 法,参照标准酌情设定,且只给整数分)

ì ? a12 q = 2, ? í 2 5 ? a1 q = 32, an } { q ? 17 解: (Ⅰ)设等比数列 的公比为 ,由已知得 ? ……………2 分
ì a1 = 1 , ? ? í a > 0 , q > 0 ,解得 ? ? ? q = 2, 又∵ 1


………………3 分

an = 2n- 1 ;…………………5 分 Sn = n2 得, S n- 1 = (n - 1) ,
bn = Sn - Sn- 1 = 2n - 1 ,………………7 分
2

(Ⅱ)由

∴当 n …2 时,

* b = 1 符合上式,∴ bn = 2n - 1 , 当 n = 1 时, 1 ( n ? N )……………8 分,



an ?bn

(2n - 1)?2n- 1 ,
5?22 L + (2n - 1)?2n- 1
, ,………………10 分

Tn = 1+ 3?21

2Tn = 1?2 3?22
两式相减得 ∴

5?23 L + (2n - 3)?2n- 1 (2n - 1)?2n

- Tn = 1 + 2 (2 + 22 + L + 2n- 1 )- (2n - 1)?2n
.……………………12 分

- (2n - 3)?2n

3



Tn = (2n - 3)2n + 3

18.证明: (Ⅰ)由题意得: ∴

A1B ? 面 ABC ,
------2 分

A1B ? AC ,

AB ? A1B ? B 又 AB ? AC , AB1B , ∴ AC ? 面
6 / 11

------3 分

A AC , ∵ AC ? 面 1

∴平面

A1 AC ? 平面 AB1B ;

------5 分

(Ⅱ)在三棱锥 P ? ABC 中,因为 AB ? AC , 所以底面 ABC 是等腰直角三角形,

1 1 1 4 VP ? ABC ? S ?ABC ? h ? ? AC ? AB ? h ? h ? A1 B =2,所以 3 3 2 3. 又因为点 P 到底面的距离
------6 分

AB1B , 由(Ⅰ)可知 AC ? 面
因为点 P 在

B1C1 的中点,

1 B1 B 距 离 h2 等 于 点 C1 到 平 面 AA 1 B1 B 的 距 离 的 一 半 , 即 所 以 点 P 到 平 面 AA

h2 ? 1 .------8 分
1 1 1 4 VP ? AA1B1B ? S四边形 AA1B1B ? h2 ? AB ? A1 B ? h2 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 3 3 3 3, 1 B1 A 1 的体积之比为 1:1. 所以三棱锥 P ? ABC 与四棱锥 P ? AA
19. 解: (Ⅰ)东城区的平均分较高. (结论正确即给分)……………………5 分 (Ⅱ)从两个区域各选一个优秀厂家, 则所有的基本事件共 15 种,………………7 分 满足得分差距不超过 5 的事件 (88,85) (88,85) (89,85) (89,94) (89,94) (93,94) (93,94) (94,,94) (94,,94)共 9 种.……………10 分 所以满足条件的概率为 20.解: (Ⅰ)依题意 e ? 10 9 8 9 8 8 4 3 7 8 9 3 2 9 3 4 5 ------10 分 ------12 分 东 西

4 4

3 .………………12 分 5

c 3 ? a 2



过焦点F与长轴垂直的直线x=c与椭圆

x2 y2 ? ?1 a2 b2
M

y

P

联立解答弦长为

2b 2 =1,……………2 分 a x ? y2 ? 1 4 .………………4 分
2

N A B

x

所以椭圆的方程

(Ⅱ)设P(1,t)

k PA ?

t ?0 t t ? 直线 l PA : y ? ( x ? 2) 1? 2 3 , 3 ,联立得:

7 / 11

t ? y ? ( x ? 2), ? ? 3 ? 2 ? x ? y 2 ? 1. ? ?4


?4t

2

? 9 x 2 ? 16t 2 x ? 16t 2 ? 36 ? 0 ,


?

16t 2 ? 36 18 ? 8t 2 , x ? 可知 ?2 xM ? 所以 M 4t 2 ? 9 4t 2 ? 9
? 18 ? 8t 2 x ? , ? ? M 4t 2 ? 9 则? ……………………6 分 ? y ? 12t . M ? 4t 2 ? 9 ? ? 8t 2 ? 2 x ? , ? ? N 4t 2 ? 1 同理得到 ? ? y ? 4t . N ? 4t 2 ? 1 ………………8 分 ?
由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴, 不妨设这个定点为Q 又

?m,0?,………………10-分
4t 4t 2 ? 1 ? 2 8t ? 2 ?m 4t 2 ? 1


k MQ

12t 2 9 ? 4t ? 2 18 ? 8t ?m 4t 2 ? 9
,?



k NQ



kMQ ? kNQ

8m ? 32? t 2 ? 6m ? 24 ? 0

m ? 4 .……………12 分

' 21.解: (Ⅰ)若 a ? 0 , f ( x) ? x ln x ? x ? 1 , f ( x) ? ln x

x ? (0,1), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为减函数, x ? (1, ??), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为增函数.………………4
分 (Ⅱ) x ln x ? ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? 0, 在

?1, ??? 恒成立.

10 若 a ? 0 , f ( x) ? x ln x ? x ? 1 ,

f ' ( x) ? ln x , x ? (1, ??), f ' ( x) ? 0,? f ( x) 为增函数.
? f ( x) ? f (1) ? 0 ,
8 / 11

即 f ( x) ? 0 不成立;

? a ? 0 不成立.……………………6 分

2 ? x ? 1,
0

ln x ?

( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? 0, ?1, ??? 恒成立, x 在 ( x ? 1)(ax ? a ? 1) , x ? 1, ?? ? ? x ,

h( x) ? ln x ?
不妨设

h ' ( x) ? ?

? x ? 1? (ax ? a ? 1) ax 2 ? x ? a ? 1 ?? 2 x ? ?1, ?? ? x x2 , ………………8 分
1? a a ,

h' ( x) ? 0, x1 ? 1, x2 ?

若 a ? 0 ,则

x2 ?

1? a ?1 a ,

' x ? 1 , h ( x) ? 0 , h( x) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 0 (不合题意) ;

0?a?


1 2,

x ? (1,

1? a ) ' a , h ( x) ? 0 , h( x) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 0 (不合题意) ; 1 ' 2 , x ? (1, ??) , h ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, h( x) ? h(1) ? 0 (符合题意).

a?


……………11 分 综上所述若 x ? 1 时, f ( x) ? 0 恒成立,则

a?

1 2 .………………12 分

22.解:(Ⅰ)连接 AB,在 EA 的延长线上取点 F,如图①所示. ∵AE 是⊙O1 的切线,切点为 A, ∴∠FAC=∠ABC,.……………1 分 ∵∠FAC=∠DAE, ∴∠ABC=∠DAE,∵∠ABC 是⊙O2 内接四边形 ABED 的外角, ∴∠ABC=∠ADE,……………2 分 ∴∠DAE=∠ADE.………………3 分
9 / 11

∴EA=ED,∵ EA ? EB ? EC ,
2

∴ ED

2

? EB ? EC .………………5 分

(Ⅱ)当点 D 与点 A 重合时,直线 CA 与⊙O2 只有一个公共点, 所以直线 CA 与⊙O2 相切.……………6 分 如图②所示,由弦切角定理知:

M P O1 C B
图(2)

A O2 E

?PAC ? ?ABC ?MAE ? ?ABE 又?PAC ? ?MAE 1 因?ABC ? ?ABE ? ? 180? 2
∴AC 与 AE 分别为⊙O1 和⊙O2 的直径.…………8 分 ∴由切割线定理知:EA2=BE· CE,而 CB=2,BE=6,CE=8 ∴EA =6×8=48,AE= 4 3 .故⊙O2 的直径为 4 3 .………………10 分 23.解: (Ⅰ)? ? ? cos? ,
2

? 2 ? ? cos ? …………………2 分
x2 ? y2 ? x 1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
2

.…………………4 分

(Ⅱ)设 P( 2 cos? , 2 sin ? ), C 2 ( ,0)

1 2

1? ? PC2 ? ? 2 cos ? ? ? ? 2? ?

2

?

2 sin ?

?

2

1 ? 4 cos 2 ? ? 2 cos ? ? ? 2sin 2 ? 4 ? 2 cos 2 ? ? 2 cos ? ?
…………………6 分

9 4

? cos ? ?

1 , , PC2 2

min

?

7 ,…………………8 分 2

PQ min ?

7 ?1 .……………………10 分 2
10 / 11

24.解:(Ⅰ)当 a=1 时,

f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 ? x

当x ? 2时 ,解得 x ? 3 ;
当 1 ? x ? 2 时,解得 x ? 1 ,? 无解

当x ? 1时 ,解得 x ? 1 ;……………………………3 分
综上可得到解集 {x x (Ⅱ)依题意, 则

? 1或x ? 3}

.……………………5 分

对?x ? R, 都有f ( x) ? 3 ,
,……………8 分

f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a ? ?ax ? 2? ? ?ax ? a? ? a ? 2 ? 3

a ? 2 ? 3或a ? 2 ? ?3 ? a ? 5或a ? ?1(舍)

? a ? 5 …………………10 分

11 / 11


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