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高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教案苏教版必修3

2.3.2 方差与标准差 整体设计 教材分析 “方差与标准差”这节课在上节课平均数的基础上,从实例“有甲、乙两种钢筋,检查 它们的抗拉强度”中平均数不是反映总体质量、 水平的唯一特征数, 在平均值相差不大的情 况下,数据的稳定程度可以作为评价对象质量高低的又一重要因素,从而说明引入方差、标 准差的必要性,同时使学生养成从多个角度看问题的习惯,锻炼了学生的创造性思维. 为了让学生充分体会“稳定性”的意义, 教材中用数轴表示两组数据, 形象地表现出数 据的“聚散”程度,并用极差反映数据的稳定性.当两组数据的极差相差不大时,就不适宜 用极差来表示稳定性,这时可用“方差与标准差”作为比较数据稳定性的特征数. 初中已学过方差概念, 现在的教学不能停留在原有的水平上, 要将用方差刻画数据的稳 定程度的理由讲清楚,充分揭示用方差作为比较数据稳定性水平的特征数的思维过程. 通过方差的单位与原数据的单位的比较,通过实际问题的分析,让学生了解到用方差反 映稳定性水平的不足之处是与原数据单位不一致 ,且平方后可能夸大偏差的程度等,从而引 入“标准差”的概念,这一过程应让学生在形成问题和解决问题的过程中加以探索. 三维目标 1.通过对具体案例的分析掌握样本数据的平均数、方差与标准差的基本概念和计算方 法,培养学生分析问题和解决问题的能力,激发学生探究数学问题的兴趣和动机. 2.在解决统计问题的过程中, 进一步体会用样本估计总体的思想, 形成对数据处理过程 进行初步评价的意识. 3.引导学生对一些生活中实际问题的学习, 进一步培养学生的数学素养和增强学生的 数学应用意识及认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯. 4.渗透数学来源于实践,反过来又作用于实践的观点. 重点难点 教学重点:1.通过实例理解样本数据方差与标准差的意义和作用,学会计算数据的样本 方差与标准差. 2.根据方差与标准差对事件进行科学的决策,形成对数据处理过程进行初步评价的意 识. 教学难点:1.方差与标准差的计算方法及运算的准确性. 2.用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,从中进一步理解统计的基本思想. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 平均数向我们提供了样本数据的重要信息, 但是, 平均数有时也会使我们作出对总体的 片面判断.某地区的统计报表显示, 此地区的年平均家庭收入是 10 万元, 给人的印象是这个 地区的家庭收入普遍比较高.但是, 如果这个平均数是从 200 户贫困家庭和 20 户极富有的家 庭收入计算出来的, 那么它就既不能代表贫困家庭的年收入, 也不能代表极富有家庭的年收 入.因为这个平均数掩盖了一些极端情况.而这些极端情况显然是不能被忽视的.因此,只有 平均数还难以概括样本数据的实际情况. 举例:有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个样本(如下表)检查他们的抗拉强度(单 2 位:kg/mm ) ,通过计算发现,两个样本的平均数均为 125. 1 哪种钢筋的质量较好? 两种钢筋的平均数都是 125,那么,它们有没有什么差异呢? 推进新课 作出图形,作直观比较: 直观上看,还是有差异的.乙的强度比较分散,甲的强度相对集中.因此,我们还需要从 另外的角度来考察这两组数据. 例如,在作统计图、表时提到过的极差 甲的强度极差=135-110=25, 乙的强度极差=145-100=45. 它在一定程度上表明了样本数据的分散程度, 与平均数一起, 可以给我们许多关于样本 数据的信息,显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个 最高分,去掉一个最低分”的统计策略. 新知探究 1.方差(variance)的概念: 2 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差,一般用 s 表示. 假设样本数据是 x1,x2,…,xn, x 表示这组数据的平均数.结合上节课有关离差的讨论可 知,离差越小,稳定性就越高. 因此,通常用如下公式计算方差: s2 ? 1 n ( xi ? x) 2 . ? n i ?1 因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了离差的程度,因此将其算术平方 根s ? 1 n ( xi ? x) 2 ? n i ?1 作为样本的标准差(standard deviation),分别简称样本方差、样本标准差. 2.计算样本数据 x1,x2,…,xn 的标准差的算法是: S1 算出样本数据的平均数 x; S2 算出每个样本数据与样本平均数的差 xi-x(i=1,2,…,n); S3 算出 S2 中 xi-x(i=1,2,…,n)的平方; S4 算出 S3 中 n 个平方数的平均数; S5 算出 S4 中平均数的算术平方根,即为样本标准差. 关于方差、标准差的一点说明: (1)方差、标准差是用来描述样本数据的离散程度的,它反映了各个样本数据聚集于 样本平均数周围的程度.方差与标准差越小, 表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中; 反之,方差标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散. (2) 在实际应用中, 方差与标准差常被理解为稳定性.例如在上面的比较两种钢筋的抗 拉强度时,方差与标准差越小意味着该产品的质量越稳定;在描述成绩时,方差与标准差越 小,说明成绩越稳定. 2 (3)学生思考“标准差的取值范围是什么?标准差为 0 的样本数据有什么特点?” 由标准差的定义容易得出标准差是非负的; 标准差为 0 意味着所有的样本数据都相等的特性, 且与样本平均数也相等, 可以构造一 个样本容量为 2 的样本: x1,x2(x1<x2), 这样可以体会出两个样本数据分散程度与样本标准差 之间的关系. 应用示例 例 1 根据下列四组样本数据,说明它们的异同点. (1) 5 5 5 5 5 5 5 5 5; (2) 4 4 4 5 5 5 6 6 6; (3) 3 3 4 4 5 6 6 7 7; (4) 2 2 2 2 5 8 8 8 8. 分析:从数据的数字特征出发. 解:四组数据的平均数都


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