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第35课 两角和与差及二倍角公式(经典例题练习、附答案)


第 35 课
◇考纲解读
和与差的三角函数公式

两角和与差及二倍角公式

① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 . ② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦.正切公式 . ③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦.余弦.正切公式,导出二倍角的正弦.余 弦.正切公式,了解它们的内在联系 .

◇知识梳理
1.和、差角公式

sin(? ? ? ) ? ______________________________ ; sin(? ? ? ) ? ________________________________ cos(? ? ? ) ? ______________________________ ; cos(? ? ? ) ? _______________________________ ; tan(? ? ? ) ? __________________________________ ; tan(? ? ? ) ? _________________________________ .
2.二倍角公式

sin 2? ? _________________ ; cos 2? ? ___________________ ? _______________ ? ________________ ; tan 2? ? __________________ .

◇基础训练
3 ,则 cos 2? 的值为( ) 5 24 7 7 A. ? B. ? C. 25 25 25 4 2.(2007·江西文) 若 tan ? ? 3 , tan ? ? ,则 tan(? ? ? ) 等于( 3 1 A. ?3 B. ? C. 3 3
1.(2008 广州一模文)已知 cos ? ? 3.(2007·重庆文) 下列各式中,值为
? ? A. 2sin15 cos15

D. )

24 25

D.

1 3

3 的是( 2


2 ? 2 ? B. cos 15 ? sin 15

C. 2sin 2 15? ? 1 4.

D. sin 2 15? ? cos 2 15? )

tan15? 的值是( 1 ? tan 2 165?
B.

A. 3 3

3 2

C.

3 6

D. 3

◇典型例题
例 1.(2007 广州一模) 已知 sin ? ?

3 ? ? ? (0, ) ,求 tan ? 和 cos 2? 的值 5 2

变式 1:已知 ? ∈( A.

1 7

? 3 ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于( ) 5 2 4 1 B.7 C.- D.-7 7

例 2.已知 cos ? ?

1 11 ? ? , cos(? ? ? ) ? ? ,? ? (0, ) ,? ? ? ? ( , ? ) 求 ? 的值. 7 14 2 2

变式 2: 若 cos ?

7 ?? ? 3 17 ? x ? ? , ? ? x ? ? , 求 cos x 的值 4 ?4 ? 5 12

◇能力提升
1.已知 sin( A.

?
2

??) ?

7 25

3 ,则 cos(? ? 2? ) =( 5 24 B. 25

) C. ?

7 25

D. ?

24 25

2. 已知 sin ? ? A. ?

3 sin 2? ?? ? ,且 ? ? ? , ? ? ,那么 的值等于( ) cos2 ? 5 ?2 ?
B. ?

3 4

3 2

C.

3 4

D.

3 2

3.(2007 海南) 若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
B. ?



A. ?

7 2

1 2

C.

1 2

D.

7 2

4.已知 sin(

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5

5. (2008 东莞二模)已知 tan(

?

4

? ? ) ? 2 ,求

1 的值. 2 sin a cos a ? cos 2 a

6. (2008 北京海淀)已知: ?

?
2

? x ? 0 , sin x ? cos x ?

1 . 5

(Ⅰ)求 sin 2 x 和 cos x ? sin x 的值; (Ⅱ)求

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

第 35 课
◇知识梳理

两角和与差的三角函数

1. sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;
2

tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? ; 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2

2. 2sin ? cos ? ; cos ? ? sin ?

2cos2 ? ? 1

1 ? 2sin 2 ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

◇基础训练
1. B 2. D 3. B 4. C.

◇典型例题
4 3 ?3? ? ?? 2 例 1.解:(1)∵ sin ? ? ,? ? ? 0, ? ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? 5 5 ?5? ? 2?
2

故 tan ? ?

sin ? 3 ? cos ? 4
2 2

7 ? 3? (2) cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 5 ? 25
3 3 ? 1 ? tan ? 1 , ? ),sin ? ? , 则 tan ? ? ? , tan(? ? ) = ? . 2 5 4 4 1 ? tan ? 7 1 ? 4 3 例 2.解:∵ cos ? ? , ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? , 7 2 7 11 ? 5 3 又∵ cos(? ? ? ) ? ? , ? ? ? ? ( , ? ) ,∴ sin ? ? , 14 2 14 1 ∵ cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? , 2
变式 1:A 解:由 ? ? (

?

) , ? ? ? ? ( , ? ) , ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? . 2 2 3 17 7 5 ? 变式 2:解:由 ? ? x ? ?,得 ? ? x ? ? 2? 12 4 3 4
又∵ ? ? (0,

?

?

?

4 ?? ? 3 ?? ? 又因cos ? ? x ? ? , ? ? x ? ? ? . sin 5 ?4 ? 5 ?4 ?

?? ? ? 2 ? ?? ?? ? ?? ? ? cos x ? cos ?? ? x ? ? ? ? cos ? ? x ? cos ? sin ? ? x ? sin ? ? 4 4 10 ? 4? ?4 ? ?4 ? ?? 4

◇能力提升
1.A 2. B 3.C 解:∵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ,

1 ? 2 sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ,∴ cos ? ? sin ? = 2 4 2
4.

7 . 25

5.解:由 tan(

?
4

??) ?

1 ? tan a 1 ? 2 得: tan(? ) ? 1 ? tan a 3

1 ( )2 ? 1 sin 2 a ? cos2 a tan2 a ? 1 3 1 2 于是 = = = = . 2 2 1 3 2 sin a cos a ? cos a 2 sin a cos a ? cos a 2 tan a ? 1 2? ?1 3 1 1 2 6.解: (Ⅰ)∵ sin x ? cos x ? ,∴ (sin x ? cos x) ? . 5 25 24 24 ∴ 2 sin x cos x ? ? ,即 sin 2 x ? ? . 25 25 ? ∵ ? ? x ? 0 ,∴ cos x ? sin x . 2
∴ cos x ? sin x ?

(cos x ? sin x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? 1 ?

24 7 ? . 25 5

sin 2 x ? 2 sin 2 x 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 2 sin x(cos x ? sin x) ? ? (Ⅱ) sin x cos x ? sin x 1 ? tan x 1? cos x cos x
2 sin x cos x(cos x ? sin x) sin 2 x(sin x ? cos x) ? cos x ? sin x cos x ? sin x 24 1 (? ) ? 24 . ? 25 5 ? ? 7 175 5 ?


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