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【全程复习方略】(福建专版)高考数学 第三章 第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 理_图文

第五节 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 公式名 两角和与差的正弦 两角和与差的余弦 两角和与差的正切 公 式 sin(α ±β )=_______________________ sinα cosβ ±cosα sinβ cos(α ±β )=______________________ cosα cosβ ?sinα sinβ tan? ? tan? tan(α ±β )=__________ 1 m tan?tan? 【即时应用】 (1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“√”或“×”) ①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°( ) ②sin15°=sin(45°-30°)=cos45°sin30°-sin45°cos30° ( ) ③cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45° ( ) ④cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45° ( (2)计算sin72°cos18°+cos72°sin18°=________. (3)计算cos72°cos12°+sin72°sin12°=________. ) 【解析】(1)cos15°=cos(45°-30°)= cos45°cos30°+sin45°sin30°,故①错误; sin15°=sin(45°-30°)=sin45°·cos30°-cos45°sin30°, 故②错误;③正确,cos15°=cos(60°-45°)= cos60°cos45°+sin60°sin45°,故④错误. (2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1. 1 (3)原式=cos(72°-12°)=cos60°= . 2 答案:(1)①× ②× ③√ ④× (2)1 (3) 1 2 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 二倍角的正弦 公 式 sin2α =______________ 2sinα ·cosα cos2α =_____________ cos2α -sin2α 二倍角的余弦 =_________ 2cos2α -1 =_________ 1-2sin2α 2tan? tan2α =_________ 1 ? tan 2 ? 二倍角的正切 【即时应用】 (1)思考:二倍角公式tan2α = 2tanα 2 提示:不一定,α≠kπ+ 2 1 ? tan α 中对任意的α 都成立吗? ? ? ,2α≠kπ+ (k∈Z). 2 2 (2) 1 sin15°cos15°的值等于________. 1 sin15°cos15°= 1 ×2sin15°cos15° 2 4 = 1 sin30°= 1 . 4 8 1 答案: 8 【解析】 (3)若tanα = 1 ,则tan2α =________. 2 1 2 ? 1 ? 4. 【解析】tan2α= 2tanα = 1 3 3 1 ? tan 2 α 1 ? ( )2 2 4 答案: 4 3 2? 热点考向 1 【方法点睛】 三角函数的化简 三角函数的化简技巧 (1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角. (2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非 特殊角的三角函数值. (3)一些常规技巧:“1”的代换、正切化弦、和积互化、异角 化同角等. (4)三角函数的化简常用方法是:异名三角函数化为同名三角 函数,异角化为同角,异次化为同次,正切化弦,特殊值与特 殊角的三角函数互化. 【提醒】公式的逆用、变形用十分重要,特别是1+cos2α= 2cos2α,1-cos2α=2sin2α,形式相似,容易出错,应用时要加 强“目标意识”. 【例1】(1)化简 (A)-cos 1 (C) 3cos 1 2 ? cos 2 ? sin 21 的结果是( ) (B)cos 1 (D) ? 3cos 1 2cos 10? ? sin 20? =_______. sin 70? (2)(2013·福州模拟) 2 2 cos ? ? sin ? (3) =______. ? ? 2tan( ? ?)cos 2 ( ? ?) 4 4 【解题指南】(1)将cos 2利用倍角公式转化求解. (2)将10°转化为30°-20°,展开,合并同类项、约分,即可. (3)由于分子是一个平方差,分母中正切函数可转化成弦函数, 若注意到这两大特征,不难得到解题的切入点 . 【规范解答】(1)选C. 2 ? cos 2 ? sin 21 ? 2cos21 ? 1 ? sin 21 ? 3cos21 ? 3cos 1. (2)原式= 2cos(30? ? 20?) ? sin 20? sin 70? = 2(cos 30?cos 20? ? sin 30?sin 20?) ? sin 20? sin 70? = 3cos 20? ? 3. cos 20? 答案: 3 (3)原式= cos 2? ? ? 2tan( ? ?)cos 2 ( ? ?) 4 4 cos 2? cos 2? cos 2? = ? ? ? 1. ? ? ? 2sin( ? ?)cos( ? ?) sin( ? 2?) cos2? 4 4 2 答案:1 【互动探究】将本例题(2)中式子改为 又将如何求解? 【解析】 3 ? sin 270? ? 3 ? sin 70? 2 ? cos 10? 3 ? cos 20? 2 3 ? sin 70? , 2 2 ? cos 10? = 3 ? cos 20? ? 2. 3 ? cos 20? 2 热点考向 2 【方法点睛】 三角函数的求值 三角函数求值的方法和关注点 (1)求值常用方法,利用两角和与差、倍角、半角等公式进行 变换,使


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