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第一轮复习理科数学教师用书配套课件 热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用_图文

热点专题突破系列(二) 三角函数与平面向量的综合应用 考点一 三角函数的求值与平面向量的综合 【考情分析】以平面向量为载体利用诱导公式、同角三角函数关系式、 两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题, 考查学生分析问题、解决问题的能力. 【典例1】(2015·海滨模拟)已知m=(sinx, 3 cosx),n=(sinx,sinx), f(x)=m·n. (1)求 f( ? ) 的值. (2)当x∈[0, ? ]时,求函数f(x)的最大值与最小值. 2 12 【解题提示】(1)利用向量的坐标计算两向量的数量积 ,从而得f(x), 把x= ? 代入可得. 12 (2)利用x的范围确定角的范围,从而得三角函数的最大值与最小值 . 【规范解答】(1)由已知得. f(x)=m·n=(sinx, 3 cosx)·(sinx,sinx) =sin2x+ = 1 ? cos 2x 3 cosxsinx= ? sin 2x 3 2 2 3 sin2x- 1 cos2x+ 1 =sin(2x- ? )+ 1 . 2 6 2 2 2 故 f( ? ) ? sin(2 ? ? ? ? ) ? 1 ? 1 . 12 12 6 2 2 (2)当x∈[0, ? ]时, 2x ? ? ? [? ? , 5? ], 2 6 6 6 故当2x- ? = ? ,即x= ? 时,f(x)max=1+ 1 = 3 , 2 6 2 2 3 当2x- ? =- ? ,即x=0时, 6 6 f(x)min=sin(- ? )+ 1 =- 1 + 1 =0. 2 2 2 6 【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤 (1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出,把 向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式. (2)利用三角恒等变换进行条件求值. 【变式训练】(2015·合肥模拟)已知a=(cos(θ - ? ),1),b=(3,0), ? 5? ( 其中θ ∈ , ), 若a·b=1. 2 4 4 (1)求sin θ 的值. (2)求tan 2θ 的值. ? 1 ? 2 2 【解析】(1)由已知得: cos(? ? ) ? ,sin(? ? ) ? , 4 3 4 3 ? ? sin ? ? [sin(? ? ) ? ] 4 4 ? ? ? ? 4? 2 ? sin(? ? )cos ? cos(? ? )sin ? . 4 4 4 4 6 (2)由 cos(? ? ? ) ? 1 , 得sin θ+cos θ= 4 3 1+2sin θcos θ= 即sin 2θ=7 , 9 2 , 9 2 ,两边平方得: 3 因为 ? ? ? ? ( ? , ?),且cos(? ? ? )>0, 4 4 4 所以 (? ? ? ) ? ( ? , ? ), 4 4 2 所以 ? ? ( ? , 3? ), 所以2? ? (?, 3? ),从而cos 2θ= ? 4 2 , 9 2 4 2 所以tan 2θ= 7 2 . 8 【加固训练】设向量a=(4cosα ,sinα ),b=(sinβ ,4cosβ ),c= (cosβ ,-4sinβ ). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α +β )的值. (2)求|b+c|的最大值. (3)若tanα tanβ =16,求证:a∥b. 【解析】(1)因为b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),a与b-2c垂 直, 所以4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0, 即sinαcosβ+cosαsinβ =2(cosαcosβ-sinαsinβ), 所以sin(α+β)=2cos(α+β), 所以tan(α+β)=2. (2)因为b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ), 所以|b+c|= (sin? ? cos?)2 ? (4cos? ? 4sin?) 2 = 1 ? 2sin?cos? ? 16 ? 32cos?sin? ? 17 ? 15sin 2? , 所以当sin2β=-1时,|b+c|取最大值,且最大值为 32 ? 4 2. (3)因为tanαtanβ=16, 所以 sin? sin? =16, cos? cos? 即sinαsinβ=16cosαcosβ, 所以(4cosα)·(4cosβ)=sinαsinβ, 即a=(4cosα,sinα)与b=(sinβ,4cosβ)共线, 所以a∥b. 考点二 三角函数的性质与平面向量的综合 【考情分析】以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角 恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性、周期 性、最值、取值范围及三角函数的图像变换等. 【典例2】(2015·沈阳模拟)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx, 3 ), 2 f(x)=(m+n)·m. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. (2)当x∈[0, ? ]时,求f(x)的值域. (3)将f(x)的图象左移 3? 个单位后得g(x)的图象,求g(x)在 [? ? , ? ] 8 3 3 2 上的最大值. 【解题提示】(1)利用向量坐标运算得f(x)的解析式可求周期及增区 间. (2)利用已知求得角的范围后可求f(x)的值域. (3)利用图像平移变换可得g(x),再利用角的范围求解最大值. 【规范解答】(1)由已知可得m+n=(sinx+cosx, ), 1 2 故f(x)=(m+n)·m =(sinx+cosx, 1 )·(sinx,-1) =sin2x+sinxcosx- 1 = 1 sin2x- 1 cos2x = 2 ? sin(2x ? ). 2 4 2 2 2 2 故f(x)的最小正周期T= 2 ? =π, 由2kπ- ?


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