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An Introduction to Quantum Mechanics2_图文

An Introduction to Quantum Mechanics
Xiangyang Peng (彭向阳)

Chapter 0 Study Guide

Bilingual teaching (双语教学)
In the top universities of China, it becomes more and more popular to teach in English. Advantages and disadvantages: English vs. Chinese

PPT: In English Oral language: In Chinese. Sometimes a mixture of both Exercises: English preferred Examinations: English preferred

Why learning quantum mechanics
1. It is important No quantum mechanics, no modern life All semiconductor based devices, e.g., Computer, Mobile phone, etc . Laser Superconductors Nano materials All the fundamental technological achievements in modern age are based on quantum mechanics 2. It is interesting

3. It is a must for students majoring in physics for many reasons:
If you are simply interested in physics (The best reason) If you want to take physics as your career

If you plan to be a postgraduate student in physics
If you want to be graduated

But, it is difficult
“I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.”
The Nobel Prize laureate in Physics 1965 Quantum electrodynamics Path integral, Feynman diagram The Feynman Lectures on Physics

Surely you?re joking, Mr. Feynman 《别闹了,费曼先生!》

Even not easy to accept it
It is all against our daily experience and common wisdom, though it works remarkably well in atoms as well as in stars. For example, wave-particle duality Heisenberg?s uncertainty principles Some of the early founders of quantum mechanics did not accept the quantum mechanics what we are studying now.
Max Planck (Black body radiation, Planck constant h)

He wrote in a recommendation letter for Einstein's election to the Prussian Academy of Sciences:
"One should not hold against him too much that in his speculations he might have occasionally overshot the goal, as for example in his hypothesis of the quanta of light."

Prince Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie Matter wave Wave-particle duality (二象性)

Albert Einstein Photoelectric effect “GOD does not play dice with the universe ! ” Causality (因果关系) and locality (定域性), EPR paradox

No matter how much it has been questioned or objected, quantum theory has never failed an observational test and has beaten off innumerable challenges.

Then, what are we going to learn?
Learn a microscopic language in which atoms, electrons and photons talk, i.e., Quantum Mechanics

How to learn a language? Speak before understand. One starts by mimicking and practicing.
Learn the grammatical rules and use it. There is no explanation for these rules. Similarly, all of the textbooks of quantum mechanics tell you how it works instead of why it works.
Gulliver in Lilliput To communicate with little people there, he had to learn their language.

Our purpose: learn the basics of quantum mechanics and how to apply it,

not to deep-plough its far-reaching meaning or consequences

What we are not going to learn
There have been a great many books on quantum mechanics, discussing its philosophical background, e.g., what measurement is, what the observables are. We are not able to discuss these deep and fundamental topics in this introductory course. However, all those who want to challenge or contribute to quantum mechanics, they have to know its basics.

Some suggestions
A pragmatic attitude or approach to quantum mechanics: First: Accept it or assume it is true. Accept its principles and the related results, no matter how peculiar they look. Never be stuck somewhere too long. Just move on and come back from time to time.

Some suggestions from the history
They did not stop when it was hard to understand.

Bohr (Theory of hydrogen atom) No one understood his theory in the beginning.
Heisenberg (Heisenberg?s uncertainty principle, matrix mechanics) He was not clear that what he was dealing with was matrix. "Everything is still vague and unclear to me, but it seems as if the electrons will no more move on orbits." Schr?rdinger (Schr?dinger equation) He did not know the meaning of the wave function after he created the equation named after his name.

Second: Practice, in class and after class
In the preface of many quantum mechanics textbooks, a common advice is that do exercises. No practice, no understanding Feynman Einstein 抄书 做作业 抄作业? 抄习题解? 熟读唐诗三百首,不会吟诗也会吟

Preferred background Basic knowledge of classical physics. Linear algebra, eigenfunctions and eigenvalue Ordinary differential equation

Chapter 1 Some small puzzling clouds: The dawn of quantum mechanics
The great success of classical physics
Mechanics : 1600-1700, Galileo, Newton Optics : 1670-1850, Newton, Young, Foucault, Fresnel Electrics and Magnetism: Franklin, Coulomb, Ampere, Faraday, Maxwell Thermodynamics: Joule, Carnot, Maxwell, Boltzmann

“All fundamental discoveries in physics have already been made, and subsequent developments will be in the sixth place of decimals.” (Michelson, 1894)

“There is nothing new to be discovered in physics now. All that remains is more and more precise measurement.” ”…two small, puzzling clouds remained on the horizon.”

1. Michelson?s experiments: light speed is a constant, regardless of the movement of the light source Special Relativity 2. Black body radiation, Planck Energy emitted discontinuously. Planck constant, the beginning of quantum mechanics

Lord Kelvin

In the beginning of the 20th century, there emerged more and more experiments that could not be reconciled with the classical physics. These challenges were fundamental rather than technical and led to a revolution in physics

Blackbody Radiation Photoelectric Effect

Spectra of Hydrogen

Balckbody Radiation
Black body: a perfect absorber of light. A good light absorber is also a good light emitter Once light enters the cavity (nonspherical) through the aperture, it will almost never come out. Black body radiation is also called Cavity radiation or aperture radiation

The spectrum of cavity radiation is independent of the material in the walls of the cavity. Why?

Ultra violet catastrophe
Wien’s Law

Based on thermodynamics
Rayleigh-Jeans Law Based on electrodynamics and Equipartition of Energy principle.

Ultraviolet Catastrophe
Rayleigh-Jeans model blows up at high frequency
High frequency, violet Short wave length Low frequency, red Long wave length

The spectrum of blackbody radiation

Wien's displacement law.

T: sun, moon, human body

Planck?s theory
(1) Treat blackbody as large number of atomic oscillators ( simple harmonic oscillator ), each of which emits and absorbs electromagnetic waves

(2) Each atomic oscillator can have only discrete values of energy
E = n hυ , n = 0, 1, 2, … h = 6.63 x 10-34 J?s ( Planck’s constant, obtained by fitting the exp.) (3) The energy of the EM wave emitted by the atomic oscillators must be in multiples of hυ
Spectrum of the atomic Oscillators

Classical

Planck?s model

Low temperature limit, kT<< hv, Frozen oscillators. Classical physics does not apply.

The law of blackbody radiation according to Planck?s derivation
The probability for energy to take the values in the energy range E ? E ? dE is

e

? E kT

dE

?0 e

? ? E kT

dE

Boltzmann distribution

If the energy is continuous, the average energy is

? ? ? E kT ? E kT E ? ?0 E e dE ?0 e dE

? Ee ? E kT ? ? ? e ? E kT dE ? ? ? kT ? ? ?0 0 ? ?

?0 e

? ? E kT

dE

? kT

According to Planck?s theory: E = n hυ, The probability is proportional to: e-nhυ/kT ? Normalized probability e ? nh? kT ? e ? nh? kT n ?0 Average energy: ? ? ? nh? kT ? nh? kT E ? ? nh? e X= hυ/kT ?e n ?0 n ?0 d ? ? nx ? ? nx

? ?h?

dx n ?0

?e

n ?0

?e

d ? x ?1 ? x ?1 ? ? h? (1 ? e ) (1 ? e ) dx

? h? (e

h? kT

? 1)

Rayleigh-Jeans Law

E(?, T) ?

2?c ?
4

kT

where kT is the average energy Replace kT in Rayleigh-Jeans law, one derives the Planck?s law

2?c 2?c 2?c hc hc kT? hc kT? E(? ,T) ? 4 E ? 4 h? (e ? 1) ? 4 (e ? 1) ? ? ? ?
Long λ limit, Raleigh-Jeans?s law

Short λ limit, Wien?s law

enhυ/kT-1≈ enhυ/kT

Photoelectric Effect
Monochromatic light , υ Photocurrent IP: The electrons in the cathode absorb the electromagnetic energy of light and escape into the vacuum, forming photocurrent.

Classical wave theory:
by Philipp Lenard

Classical Picture:
1. The IP intensity (number of electrons) is proportional to the intensity of the incident light. 2. If the incident light is strong enough, there should always be IP produced, regardless of the frequency of the light.

the energy of a wave is given by its intensity, not by its frequency. A=A0sin(wt-kx), E=0.5A02

Experimental Findings:

1. When υ is above a threshold v0, no matter how weak the light is, there is IP.
2. When υ is below a threshold v0, no matter how strong the light is, there is no IP.

Fix v Chang light intensity

(a) The kinetic energy of any single emitted electron increases linearly with frequency above some threshold value and is independent of the light intensity.

Change v Fix light intensity

(b) The number of electrons emitted per second (i.e. the electric current) is independent of Fix v Change light intensity frequency and increases linearly with the light intensity

v0

Photon, the particle of light
suggests that “the energy of light” is related to frequency, in addition to intensity. But how?
The difficulty of the classical picture: light as continuous wave,

Einstein: light is discrete rather than continuous. In a beam of light, there are many massless particles, photons. Each photon has an energy of : Ephoton = ?ω=hν (? =h/2π, h: Planck constant) Work function: EW
Only when ?ω > EW, electrons can be knocked off. 1. Kinetic energy of photoelectrons: Ekin = ?ω - EW= ?(ω - ω 0) Below this frequency limit ω 0, no electrons can leave the metal. Agree with the experiments. 2. The intensity of photocurrent (the number of photoelectrons) Increasing the intensity of the light beam increases the number of photons, and hence increases the current. Elight=N* ?ω

The duality of light
E = ?ω =hν (?=h/2π, ω=2πν) Suggests that although photon is a particle and it has a frequency. It is both a particle and a wave. This duality is hard to accept. But we have to accept it.

The momentum of a photon
Photon moves with the velocity of light. mphoton = 0 Einstein's Theory of Relativity:

E = ?ω =hν
Left side: Particle

=h/λ

Right side :Wave

k=2π/λ

About 400 years ago, Newton supposed that light is made of particles of different colors. Double slit interference: Light is a wave

Maxwell: Light is a electromagnetic wave Einstein: Light is a beam of photons. A photon is both a particle and a wave.

Bohr model for hydrogen
Rutherford?s atomic model

Vast majority of particles passed straight through the foil. Approximately 1 in 8000 were deflected. most of the atom was made up of 'empty space'

The orbits and energy can be continuous in his model.

Planetary model

Electrons circling the central nucleus.

Planetary model: unstable A circling electrons radiates energy.
electron

Balmer lines: four lines of visible light

nucleus

The atom would collapse within 10-6 second if it collapses. A clear contradiction to reality.

Why the spectrum is discrete instead of continuous? Continuous orbits can not explain. Indicate that the electron stays at some discrete orbits

Line spectrum had been known for more than a century. No one had thought very deeply about what their relationship might be with atoms. In 1913 Bohr, by accident, stumbled across Balmer's numerology for the hydrogen spectrum, and in a flash came up with a workable model of the atom.

Bohr?s theory
1. The planetary model is correct. 2. When an electron is in an “allowed” orbit(轨道)it does not radiate(辐射). Thus the model simply throws out classical electromagnetic theory. (A hypothesis without any explanation) 3. Electrons can only gain and lose energy by jumping from one allowed orbit to another, absorbing or emitting electromagnetic radiation with a frequency ν determined by the energy difference of the levels according to the Planck relation

4. The angular momentum of the allowed orbits is quantized (discrete)

The frequency of the radiation emitted at an orbit of period T is an integer multiple of 1/T: n/T (Correspondence principle, wikipedia)

Quantization (量子化) of the radii(半径) or orbits (轨道)
centripetal force离心力 Coulomb force Z=1 for hydrogen

ke e 2 me v 2 ? r

(n?) 2 ke e2 n2?2 me vr ? n? ? (me vr ) 2 ? (n?) 2 ? me v 2 ? ? ? rn = 2 2 me r r ke e me
Quantization of the energy

ke e 2 ke e 2 1 2 E ? me v ? ?? 2 r 2r

Sommerfeld quantization(索末菲量子化)
Elliptical orbits(椭圆轨道)

Bohr : me vr ? n? ? me v 2? r ? 2? n? ? me vC ? nh

De Broglie (德布罗意):
The circumference(周长) of the orbit should be the multiples (倍数)of the wavelength(波长).

When Bohr published his model, Otto Stern(斯特恩) and Max von Laue (劳厄)made an earnest vow: "If this nonsense of Bohr should in the end prove to be right, we will quit physics!" Otto Stern: Stern-Gerlach experiment, Spin quantization Student of Einstein

Max von Laue: discovery of the diffraction of X rays in crystals
Student of Max Planck

These small clouds eventually led to thunderstorms in
physics. The dawn of quantum mechanics was breaking.

Chapter 2
Wave function(波函数) and Shr?dinger equation(薛定谔方程)

de Broglie(德布罗意) and Matter Wave (物质波)
Wave-Particle Duality (波粒二象性)of Light:
In photoelectric effect(光电效应) experiments, light manifests (呈现) itself as particles (粒子).
In double slit diffraction (双缝干涉) experiments, light takes the form of wave(波). The duality (二象性)is like the two faces of a coin. Each time, one can only see one of them.
Planck relation: Left: Particle,E,P

E = hν P = h/λ

Right: Wave,λν

Wave-particle duality of matter:
Since wave can be particles, why a particle can not be a wave?

de Broglie’s hypothesis (假设): Matter (物质) is a wave.
What are the frequency (频率)and wave length(波长)of the matter wave?

Left: Particle

E = hν P = h/λ

Right: Wave

What de Broglie did in his famous nearly one-page-long doctoral thesis was effecitvely just to switch (交换) the left and the right sides of the above relations. This “trivial” (平凡) operation (操作) led to a Nobel Prize.
Left: Wave wave length wave frequency A small variation (改变) and a big difference Right: Particle

Matter wave in macroscopic world (宏观世界)
If matter is a wave, it can be diffracted (衍射) and interfered (干涉)with each other.
d

In daily life, we do not feel that matter is a wave
We are not diffracted (衍射) when we pass the door of this class room Why?

? ?d
p = mv (non-relativistic)

A bullet of the mass (质量)of 0.1kg

Much smaller than the size of matter.

Experimental confirmation (实验验证)of matter wave :

Electron diffraction (电子衍射)
p = mv One way to increase the wave length(波长) is to reduce the momentum (动量) by reducing the mass (质量)

similar to the wave length of x-ray Electron is the right matter to reveal the matter wave. In a crystal lattice(晶格), the nearest interatomic distance (原子间距) is about several ?. It is an ideal slit (缝)for electrons.

X-ray diffraction through a thin aluminum (铝) film

Electron diffraction through the same aluminum (铝) film

Wave function (波函数) and its equation
Light is wave. It is described by a wave function E(r,t). The wave function obeys Maxwell equations (麦克斯韦方程). Matter is also a wave. In addition to frequency (频率) and wave length(波长), a matter wave also needs a wave function and its wave function needs some equation(s).

de Broglie?s relation only tells the wave length and frequency of the matter wave. What?re the wave function and its equation?

Shr?dinger equation
The wave function of the plane wave (经典平面波)of light:

?(r, t ) ? Aei (k ?r ??t ) ? A cos(k ? r ? ?t ) ? iA sin(k ? r ? ?t )

A ? A ei?

k ? 2? / ? , ? ? 2? f

According to Einstein?s theory, it also describes a particle, i.e., photon (光子)of energy E and momentum p:

E ? ??

p ? ?k

? ? h / 2?

According to de Brogile?s theory, a free particle of energy E and momentum p corresponds to(对应)a wave of (ω,k),

? ? ?/E k ? ? / p
The wave function of a free particle should be

?(r, t ) ? ?0e

i ( k ?r ??t )

? ? 0e

i i ( p?r ? Et ) ?

The “derivation(推导)” of Schr?dinger equation: 1D:
i i ? (Et ? px) ? ? ? ? (Et ? px) iE iE Ψ(x,t) ? Ψ 0 e ? ? Ψ 0e ? ? ? Ψ(x,t) ?t ?t ? ? ? ? i? Ψ(x,t) ? EΨ ( x,t ) ? i? is an energy operator (能量算符) ?t ?t

i i (px ? Et) d d ? (px ? Et) ip ip ? Ψ(x,t) ? Ψ 0 e ? Ψ 0e ? Ψ(x,t) dx dx ? ? d2 p2 ? Ψ(x,t) ? ? 2 Ψ(x,t) ? ?i? ? ( x, t ) ? p? ( x, t ), 2 dx ? ?x 2 2 2 ? d p ? ? Ψ(x,t) ? Ψ(x,t) ?i? is a momentum operator (动量算符) 2 m dx 2 2m ?x

1D Shr?dinger equation of a free particle

Schr?dinger equation of a free particle in 3D space
?(r, t ) ? ? 0e
i?
i ( k ?r ??t )

? ? 0e

i ( p?r ? Et ) ?

Wave function in 3D space

? Ψ( r ,t) ? E ?( r ,t) still holds ?t ? ? i? is an energy operator (能量算符) ?t
? ?i ? ? (r, t ) ? pi ? (r, t ) ?xi ? ? ? ?i??? (r, t ) ? ?i? ( e1 ? e2 ? e 3 ) ? (r , t ) ?x1 ?x2 ?x3 ? ( p1e1 ? p2e 2 ? p3e3 ) ? (r, t ) ? p? (r, t )

e3 e2
e1

?i?? corresponds to p, momentum operator (动量算符)

?? 2? 2 ? (r, t ) ? (?i??) ? (?i??)? (r, t ) ? (?i??) ? p? (r, t ) ? p ? (?i??)? (r, t ) ? p ? p? (r, t ) ? p 2 ? (r, t )

Since

E ? p 2 / 2m
? p2 ?2 2 i? ? (r, t ) ? E ?(r, t ) ? ?(r, t ) ? ? ? ?(r, t ) ?t 2m 2m
Schr?dinger equation for free particle in 3d space

?2 ?2 ?2 ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ?x ?y ?z

Schr?dinger equation of a particle moving in a potential V(r)(势场)

E ? p 2 / 2m ? V (r)

Some notes:
1. Schr?dinger equation is a basic POSTULATE (假设)in quantum mechanics and can not be derived(推导) from any other principles. Its validity(有效性) can only be checked by experiments.

2. In quantum mechanics, wave function can only be described by complex numbers(复数). Wave function has a phase (相位) factor. Real numbers (实数) are not enough. In classical physics(经典物理), complex numbers are just for convenience(方便). One can obtain the same physics by using sin(krωt) or Expi(kr-ωt)

3. Non-relativistic 非相对论的

p2 E? ? V (r ) 2m

4. Since Schr?dinger equation is linear and homogeneous(线性齐次), the superposition(叠加) of its solutions also satisfies Schr?dinger equation.

? ?2 2 ? ? i? Ψ( r ,t) ? ? ? ? ? V (r ) ? ?( r ,t) ?t ? 2m ? If ?1 and ? 2 are solutions, then a?1 ? b? 2 is also a solution

5 Hamiltonian (哈密顿量) ? ?2 2 ? ? i? Ψ( r ,t) ? ? ? ? ? V (r ) ? ?( r ,t) ? H ?( r ,t) ?t ? 2m ? ? ?2 2 ? H ? ?? ? ? V (r ) ? is the Hamiltonian ? 2m ?

The interpretation(诠释) of the wave function(波函数)
When Schr?dinger (薛定谔)obtained the equation named after his name, he himself was not clear about the meaning of the equation. Schr?dinger?s wave did not appear to signify (表示) anything that could be measured directly. What is the meaning of Schr?dinger equation and wave function?

Bohr(玻尔) invited Schr?dinger to Copenhagen(哥本哈根) to discuss about Schr?dinger equation. Finally, they found themselves exhausted(精疲力 尽) by this question. From Schr?dinger's point of view, particles still jumped from one quantum state to another; even expressed in terms of waves, space was still not continuous. Upon discovering this, Schr?dinger remarked to Bohr that "Had I known that we were not going to get rid of this damned quantum jumping, I never would have involved myself in this business." 欧文用他的psi,计算起来真灵通:但psi真正代表什么,没人能够说得清.。

Quantum particles (量子粒子), like electrons or photons, pass through the slits(缝) one by one.

At first, some individual spots(亮点) appear on the screen.

Finally, the accumulated(积累) spots form a interference pattern(干 涉图案). The brightness (亮度)of a location (位置)is proportional (成正比)to the probability (几率)of the particles arriving there.

Born?s statistical interpretation(玻恩的统计诠释)
The square modulus(模方) ? (r, t )
2

is the probability density(几率密度)

At time t, in a volume element(体积元)d? ? dxdydz situated (处于) at the point r , the probability to find the particle is :
? (r, t ) d? ? ? (r, t )? * (r, t )d?
2

? * (r, t ) is the conjugate (复共轭) of ? (r, t )

At time t, the probablity to find the particle between x and x ? dx is ? ( x , t ) dx
2

At time t, the probability to find the particle in the whole space is 1:

?

?

? (r, t ) d? ? 1
2

(normalization (归一化) condition (条件) )

What is wave function ? (r, t ) itself? ? (r, t ) is the probability amplitude(几率振幅)or probability wave(几率波) . ? (r, t ) is NOT the probability density. Its square modulus (模方) is the probability density ? (r, t ) : probability amplitude, complex function (复函数) ? (r, t ) : probability density, real function (实函数)
2

Wave function is NOT a vibration (振荡)of any physical quantities (物理量)such as (例如) electric field. A quantum particle (量子粒子) described by a continuous wave function (连续波函数) does NOT mean a continuous distribution of mass (质量连续分布). One either detects (探测) a electron or nothing, but never detects a part of electron.

Normalization of the wave function (波函数的归一化)
? ?2 2 ? ? i? Ψ( r ,t) ? ? ? ? ? V (r ) ? ?( r ,t) ?t ? 2m ?
Schroedinger equation is linear (线性) and homogeneous (齐次). If Ψ( r ,t) is a solution, aΨ( r ,t) is also a solution. ? Shroedinger equation does not guarantee (保证) a normalized (归一化的) wave function.

How to normalize a wavefunction? Usually,

?

?

? d? ? 1
2

Define constant c :

1 2 ? ? ? d? , c ?

c?
2

1

?

?

? d?
2 2 2 ?

c is a normalization factor (归一化因子)

Then the probability density is c ?(r, t ) ? ?(r, t ) / ? ? d? . c ? (r, t ) is a normalized wave function. It can be verified (验证) that ? (r, t ) / ? ? d? has been normalized
2 2 ?

?

?

c ? d? ? ? ? d? / ? ? d? d? ? 1
2 2 2 ? ?

Some notes(注解):
1.The probability amplitude is a complex number (复数). It has a phase factor(相因子). 2 ??r, t ? and ei? ??r , t ? describe the same probability wave ? ? ? ?ei?
The phase in most cases can be an arbitrary value(任意值) and does not seem to have any physical effect. However, in some cases, the phase is important and can manifest(呈现)itself in the macroscopic world (宏观世界).

2

Flux quantization (磁通量子化) in a superconductor ring(超导环) ? ? ? ? B ? dS ? ? A ? d l ? ?? 2 ? ?1 ? C q S

B ? ?? A

? ?r , t ? ? ? ?r , t ? ei?

Φis the magnetic flux (磁通量)threading (穿过) the ring. φ1 and φ2 are the phase of the wave function at the starting and end point of the integration path (the superconducting ring). A is the vector potential(矢势).

? ?r , t ? ? ? ?r , t ? ei?
A wave function must be single-valued(单值). After circling around (绕圈) the superconducting ring (超导环) and returning to the starting point, the wave function should not be varied(变化).

? ?r , t ? ? ? ?r , t ? e i?1 ? ? ?r , t ? e i? 2

? 2 ? ?1 ? 2n?
? 2n?? 2nh ? ? ? A ? d l ? ?? 2 ? ?1 ? ? ? C q q q

2. The important difference between the description(描述) of classical states(经典态)and quantum states(量子态). The classical state of a particle is determined at time t by its location (位置)and momentum(动量)at that time: x,y,z; px, py, pz (6 parameters, 6个参数). The quantum state of a particle is determined by its wave function Ψ(r,t). (All values at all locations of the space 全空间所有位置的 值。无限个参数)

3. The concept of the trajectory (轨迹) of particles should be abandoned(抛弃) in the quantum world. Instead, the propagation of the wave associated with the particle is most important.
It makes no sense to inquire about the trajectory (轨迹) of particles, such as which one, left or right trajectory.

4. The wave function of a multi-particle system (多粒子体系波函数)
Wave function

are the coordinates (坐标)of the particles in the configuration space (位形空间)

is the probability of
Particle 1 appears in AND particle 2 simultaneously (同时) appears in ……..

AND particle N simultaneously (同时) appears in

Normalization condition(归一化条件):

5. The constraints(限制) on wave function imposed by (施加的) its

statistical interpretation(统计诠释)
a. A wave function should be square-integrable(平方可积).

?

?

? (r, t ) d? ? 1
2

b. ? (r, t ) is Not ( 不) necessarily ( 必然) finite (有限) Probability ? ? ?( r, t) d? is finite does not mean that ? (r, t ) should be finite.
2 ?

In calculus, it is known that the integ ration(积分)of a singular( 奇异的) integrand(被积函数)can be finite

1 ?? r 2 d? ? 4?

c. Some wave functions with continuous spectrum(连续谱) can not be normalized(归一化). Plane wave (平面波) is not square-integrable(平方可积)and hence can not be normalized in the usual sense. We will come back to this issue later. What is important is the relative probability.

d. The continuity (连续性)of the derivatives (导数)of wave function depends on V(r).

1. 请写出德布罗意关系(de Broglie relation),即物质波的波长(λ)(或波矢k)和频 率(ν)(或圆频率ω)与其动量(p)和能量(E)的关系。 2. 请写出物质波(matter wave)的平面波(plane wave) 的波函数。 3. 请写出含时(time dependent) 薛定谔方程(Schr?dinger equation) 4. 设势函数 V(r) 不随时间变化(time independent),请由含时薛定谔方程推导定 态薛定谔方程。 5. 设体系只有两个能级E1和E2,所处态分别用ψ1和ψ2描述。设是二者的叠加 (superposition) ψ= c1ψ1 +c2 ψ2. 如果测量后得到能量为E1,请写出测量后体系 的波函数 (wave function)。 6. 我们知道,对经典电磁波叠加,2E=E+E的能量是原来电磁波E的四倍。对于 量子波函数叠加 2ψ= ψ+ ψ,请问2ψ与原来的态ψ比较, 2ψ代表一个新的态 吗?为什么? 7. 请用简图描述一个函数ψ(x)和其傅里叶变换Φ(k)局域性质的联系,写出其大致 的定量联系,并由德布罗意关系得出海森堡不确定关系(Heisenberg’s uncertainty relation)

The equation for |Ψ(r,t)|2 and probability current(几率流)
e : Ψ( r ,t) d? is the probability to find an electron in d? at time t.
2

Ne : N Ψ( r ,t) d? is the average (平均) number of electrons in d? at time t.
2

N Ψ( r ,t) is the electron density (电子密度 ) ? (r , t ) for a system of N electrons.
2

The change of ? (r, t ) induces current (电流). How ? (r, t ) varies? We needs an equation for Ψ( r ,t)
2

? ? ? ? 2 Ψ( r ,t) ? ?Ψ * ( r ,t)Ψ( r ,t)? ? Ψ( r ,t) Ψ * ( r ,t) ? Ψ * ( r ,t) Ψ( r ,t) ?t ?t ?t ?t Ψ * ( r ,t) is the conjugate (复共轭) of Ψ( r ,t)

? ?2 2 ? ? i? Ψ( r ,t) ? ? ? ? ? V (r ) ?Ψ( r ,t) ?t ? 2m ? ? ?2 2 ? * ? * ?i? Ψ ( r ,t) ? ? ? ? ? V (r ) ?Ψ ( r ,t) ?t ? 2m ?

? * ? ? ?Ψ( r ,t) ? ? 2 2 Ψ * ( r ,t) ? ? 2 2 2 Ψ( r ,t) ? ? ? ? V (r ) ?Ψ ( r ,t) ? ? ? ? V (r ) ?Ψ( r ,t) ? ? ?t i? ? 2 m i? ? 2 m ? ?

?? ??? j ? 0 ?t i? ? ? Ψ( r ,t) , j ? ? ?Ψ( r ,t)* ?Ψ( r ,t) ? Ψ( r ,t)?Ψ *( r ,t)? (几率流密度) 2m
2

j is the probability current density (几率流密度), the flow (流动) of probability density.

In classic physics, the current density (电流密度) is defined as j ? ? v. Can a quantum j have a similar form (相似的形式)?

1? ? ? ?i?? ? * ? ? i ?? j ? ? Ψ( r ,t) ? Ψ( r ,t) ? ? Ψ( r ,t) ? Ψ( r ,t) ? ? 2? ? m ? ? m ?
* ? ? ? 1 ? ?p ? ? *? p ? ? ? ? Ψ( r ,t) ? Ψ( r ,t) ? ? Ψ( r ,t) ? Ψ( r ,t) ? ? 2 ? ?m ? ?m ? ? ? ?

*

? ? ? ?

1 * * ? ? ? ? Ψ( r ,t) ? vΨ( r ,t)? ? Ψ( r ,t)? vΨ( r ,t)? ? Re ?Ψ( r ,t)* ? vΨ( r ,t)?? 2
? p ? v? m
j is a real number

?

?

? If v is a real number (实数) v instead of (而不是) an operator (算子), then j= Re ?Ψ( r ,t) ? vΨ( r ,t)?? ? vΨ( r ,t) Ψ( r ,t) ? v Ψ( r ,t) ? v?( r ,t)
* * 2

Local (局域的,定域的) conservation (守恒) of probability 定域几率密度守恒

? ? ??? j ? 0 ?t

The same form as the mass conservation (continuity) equation in fluid dynamics. (与 流体力学中的质量守恒(连续)方程形式一样)
? dS

Physical meaning (物理意义)

d ?? ?d? ? ??? ? ? jd? dt

?

S

Gauss theorem (高斯定理)
The change of the probability inside the volume τper unit time (单位时间体积 τ中的几率变化率) The probability flows d ?? ?d? ? ??S j ? dS in τ per unit time (单位 dt 时间的流入τ的几率)

The conservation of the total probability (总几率守恒)
Schr?dinger equation is non-relativistic(非相对论的). In the low energy region, there is no creation (产生) and annihilation (湮灭) of particles. Therefore, the total probability (总几率), namely 1, should not be changed with time.

?

?

? ?r,0 ?d? ? 1

?

?

? ?r , t ?d? ? 1?

Because of the equation of the local conservation of probability We obtain:

d ?? ?d? ? ??S j ? dS dt
The wave function is square-integrable(平方可积) and becomes zero at infinity (无穷远处为零). So does j (对 j 亦如此)

? dS

?

S

d ?? ? ?r, t ?d? ? 0 dt

The time-independent (与时间无关) Schr?dinger equation and stationary states (定态) 非含时薛定谔方程和定态
When the potential (势) v(r) is time independent (与时间无关) , we can write Schr?dinger equation as:

Consider the solution of the form

Substitute (代入) it into the Schr?dinger equation

Divide (除以) both side of the above equation by

=E This equation equates a function of t only (left-hand side) and a function of r only (right-hand side). This equality (等式) is only possible if each of these functions is a constant. (此方程将方程 左边仅含时间和右边仅含空间的函数相等。这个等式只有当左右两 边函数为常数时才可能). Suppose it is E.

f (t ) ~ e ?iEt / ?

H is the Hamiltonian.

I. Time-independent Schr?dinger equation (非含时薛定谔方程)
HΨ ? r ? ? EΨ ? r ? , ?2 2 H ?? ? ? V (r ) 2m

?2 2 ? ? :kinetic energy operator (动能算符) 2m V (r ) : potential (势能) H: Hamiltonian (哈密顿量, 能量)

This is an eigenvalue equation (本征方程). The solution is called eigenfunction (本征函数) and E is its eigenvalue (本征值) . Since E is energy, it is also called energy eigenvalue equation

II. Stationary state (定态)
Suppose is the eigenfunction (本征函数) of the

time-independent equation and its eigenvalue (本征值) is E.

is a stationary state.

In a stationary state (定态), The probability density (几率密度) and the probability current density (几率流密度)do not change with time.

? ? Ψ( r ,t) (几率密度)
2

j??

i? ?Ψ( r ,t)* ?Ψ( r ,t) ? Ψ( r ,t)?Ψ *( r ,t)? (几率流密度) 2m

Some mathematical properties (数学性质) of Ψ ? x ? and Ψ ' ? x ? :
Ψ ? x ? is continuous (连续的) ? ?2 d 2 ? d d2 2m ? ? V ( x) ?Ψ ? x ? ? EΨ ? x ? ? Ψ ' ? x ? ? 2 Ψ ? x ? ? 2 ?V ( x) ? E ?Ψ ? x ? ? 2 dx dx ? ? 2m dx ?

2m ?d ? Ψ ' ? a ? 0 ? ? Ψ ' ? a ? 0 ? ? lim? ? ? Ψ ' ? x ? ? dx ? 2 lim? ? ?V ( x) ? E ?Ψ ? x ? dx ? ?0 dx ? ? ? 0 a ?? ? a ?? ?
? ?

a ??

a ??

1. If V ( x) is finite at a, then Ψ ' ? a ? 0? ? ? Ψ ' ? a ? 0? ? ? 0, i.e., Ψ '( x) is continuous (连续的)
2. If V ( x) is not finite at a, then the integral is not necessarily (不一定) zero Ψ ' ? a ? 0? ? ? Ψ ' ? a ? 0? ? might not be zero i.e., Ψ '( x) might be discontinuous (不连续的) For example, V ( x) ? c? ( x - a) 2m 2m Ψ ' ? a ? 0? ? ? Ψ ' ? a ? 0? ? ? 2 lim? ? ?V ( x) ? E ?Ψ ? x ? dx ? 2 cΨ ? a ? ? ? ? 0 a ?? ?
a ??

Some useful theorems (定理) about stationary (定态) Sch?dinger equation (有关定态薛定谔方程的有用的定理)
? ?2 d 2 ? ? ? V ( x) ?Ψ ? x ? ? EΨ ? x ? ? 2m dx 2 ? ? Potential is real(势函数V ( x)取实值):V ? x ? ? V * ( x)
Theorem 1 (定理一) If Ψ ? u ? iv (u , v are real functions (实函数)) is a solution (解) corresponding to (对应于) energy eigenvalue E (real (实的)), then both the real part (实部) u and the imaginary part (虚部) v are the solutions (解) corresponding to the same eigenvalue E.
? ?2 d 2 ? Proof: ? ? ? V ( x) ? (u ? iv) ? E (u ? iv) 2 ? 2m dx ? Equating (相等) the real part and imaginary part of both sides (两边), respectively (分别) (分别令左右两边的实部和虚部相等),One obtains (可以得到) ? ?2 d 2 ? ? ?2 d 2 ? ? ? V ( x) ? u ? Eu ? ? V ( x) ? v ? Ev ? ? 2 2m dx 2 ? ? ? 2m dx ?

The equation is linear and any linear combination (线性组合) of u and v is a solution ? The conjugate (复共轭) of ?, ?* ? u ? iv is also a solution.

Theorem 2 (定理二) For 1D Schrodinger equation, if ? 1 and ? 2 are linearly independent (线性无关) solutions(解) corresponding to (对应于) E , then

? 1 ( x)? 2 '( x) ?? 1 '( x)? 2 ( x ) ? Const. (常数)

Proof: d 2? 1 2m ? 2 (V ( x) ? E )? 1 2 dx ? d 2? 2 2m ? 2 (V ( x) ? E )? 2 2 dx ? (*) ?? 2 ? (**) ?? 1 : (*) (**)

d 2? 1 d 2? 2 2m 2m ?2 ?? 1 ? 2 (V ( x) ? E )? 1? 2 ? 2 (V ( x) ? E )? 2? 1 ? 0 dx 2 dx 2 ? ? d? 1 d? 2 d 2? 1 d 2? 2 d (? 2 ?? 1 ) ?? 2 ?? 1 ?0 2 2 dx dx dx dx dx d? 1 d? 2 ? (? 2 ?? 1 ) ? Const. dx dx

Degenerate (简并)and non-degenerate (非简并)states 简并和非简并态
For an eigenvalue equation (本征方程), for example, H ψ=E ψ.
If corresponding to an eigenvalue, there is only one independent (独立) solution to the eigenvalue equation, then the solution is non-degenerate. (对一个本征值,本征方程只有一个独立的解,则此解为非简并的). If there are multiple independent solutions (多个独立解) corresponding to an eigenvalue, these solutions are degenerate. This energy level is also called degenerate. (如果对应一个本征值有多个独立解,则这些解是简并的) An example: In a hydrogen atom (氢原子),

States (n,l,m)
When l=1, m=-1, 0, 1, the energy is the same. Therefore, they are degenerate(简并的).

Theorem 3 (定理3) For 1D Schrodinger equation, there are at most (最多) two linearly (线性) independent (无关) solutions (解) corresponding to (对应于) an energy eigenvalue (能量本征值), i.e., each energy has at most two degenerate states (简并态)

Apagogic proof (反证法) Suppose there are three linearly independent solutions: ? 1 ( x), ? 2 ( x) and ? 3 ( x). (假设有三个线性无关的解). According to theorem 2(根据定理2), one obtains

? 1 ( x)? 2 '( x) ?? 1 '( x)? 2 ( x) ? C1
C2 ? (*) ? C1 ? (**) :

(*)

? 1 ( x)? 3 '( x) ?? 1 '( x)? 3 ( x) ? C2

(**)

C2 (? 1 ( x)? 2 '( x) ?? 1 '( x)? 2 ( x)) ? C1 (? 1 ( x)? 3 '( x) ?? 1 '( x)? 3 ( x)) ? C1 C2 ? C2 C1 =0 [C2? 1 ( x)? 2 '( x) ? C1 ? 1 ( x)? 3 '( x)] ? [C2? 1 '( x)? 2 ( x) ? C1 ? 1 '( x)? 3 ( x)] ? 0

? 1[C2? 2 '( x) ? C1 ? 3 '( x)] ?? 1 '( x)[C2? 2 ( x) ? C1? 3 ( x)] ? 0
Let ? =C2? 2 ( x) ? C1 ? 3 ( x) : ? 1? '?? 1 '? ? 0

? '? 1 ? ?? 1 ' ? ? 12 ( ) ' ? ? 12 ? ? 1? '?? 1 '? ? 0 2 ?1 ?1 ? ( ) ' ? 0 ? ? ? C? 1 ? C? 1 ? C2? 2 ( x) ? C1 ? 3 ( x) ?1 A contradiction (矛盾) to the supposition (假设) that ? 1 ( x), ? 2 ( x) and ? 3 ( x)
are linearly independent (线性无关).

Theorem 4 (定理四) For 1D bound states (束缚态), energy levels (能级) all are non-degenerate (非简并) and the wavefunction is real(实的).
Bound state: lim ? ? 0 Normalizable ? satisfying ? ? d? ? 1 is a boud state
2 ? r ??

Apagogic proof (反证): Suppose (假设)? 1 and ? 2 are linearly independent solutions (线性无关解) corresponding to (对应于) the same E. According to theorem 2, (? 2? 1 '?? 1? 2 ') ? C. Because ? 1 and ? 2 are bound states, satisfying lim ? 1 ? 0 and lim ? 1 ? 0,
r ?? r ??

lim(? 2? 1 '?? 1? 2 ') =0=C.
r ??

Therefore (所以), ? 2? 1 '?? 1? 2 ' ? 0.

? ? '? ?? ? ' ? 12 ( 2 ) ' ? ? 12 2 1 2 2 1 ? ? 1? '?? 1 '? ? 0 ?1 ?1 ? ( 2 ) ' ? 0 ? ? 2 ? C? 1 ?1
A contradiction (矛盾) to the initial supposition (初始假设).

Theorem 3 (定理3) For 1D Schrodinger equation, there are at most (最多) two linearly (线性) independent (无关) solutions (解) corresponding to (对应于) an energy eigenvalue (能量本征值), i.e., each energy has at most two degenerate states (简并态)

Theorem 4 (定理四) For 1D bound states (束缚态), energy levels (能级) all are non-degenerate (非简并) and the wavefunction is real(实的).

If there are two linearly independent (线性无关) degenerate states (简并态) corresponding to the same E , then these two states should be non-bound states Non-bound state:lim ? ? 0,
r ??

e.g.(例如), plane wave of a free particle (自由粒子平面波)

Theorem 5 (定理五) For 1D bound state, if V ( x) has even parity (偶宇称), then every eigenfunction ? E ( x) has definite parity (确定宇称) even parity (偶宇称): f (-r ) ? f (r ), even function (偶函数) odd parity (奇宇称): f (-r ) ? - f (r ), odd function (奇函数) V ( x) has even parity : V (- x) ? V ( x)

? ?2 d 2 ? ? ? V ( x) ?? E ? x ? ? E? E ? x ? ? 2 ? 2m dx ? Replace x with - x, ? ?2 d 2 ? ? ? V ( ? x) ?? E ? ? x ? ? E? E ? ? x ? . ? 2 ? 2m dx ?

? ?2 d 2 ? Because V ( ? x) ? V ( x), ? ? ? V ( x) ?? E ? ? x ? ? E? E ? ? x ? 2 ? 2m dx ? ?? E ? x ? and ? E ? ? x ? are solutions corresponding (对应) to E. ? E ? x ? is a bound state (束缚态). According theorem 4, the eigenstates corresponding to E are non-degenerate.

? E ? ? x ? ? C? E ? x ? ? ? E ? x ? ? ? E ? ?(? x) ? ? C? E ? ? x ? ? C 2? E ? x ? ? C 2 ? 1, C= ? 1 ? E ? ? x ? ? ? E ? x ? or ? E ? ? x ? ? ?? E ? x ?

? E ? x ? and ? E ? ? x ? are solutions corresponding (对应) to E when V ( x) has even parity,
regardless of ? E ? x ? being bound or non-bound state (不管? E ? x ? 是束缚还是非束缚态). For bound state, there is no degeneracy (简并性): ? E ? ? x ? ? ?? E ? x ? For non-bound state(非束缚态), the solutions corresponding E might be two fold degenerate (双重简并) according to theorem 3(定理三), E ? x ? and ? E ? ? x ? might be ? linearly independent. Define:

? E ? ? x ? ? ? E ? x ? ? ? E ? ? x ? even parity ? E ? ? x ? ? ? E ? x ? ?? E ? ? x ? odd parity ? E ? ? x ? and ? E ? ? x ? are also solutions due to the linearity (线性) of the Schrodinger equation.
Therefore, if V ( x) ? V (- x), we can always find the solutions with definite parity ( 确定宇称).

An example : A free particle (自由粒子), ( x) ? 0 V ? ?2 d 2 ? Schrodinger equation: ? ? ? V ( x) ?Ψ ? x ? ? EΨ ? x ? 2m dx 2 ? ? ?2 d 2 V ( x) ? 0 : ? Ψ ? x ? ? EΨ ? x ? 2m dx 2 2mE d 2 2 k ? 2 : Ψ ? x ? ? k 2Ψ ? x ? ? 0 2 ? dx Solutions: Ψ ? x ? ? 1 2mE e ? ikx , k ? ? 2? ?

1 1 eikx and e ? ikx are linearly independent. 2? ? 2? ? They are non-bound states (非束缚态). ?2k 2 They are degenerate states (简并态) corresponding to energy E ? . 2m They do not have parity, but their combination (组合) can have parity. 1 1 2 eikx ? e ?ikx ? cos(kx) even parity 2? ? 2? ? 2? ? 1 1 2i eikx ? e ?ikx ? sin(kx) odd parity 2? ? 2? ? 2? ?

The procedure of solving 1D Schrodinger equation (V(x) is a piecewise constant function) 解定态1D薛定谔方程的步骤(V(x)是分段常数函数) 1. Write out the Schrodinger equation 写出薛定谔方程

piecewise constant function

分段常数函数

2. Write down the general solutions (通解) in different regions of V(x). 写下在不同区域的通解

3. Boundary conditions (写出边界条件)

1). V ( x) is finite (有限): At the boundary (在边界) x ? a, ? ? x ? and ? ' ? x ? should be continuous at a. ?1 ? a ? ? ? 2 ? a ? , ?1 ' ? a ? ?1 ? a ? ?2 '?a? ?2 ?a? ?1 ' ? a ? ? ? 2 ' ? a ? 或 ? ln? 1 ? a ? ? '= ? ln? 2 ? a ? ? ' Sometimes, the condition is written as(有时写成如下形式) ?

2)V ( x) is infinite at the boundary x ? a (在边界x ? a 处无限) ? ? x ? should be continuous at a (在a点连续), ?1 ? a ? ? ? 2 ? a ? i) If V ( x) is infinitely high in one region (not only at a ), then 如果V ( x)在一个区域内无穷大(不仅在a点) ?1 ? a ? ? ? 2 ? a ? ? 0
0 a ∞

ii) If V ( x) is infinite only at the boundary x ? a, then 如果V ( x)仅在a点无限 ?1 ' ? a ? and ? 2 ' ? a ? are discontinuous at a. 在x ? a处不连续 (满足一定的跃变条件)

3).For bound state(束缚态), lim ? ( x) ? 0
x ??

4. From the boundary conditions, determine the wave function and obtain the quantization of energy
由边界条件确定波函数得到能量量子化

5. From the normalization condition, obtain the coefficients of the wave function c1, c2, c3 和c4.

波函数归一化条件定出波函数系数c1, c2, c3 和c4

Square well with infinite height, discrete spectrum 一维 无限深方势阱,分立谱

Consider a particle of mass m confined in an infinite one-dimensional potential well of width 2a:
?0 V ( x) ? ? ?? x ?a x ?a

2. Write down the general solutions(通解)in different regions of V ( x). 写下在不同区域的通解

3. Boundary conditions (边界条件) :

Ψ ? a ? ? Ψ ? ?a ? ? 0

4. From the boundary conditions, determine the wave function and obtain the quantization of energy 1) The solution with even parity (具有偶宇称的解) A cos(-ka ) ? A cos ka ? 0 To obtain a non-zero solution (为得到一个非零解), A ? 0 n n? ? cos ka ? 0 ? ka ? ? ? k ? , n ? 1,3,5, 7...... 2 2a ?2k 2 1 ? n?? ? Quantization of energy: E= ? ? ? 2m 2m ? 2a ?
2

2) The solution with odd parity (具有奇宇称的解) A sin(-ka) ? A sin ka ? 0 To obtain a non-zero solution (为得到一个非零解), A ? 0 ? sin ka ? 0 ? ka ? l? ? k ? l? n? ? , n ? 2, 4, 6,8...... a 2a
2

?2k 2 1 ? n?? ? Quantization of energy: E= ? ? ? 2m 2m ? 2a ?

5. From the normalization condition , obtain the coefficients of the wave function. 波函数归一化条件定出波函数系数 cos 2kx ? 1 1 ? ? Ψ ? x ? dx ? ? Ψ ? x ? dx ? ? A cos kx dx ? A ? dx ?? ?a ?a ?a 2 A2 A2 A2 n? ? aA2 ? (sin 2ka ? sin( ?2ka)) ? aA2 ? sin 2ka ? aA2 ? sin 2a ? aA2 4k 2k 2k 2a
?? 2 ?a 2 ?a 2 2 ?a

1? ?

?a

?a

A sin kx dx ? ? ( A ? A cos kx)dx ? 2aA ? ?
2 2 2 2 ?a

2

?a

?a

?a

A2 cos 2 kxdx ? aA2

1 A? a ? ? ? ?Ψ n ? x ? ? ? ? ? ? 1 n? cos x, n is odd 2a a 1 n? sin x, n is even 2a a

Discussion (讨论) (a). The ground state (基态)

ground state(基态) : lowest energy 能量最低,most stable 最稳定

? 2? 2 E1 ? ? 0 Zero-point energy 2 8ma 1 ? Ψ1 ? x ? ? cos x 2a a
Why n can not be zero? If n ? 0 ? E0 ? 0, k ? n? / 2a =0 Why n can not be 0? If n ? 0 (even number), the wave function should be 0? ?Ψ 0 ? x ? ? A sin( x) ? 0 2a

(b) The nodes of the wave functions (波函数的节点 ) node: the place whereψ(x)=0 (节点:波函数为零的点)

Except the end points (除去端点), the ground state wave function has no node 基态波函数除 端点外无节点

1 ? Ψ1 ? x ? ? cos x, 0 ? x ? a 2a a 1 ? Ψ2 ? x? ? sin x, 0 ? x ? a a a

?a

Except the two end points, the number of the nodes of Ψ n ? x ? is ( n -1) 除去两个端点,Ψ n ? x ? 的节点数为(n -1)

(c) Ψ n ? x ? is continuous in the whole space. Ψ n ' ? x ? is discontinuous at ? a Ψ n ? x ? 波函数在全空间连续,Ψ n ' ? x ? 在 ? a不连续 ? ? ? Ψn ? x? ? ? ? ? ? 1 n? cos x, n is odd 2a a , 1 n? sin x, n is even 2a a n? 1 n? ? 1 cos ( ? a) ? cos ? 0, n is odd ? a 2a 2 a ? Ψ n ? ?a ? ? ? ? 1 sin n? ( ? a ) ? 1 sin ? n? ? 0, n is even ? a 2a 2 a ?

n? n? ?n? ? n? ? ?n? ? ?n? sin x, n is odd sin ( ? a) ? 3/2 sin ? 0, n is odd ? 2a 3/2 ? 2a 3/2 ? ? 2a 2a 2a 2 Ψ n '? x? ? ? , Ψ n ' ? ?a ? ? ? ? n? cos n? x, n is even ? n? cos n? ( ? a) ? n? cos n? ? 0, n is even ? 2a 3/2 ? 2a 3/2 2a 2a 2a 3/2 2 ? ?

(d). 1D bound state: no degeneracy, the wave function is real (Theorem 4)

一维束缚态:无简并,波函数是实的 (定理四)

Bound state in symmetric square well with finite depth (对称有限深势阱中的束缚态.)
? ?V0 V ( x) ? ? ? 0 1.当 x ? a时,V ( x) ? 0, E ? 0
? ?2 d 2 ? ? V ( x) ?Ψ ? x ? ? EΨ ? x ? ?? 2m dx 2 ? ? d2 2m Ψ ? x ? ? 2 EΨ ? x ? ? 0, dx 2 ? ?2mE d2 ?? : Ψ ? x ? ? ? 2Ψ ? x ? ? 0 2 ? dx General solution (通解为):Ψ ? x ? ? Ce ? ? x ? C ' e ? ? x

x ?a x ?a

?V0 ? E ? 0
If E ? 0, then the state is a non-bound state.

Boundary condition:bound state ? Ψ ? ? ? ? 0 边界条件:束缚态 ? Ce ? ? x ? C ' e ? ? x ? Ce ? ? x Ψ ? x? ? ? ?? x Ce ? C ' e ? ? x ? C ' e ? ? x ? x?a x ? ?a

V ( x) has even parity : V ? x ? ? V ? ? x ? . Theorem 5 (定理五) For 1D bound state, if V ( x) has even parity (偶宇称), then every eigenfunction ? E ( x) has definite parity (确定宇称) Therefore, we can seek the solution with parity from the beginning 所以我们一开始就可以寻求具有宇称的解

Boundary condition (边界条件) Ψ ? x ? is continuous (连续的) Due to the finite depth of the potential(有限深势阱), Ψ ' ? x ? is also continuous ? A cos ka ? Ce ? ? a Ψ ? x ? is continuous ? At x ? a : ? , ?? a Ψ ' ? x ? is continuous ?-kA sin ka ? ? ? Ce ? ? k tan ka ? ?

Introduce two parameters(引入两个参量):

? ? ka,

? ? ?a

k?

2m( E ? V0 ) ?

?2mE , ?? ?

2mV ? k2+ ? 2 ? 2 0 ?

2ma 2V0 ? ? 2 ?? 2 ? ? r2 ?2

No matter how small r is, there is a solution. No matter how small the potential V0 or a are , there always exists a bound state. 不管势有多小多窄,总存在一个束缚态的解 This is because that there is one curve of ? tan(? ) ? ? passing through the origin 这是因为总有一条曲线? tan(? ) ? ? 通过原点 Temperature T

The boundary condition at x ? ?a give the same results, because the x ? a and x ? -a are symmetrical.

Boundary condition(边界条件) Ψ ? x ? is continuous (连续的) Due to the finite depth of the potential(有限深势阱), Ψ ' ? x ? is also continuous At x ? a : A 'sin ka ? Ce ? ? a , kA cos ka ? ? ? Ce ? ? a ? k cot ka ? ? ?

Introduce two parameters(引入两个参量): ? ? ka,

? ? ?a

2ma 2V0 ? 2 ?? 2 ? ? r2 ?2

Quantum well is a “sandwich” made of two different semiconductors in which the energy of the electrons is different, and whose atomic spacings are so similar that they can be grown together without an appreciable density of defects:

Material A (e.g. AlGaAs)
Electron energy

Material B (e.g. GaAs)

Position

Now used in many electronic devices (some transistors, diodes, solid-state lasers)

The bound state in a ? potential well -?? ( x)(? 势阱中的束缚态), ? 0 E d2 2m 1. Equations: Ψ ? x ? ? 2 ? E ? V ?Ψ ? x ? ? 0 dx 2 ? d2 2m Ψ ? x ? ? 2 ? E ? ?? ? x ? ?Ψ ? x ? ? 0 dx 2 ? 2 d ?2mE When x ? 0, Ψ ? x ? ? k 2Ψ ? x ? ? 0, k ? ? 0, ? E ? 0 dx 2 ? ? c1e ? kx x?0 kx ? kx 2. General solution: Ψ ? x ? ? c1e ? c2e ? ? Bound state ? kx x?0 ? c2 e ? potential well ?? ? x ? has an even parity (偶宇称). Therefore, we can only discuss the state with a definite parity (具有确定宇称的态)

(a)The states with even parity (具有偶宇称的态) General solution: Ψ ? x ? ? c1e ? c2e
kx ? kx

? c1e ? kx ?? c2 e ? kx ? ,

x?0 x?0

Bound state (束缚态) x?0 x?0

?ce? kx Due to even parity: Ψ ? x ? ? ? ? kx ? ce

x?0 x?0

??cke ? kx Ψ '? x? ? ? cke ? kx ?

Boundary conditions: 1)The continuity of Ψ ? x ? at x ? 0 has been satisfied: Ψ ? 0? ? ? Ψ ? 0? ? ? c 2)The jump of Ψ ' ? x ? at x ? 0 Ψ ' ? 0? ? ? Ψ ' ? 0? ? ? ? 2m ?Ψ ?0? 2 ? m? 2 ? E?? 2 2?

?? 2m ?m ?2mE ?ck ? ck ? c ? k? 2 ? (E ? 0) 2 ? ? ? There is only one bound state with even parity.

(b)The states with odd parity (具有奇宇称的态) General solution: Ψ ? x ? ? c1e kx ? c2e ? kx ? ce ? kx Due to even parity: Ψ ? x ? ? ? ? kx ? -ce ? c1e ? kx ?? c2 e ? kx ? x?0 x?0 x?0 Bound state (束缚态)

x?0

Boundary conditions: The continuity of Ψ ? x ? at x ? 0 has to be satisfied: Ψ ? 0 ? ? ? c ? Ψ ? 0 ? ? ? ?c c?0 There is no bound state with odd parity. If a wave function ? ( x) has odd parity, then it is zero at x ? 0. ? The wave function is not affected by the ? potential well.

One dimensional harmonic oscillator一维谐振子
In the previous (前面) examples, the potential is a piecewise constant function (分段常数函数). The potential of a harmonic oscillator has a quadratic form (二次形式): V ( x) ?
Harmonic oscillator is a very important model for vibration of atoms in solids 谐振子是固体中原子振动的一个重要模型 Suppose the equillibrium position (平衡位置) of the atom is a, its potential can be expanded in Taylor series (它的势可以用泰勒级数展开) 1 1 V ( x ? a ) ? V (a ) ? V '(a ) x ? V ''(a ) x 2 ? V '''(a ) x 3 ? ??? 2 3! At the equilibrium position, the force on the atom is zero, i.e., V '( a) ? 0. 在平衡位置,原子受力为零,即V '(a ) ? 0。 V (a ) is a constant (常数) and can be set to zero. 1 1 V ( x ? a ) ? V ''(a ) x 2 ? V '''(a ) x 3 ? ??? 2 3! The harmonic approximation is the first approximation. 1 简谐近似是第一级近似:V ( x ? a ) ? V ''(a ) x 2 2

1 2 Kx 2

In a harmonic potential, the foce on the atom is F ? -dV ( x) / dx ? - Kx Classical mechanics 经典力学: ?? mx ? ? Kx ? ? ? K / m p2 1 The total energy is: E ? T ? V ? ? m? x 2 2m 2

In quantum mechanics, the Hamiltonian is p2 1 ?2 d 2 1 H? ? m? x 2 ? ? ? m? x 2 2m 2 2m dx 2 2 Schrodinger equation: ? ?2 d 2 1 ? ? m? 2 x 2 ? Ψ ? x ? ? EΨ ? x ? ? 2m dx 2 2 ? ? Since the harmonic potential is infinitely high, there are only bound states. 因为简谐势无穷高,所以只有束缚态。

Nondimensionalization of the equation 方程无量纲化 ? ?2 d 2 1 ? ? m? 2 x 2 ? Ψ ? x ? ? EΨ ? x ? ? 2m dx 2 2 ? ? The coefficients of wave function have the dimension of energy 系数具有能量量纲 An oscillator of frequency ? has the energy ?? 一个具有频率为?的振子能量为?? 1 We can see later that the unit of energy of a harmonic oscillator is ?? 2 1 我们后面可以看到一个谐振子的能量单位是 ?? 2 1 Divide both sides of the equation by ??, and we obtain 2 ? 1 d 2 m? 2 ? E ? x ?Ψ ? x ? ? Ψ ? x? ? 2 ? ?? / 2 ? ? m? / ? ? dx ? Define the new dimensionless variables 定义无量纲新变量 E m? , ?? x ?? / 2 ? and we get the dimensionless equation 我们得到无量纲方程

??

? d2 ? - 2 ? ? 2 ? Ψ ?? ? ? ?Ψ ?? ?, i.e.,即 ? ? d? ?

d2 Ψ ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?Ψ ?? ? ? 0 d? 2

Asymptotic solution when ? ? ?

? ? ?时的渐近解

d2 Ψ ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?Ψ ? ? ? ? 0 d? 2 d2 ? ? ? : 2 Ψ ?? ? ? ? 2Ψ ?? ? ? 0 d? ?? 2 / 2 The asymptotic solution 渐近解:Ψ ?? ? ? e ?? 2 / 2 ?? 2 / 2 Verification验证: Ψ ?? ? ? e ,Ψ ' ?? ? ? ?? e , Ψ '' ?? ? ? ? e
2 ?? 2 / 2

?e

?? 2 / 2

Bound state requires束缚态要求 lim Ψ ?? ? ? 0, and henceΨ ?? ? ? e
? ??
?? 2 / 2

? ? ? ? 1? e
2

?? 2 / 2

? ??

? ? e

2 ?? 2 / 2 ?? 2 / 2

The unkown part of Ψ ?? ? is Ψ ?? ? / e , and we suppose(假设) ?? 2 / 2 it is u (? ), i.e., we are trying a transformation (变换) Ψ ?? ? ? e u (? ) d2 d u ? 2? u ? ? ? ? 1? u ? 0 2 d? d? This is a Hermite equation. 这是一个厄米方程

d2 d Solution of u ? 2? u ? ? ? ? 1? u ? 0 2 d? d? Expand u (? ) by the seires of ? n 把u(? )按? n级数展开 u (? ) ? ? a? ? ?
? ?0
?

Since the potential has even parity, the solution has definite parity 因为势函数具有偶宇称,所以解有确定的宇称 ? a0 ? a2? 2 ? a4? 4 ? ? Even parity 偶宇称 u (? ) ? ? a1? ? a3? 3 ? a5? 5 ? ? Odd parity 奇宇称 ? Substituting the series into the equation and comparing the coeffient of ? ? , we get 将级数带入方程并比较? ? 的系数,我们得到 a? (2? ? 1 ? ? ) a? ? 2 ? (? ? 1)(? ? 2) Some simple solutions:

? ? 1 : u ? a0 , a2 ? a4 ? a6 ? ? ? 0 even parity ? ? 3 : u ? a1? , a3 ? a5 ? a7 ? ? ? 0 odd parity

It can be seen that if

? =2n ? 1,
?? 2 /2

then an ? 2 ? an ? 4 ? an ?6 ? ? ? 0, u (? ) is a polynomial (多项式) of ? with a parity of (-1) n When ? ? ?, Ψ ?? ? ? e u (? ) ? ? e
n ?? 2 /2

? 0, i.e.即, Ψ ?? ? is a bound state (束缚态)

? =2n ? 1 ?

E 1 ? E ? (n ? )?? quantization of the energy 能量量子化 ?? / 2 2

The asymptotic behavoir of u (? ) if ? ? 2 n ? 1 如果? ? 2 n ? 1, u(? )的渐近行为 All a? is not zero and the series is infinite 所有a? 不为零因此级数是无穷的 The asyptotic behavoir of an infinite series is determined by its high order terms 一个无穷级数的渐近行为由其高次项决定 a? ? 2 (2? ? 1 ? ? ) 2 ? ? (? is much larger than ?. ) a? (? ? 1)(? ? 2) ?

? ? 2l for even parity solution 对偶宇称解 ? ? 2l ? 1 for odd parity solution 对奇宇称解

The asymptotic behavoir of e e ? ? C2 n?
?2
n ?0 ? 2n

?2

??
n ?0

?

? 2n
n!

C2 n ?

C C 1 1 2 2 a ? 2n?2 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?2 n! C2 n n ?1 C? ? ?2 ? a?

Therefore, asymptotic behavoir of u (? ) when ? ? 2n ? 1 is the same as that of e 所以,当 ? ? 2n ? 1时,u (? )渐近行为与e 的一样 Ψ ?? ? ? e ?? /2u (? ) ? e
2

?2

?2

? ??

1 ? ?2 ?2 2

e ?e

1 2 ? ?? ? 2

??

Ψ ?? ? is not a bound state (不是束缚态). The conclusion is that ? has to be 2n ? 1 1 The energy can only be En ? ( n ? )?? 2 En ?1 - En ? ??

The solution of the Hermite equation is the Hermite polynomial H n (? ) 厄米方程的解是厄米多项式

Wave function

Probability density

Notes :
1. There are infinite oscillation modes and infinite number of frequencies In classic physics, there is only one mode and one frequency 有无穷个振动模式和振动频率。而经典物理中只有一个模式和一个频率

2. Zero point energy 零点能 In classic physics, the energy of the oscillator can be infinitely small (无限小) 1 2 x(t ) ? A sin ?t , E ? A 2 The smallest energy is zero and the particle stays at the equilibrium position x ? 0 最小能量是0,此时粒子呆在平衡位置x ? 0 (0 K ) In quantum mechanics, the energy of the oscillator has a non-zero minimum (非零最小值) 1 E= ?? , 2 the oscillation never stops even at 0 K

3. The particle can go to the region where the potential energy is higher than the particle energy 粒子可以到势能比能量高的区域。 Classically forbidden zone经典禁区 Particle can only move between the two returning points where the potential energy is equal to the oscillator energy 粒子只能在势能等于振动能量的两个点之间运动 In quantum mechanics, the wave function is not zero beyond the returning points, 在量子力学中,波函数在回转点之外不为零 The particle has some probability to go to the region where the potential energy is higher than the particle energy

4. Quantum and classic probability density (量子和经典概率密度)

Classic probability density P( x)
2dx 2dx 2? dx ?dx /T ? ? ? v vT T? v ?v

One-dimensional scattering problem一维散射问题

Quantum tunneling 量子隧穿

Classic picture of scattering E ? V0 the particle can go over the barrier 粒子能越过势垒 E ? V0 the particle is reflected completely 粒子完全被反射

Quantum picture of scattering E ? V0 the particle has the probability to tunnel through the barrier 粒子有遂穿势垒的几率

平面波波函数及其传播方向

c.c.,conjugate counterpart of the previous terms 代表前面项的复共轭p35

R D ? ? a ?ika ? ? ? ?e , A A R D * ? ? a ?ika * ? ? ? ? e A A ? ? ik ? ? ik 1 * ?? , ? ?1 , ? ? = ? ? ik ? ? ik ?

D (? ? ? * )e ? ika ? ?? a , * ?a A ?e ?? e
2 * 2

R e? a ? e? ? a ? ??a A ? e ? ? *e ? a

? ?? D = 2 ? a ?2 ? a Transmission coefficient 透射系数 2 *2 A e ?e ? (? ? ? )

?e ? e ? R ? 2 ? a ?2 ? a Reflection coefficient 反射系数 2 *2 A e ?e ? (? ? ? )
2

?a

?? a 2

The conservation of probability (几率守恒) ? ?? ? ? ? ? ? e ? e ? D R ?(? 2 ? ? *2 ? 2) ? e 2 ? a ? e ?2 ? a ? 2 ? ? 2 ? a ?2 ? a ? ?1 2 *2 2? a ?2 ? a 2 *2 A A e ?e ? (? ? ? ) e ?e ? (? ? ? )
2 2 * 2

?a

?? a 2

Usually e 2 ? a ?? 1, i.e., ? a ?? 1, the attenuation length 1/? ? a 衰减长度 D = 2 ? a ?2 ? a ? 2 *2 A e ?e ? (? ? ? )
2

? ?? ? ?

* 2

?

? ?? ? ? e2 ? a

* 2

?

?

? ??

* 2

e2 ? a

? 4k ? ? ?2 ? a ?? 2 e 2 ? ?? ?k ? ? ? ? 2a ? e ? ? ? ?
2 2 m?V0 ? E ?

2

2mE k? ,?? ?

? 2m E ?V0 ? E ? ?4 2m ?V0 ? E ? ?2 ? : ? ? 2mE 2mV0 ? E ? ? ?2 ? ?2 ? = 16 E ?V0 ? E ? V0
2

e

?

2a 2 m?V0 ? E ? ?

? D0 e

?

2a 2 m?V0 ? E ? ?

Total transimission coefficient ( 总透射系数) Di ~ e
? 2a 2 m?V0 ? E ? ? ? 2 dx 2 dx 2 dx 2 m ?V1 ? E ? ? 2 m ?V2 ? E ? ? 2 m ?V3 ? E ? ? ? ?

D ? D1 D2 D3 ? ? e ?e
?

e

e

?

2 dx 2 dx 2 dx 2 m?V1 ? E ? ? 2 m ?V2 ? E ? ? 2 m ?V3 ? E ? ? ? ?

? e ?x1 ?
?

x2 2

2 m ?V ( x ) ? E ?dx

For E ? V0 , ? is purely imaginary 纯虚数 ? ? ? ik i? ? ik ? ? k ?? = = , ? ? ik i? ? ik ? ? k e ? a ? ei? a , e ? ? a ? e ?i? a

??

2m ?V0 ? E ?

? i?

? ? ik ? ? k 1 ? ? = ? ? ? ik ? ? k ?
*

Resonant tunneling 共振遂穿 e ?e R ? 2? ia ?2i? a Reflection coefficient 反射系数 2 *2 A e ?e ? (? ? ? )
2 i? a ? i? a 2

If ei? a ? e ? i? a ? 0, i.e., e 2i? a

R D ? 1 and ? a ? ? , 2? ,3? ?, ? 0 and ?1 A A

2

2

There is only transimission and no reflection. 只有透射没有反射

??

2m ? E ? V0 ? ?

p 2? p 2? ? ? ? , ? h ?

? a ? ? , 2? ,3? ? ?

2a

?

? 1, 2,3, ?

V

16 E (V0 ? E ) ? 2a ? T? exp ? ? 2m ?V0 ? E ? ? V02 ? ? ?

高度,或表面起伏

粒子处在V0>E的区域
从经典观点来看, 由E = T + V(x), 如果动能大于零,则能量不守恒,如果能量守恒,则动能小于零。 从量子观点来看 T与动量有关,V(x)与坐标有关,根据Heisenberg 不确定性原理,粒子的 位置和动量不能同时具有确定值,相应地,其势能和动能也不能同时确 定。所以问某个时刻粒子在某个确定位置的的动能是多少时没有意义的。 后面要讲到,E = T + V(x)是两个算符的等式。 能量守恒在量子力学里是指每个时刻的平均能量不随时间变化,而不是 粒子在某些确定位置的能量不随时间变化。

3.4 ? 势
3.4.1 Delta 势穿透(非束缚态,E>0)
考虑粒子从x<0区域入射,碰到x=0处的delta 势
I II

V ? x ? ? ?? ? x ?

3. 边界条件:

波函数总是连续的:

波函数的导数:
由于势函数是delta函数,在x=0处无穷大,波函数的导数在x=0处不连续

波函数的导数在连接处的跃变

两边求积分 (对delta函数的处理,一般总离不了求积分,因为它是通过积分而获得定义的)

此即为跃变条件

波函数导数跃变条件:

与波函数连续条件联立:

讨论:

a) ? 换成-? ,即势垒换成势阱,反射系数和透射系数不变
b) 虽然波函数的导数在x ? 0处不连续,但粒子流j在x ? 0处是连续的
j ? x? ? ?ih ? * d d ? Ψ ? x ? Ψ ? x? ?Ψ ? x? Ψ * ? x ? ? ? 2m ? dx dx ?

波函数总是连续的: 波函数导数跃变条件:

?i? ? * ? d ? ? ? d j ?0 ? ? Ψ ?0 ? Ψ ?0 ? ? Ψ ?0 ? Ψ * ?0 ? ? ? ? 2m ? dx dx ? ?i? * ?k 2 * ? S ? ikS ? ? S ? ?ikS ? ? S 2m 2m
?

x ?0 ?

?

?

?i ? ? * ? d ? ? ? d j ?0 ? ? Ψ I ?0 ? Ψ I ?0 ? ? Ψ I ?0 ? Ψ I * ?0 ? ? ? ? 2m ? dx dx ? * ?i ? * ? ? 1 ? R ? ?ik ? 1 ? R ?? ? ? 1 ? R ? ?ik ?1 ? R ?? ? ? ? ? 2m ?k ? ? 1 ? R* ? ? 1 ? R ? ? ? 1 ? R ? ? 1 ? R* ? 2m ?k ?k 2 * ? 2 ? 1 ? RR ? ? 1? R 2m m ?k 2 ? S 2m
?

?

?

?

?

?

?

? j ?0 ? ? ? j ?0 ? ? 即几率流密度连续,虽然波函数导数不连续

完整的薛定谔方程的求解步骤
time independent: 非含时

Boundary conditions: 边界条件

Time dependent: 含时

Initial conditions: 初始条件

Time evolution: 随时间演化

1. 请写出下面微分方程的通解:

其中:k2>0

Delta 势穿透(非束缚态,E>0)
考虑粒子从x<0区域入射,碰到x=0处的delta 势

V ? x ? ? ?? ? x ? , ? ? 0

请求解波的反射系数和透射系数 I

II

V ? x ? ? ?? ? x ?

请求解能级和波函数

Chapter 3 The postulates of quantum mechanics
量子力学的基本假设
1 Description of the state of a system 对系统状态的描述 First Postulate : At a fixed time t0 , the state of a physical system is defined by specifying a wave function ? belonging to the state space ? . 基本假设1:在给定时刻t0,系统的物理状态由在状态空间中指定 一个波函数来定义

Born's statistical interpretation玻恩统计诠释 : At time t, in a volume element(体积元)d? ? dxdydz situated(处于) at the point r, the probability to find the particle is :
? (r, t ) d? ? ? (r, t )? * (r, t )d?
2

? * (r, t ) is the conjugate (复共轭) of ? (r, t )

In classic mechanics, the state of a particle is specified by its position and momentum: x, y, z, px , p y , pz

2 Time evolution of systems 系统随时间的演化 Second Postulate : The time evolution of the wave function is governed by the Schrodinger equation波函数随时间的演化由薛定谔方程决定 ? ?2 2 ? ? ? r ,t) ? ? i? Ψ( r ,t) ? HΨ( ? ? V (r ) ?Ψ( r ,t). ? ?t ? 2m ? ? H is called the Hamiltonian operator 哈密顿量算符 of the system, as it is obtained from the classical Hamiltonian.

In classical mechanics, the time evolution of the systems is governed by Newton equations在经典力学中,系统随时间的演化由牛顿方程决定

? r ? r, p ? p ? ?i?? In classic mechanics, r and p are the basic physical quantities(基本物理量). Other quantities can be derived (导出) from r and p, indicating that all physical quantities should be represented by operators (由算符表示).

3. Description of physical quantities 对物理量的描述 Third Postulate : Every measurable physical quantity A is described by an ? operator A acting in state space ? ; this operator is an observable. 每一个可测量的物理量由一个作用于状态空间的算符来描述;这个算符 就是可观测量
Unlike classical mechanics , quantum mechanics describes in a fundamentally different manner the state of a system and the associated physical quantities : a state is represented by a wave function, a physical quantity by an operator. 状态由波函数表示,物理量由算符表示

与经典力学不同,量子力学用完全不同的方式来描述系统状态和相关物理量:

? Some examples: Position: r ? r, Momentum: p ? p ? ?i??
? p2 ?2 2 ?2 ? ?2 ?2 ?2 ? ? Kinetic energy 动能:T ? ?? ? ?? ? 2? 2? 2? 2m 2m 2m ? ?x ?y ?z ?

? ? Angular momentum 角动量算符:L ? r ? p ? ?i?r ??
In cartesian coordinates 在直角坐标系下 i ? ? L ? r?p ? x ? px j y ? py k z ? pz

? ? ? ? ? ? ? i ( ypz ? zp y ) ? j( zpx ? xpz ) ? k ( xp y ? ypx )
?? ? ? ? ? ? ? ?z ? L x ? ypz ? zp y ? ?i? ? y ? ?z ?y ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? L y ? zp x ? xp z ? ?i? ? z ?x ? ?x ?z ? ? ? ? ? z ? xp ? yp ? ?i? ? x ? ? y ? ? ?y ?x ?L ? ? ?x ? ? ? ?y ?

How to obtain the quantum quantities from the classical quantities ? ? ? ? F ? p, r ? ? F ? F p, r ? F ?i??, r

? ?

?

?

L ? r ?p

? ? L ? r ? p ? ?i?r ??
? ? ? ? ? But A ? r ? p ? p ? r (Quantum)

This rule has some uncertainties A ? r ? p ? p ? r (Classical经典) The correctness can be checked by some criteria, e.g. Hermiticity 厄米性 and should be checked by experiments 正确性由一些标准,如厄米性来检验,也要由实验来检验
Some quantum quantities do not have the correspondance in classical physics 有些量子的物理量没有经典对应 ? Spin: can not be derived from r and p. 自旋不能由位置和动量得到

Superposition Postulate 1. Any state (wave function) can be a linear superposition of other states. 任何一个态可以由其他态的线性叠加而成

? ? C1? 1 ? C2? 2 ?? 2. If ? 1 , ? 2 ? are realizable states, then their linear superposition is
also a realizable state 如果? 1 , ? 2 ?是可以实现的态,则它们的 线性叠加也是可以实现的态 3. If ? is a linear superposition of ? 1 ,? 2 ?, then the system is partially in state ? 1 , partially in state ? 2 ? 如果? 是? 1 ,? 2 ?的线性叠加,则系统部分地处于? 1,部分地处于? 2 ?

Nolinear superposition of the states (wave function), , e.g. 态的非线性叠加,例如

? ? ? 1 ? ? 2 ? ?? 3 ? ? ? 4 ??
2

has no physical meaning. 没有物理意义

The superposition of the state of polarized photon.

Classical picture: Superposition of electrical field

E ? E0 cos ? e x ? E0 sin ? e y
At any time, there is light passing through and absorbed by the polarizer, simultaneously. 任何时候,同时有光通过偏振器或被它吸收 Quantum picture:

A photon is indivisible不可分的. It never occurs that half photon passes and the other half of photon is absorbed. It either passes completely or is absorbed completely. 不可能发生半个光子通过而另 半个光子被吸收的情况。一个光子要么完全通过,要么完全吸收 If photon is emitted one by one, then sometimes a photon is detected and sometimes not.

The photon is at the state of the linear superposition of the states polarized along x axis and along y axis. 光子处于沿x方向和沿y方向偏振态的叠加态 It is a superposition of the probability amplitude instead of any physical quantity. 它是几率振幅的叠加而不是任何物理量的叠加 (Probability amplitude does not corresponds to any operators.) 几率振幅这个量不对应任何算符

? ? ? ? 2?
Classical picture: the vibration amplitude is doubled, and hence the energy is increased by a factor of 4. 振动这幅加倍,能量随之增为原来的4倍 Quantum picture: ? and 2? describes the same state.

? 和 2? 描述的是同一个态

Linear Operators 线性算符
Definition: An operator is a mapping 映射 between functions. 一个算符是函数间的映射 Examples: ? ? r ? ? V (r )? ? r ? ? ? ? r ? ? d? ? r ? dx ? ? A? ? r ? ? ? * ? r ? ? A? ? r ? ? ? ? r ? ? 1

A function is a mapping between the numbers. f ( x) ? A sin x

算符的相等 ? ? ? ? If for all wave function, A? ? B? , then A ? B 函数的相等 If for all numbers, f ( x) ? g ( x), then f ? g

? Definition: A is an linear operator if it satisfies ? ? ? A ? C ? ? C ? ? ? C A? ? C A?
1 1 2 2 1 1 2 2

where ? 1 and ? 2 are arbitary wave functions and C1 and C2 are arbitary complex constants. 其中? 1 和 ? 2 是任意波函数、C1 和 C2 是任意复常数。

The definition of the addition and subraction of operators. ? ? ? ? 算符加减的定义: (A ? B)? ? A? ? B?
? ? ? ? commutative law of addition: A ? B ? B ? A 加法交换律 ? ? ? ? ? ? associative law of addition: A ? B ? C ? A+ B ? C 加法结合律

?

?

?

?

The definition of the product of operators. ?? ? ? 算符乘法的定义: AB? ? A(B? ) ? Let ? ? (B? ) : ?? ? ? ? AB? ? A(B? ) ? A?

Noncommutativity 不可交换性 of the multiplication of operators (算子乘法不可交换性) ?? ?? AB? ? BA? e.g., Multiplication of matrice 矩阵 Dirac称算符为Q-数(Q-number,Quantum number), 一般的复数为C-数(C-number, Classical number)

? ? ? ? ?2 ? ? px p y ?? ? px ? p y? ? ? ?i? ? ?i? ? ? ? ?? 2 ? ?? ? ?x ? ?y ? ?x?y

? ? ? px p y ? ? ? ?x?y
2 2

? ? ? ? px p y ? p y px commutable

? ? ? ? ? ? px x ?? ? px ? x? ? ? ?i? ? x? ? ?x ? ? ? ?? ? ?i? ? x ? ? ? ? ? ? xpx ? i? ?? ? ?x ? ?? ? ? xpx ? px x ? i? not commutable

The "function" of operators Example 1: ? ? ? ? ? ? f (A) ? A 2,f (A)? ? A 2? ? A(A? ), ? ? ? ? ? P? ( x) ? ? ( ? x) ? P 2? ( x) ? P(P? ( x)) ? P? ( ? x) ? ? ( x) Example 2
d d d d d 1 d 1 d 1 d dx dx f ( ) ? e , f ( )? ? e ? ? (1 ? ? ? ? ... ? ? ...)? dx dx dx 2 dx 3! dx n ! dx Matrice multiplication 矩阵乘法 ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? A2 ? AA, A3 ? AAA, A0 ? 1, An Am ? Am An ? An ? m 2 3 n

The unit operator and the reverse operator单位算子和逆算子 ? ? If for all wave function ?:? ? ?,then I is a unit operator I ? ? 如果对所有的?,I? ? ? 成立,则 I为单位算符(对应单位矩阵) ? ? ?? ? For operator A,if there exists an operator B satisfying, 使AB ? I , ? ? ?? ? ? ? 对算子A,如果存在算子则B满足AB ? I, 则B为A的逆算符, ? 记为A ?1 (对应逆矩阵)

Adjoint operator 共轭算符,伴随算符 The complex conjugate 复共轭 of a number or function: ? ? u ? iv, ? * ? u ? iv (u , v为实数) Define the scalar product (dot product, inner product) of any two wave functions 定义任意两个波函数的标积(点乘,内积) (? i ,? j ) ? ? ? i*? j d? ,
全 全

(? i ,? j )* ? ? ? i? j *d? ? (? j ,? i )


(? i , a? j ) ? ? ? i*a? j d? ? a (? i ,? j ),

(a? i ,? j ) ? ? ( a? i )*? j d? ? a* (? j ,? i )


? A is an operator and ? i and ? j are arbitrary wave functions, define the ? ? ? adjo int operator A + of A A是一个算符,? i 和 ? j 是任意两个波函数 ? ? ? ? 定义A的共轭算符A + : (? i , A+? j ) ? ( A? i ,? j ) ? ? ? ? Define the "matrix element" of A:,定义A的矩阵元为:Aij ? (? i , A? j ) ? ? ? i* A? j d?


A ??
? ij



? ? ? ? ? ? i A+? j d? ? (? i , A+? j )=( A? i ,? j ) ? (? j , A? i )* ? ? ? j A? i
*


? ? d? ? (A
*

ji

)*

?A ?
ji

*

is the conjugate transpose of Aij .

?A ?
ji

*

是Aij的转置共轭

? The adjoint operator (共轭算符) of ?x For arbitrary (任意) ? i and ? j ? ? ? ? ? ? ? ?-?? ? ?x ? ? j dx ? (? i , ? ?x ? ? j ) ? ( ?x ? i ,? j ) ? ? ? ?
? * i ? ? ? ? * ? * ? ? ? ? ? i ? ? j dx ? ? j? i ? ? ? i ? j dx ?? - ? ?x ?? ?x ? ? ? ? ? *? ? ? ? i ? ? ?? j dx ?? ? ?x ? ? * ? ?

? ? ? ? ? ? ?? ?x ? ?x ?

?

? ? ? ? ? ? ?? , ?y ? ?y ?

?

? ? ??

?

? ?
?? A

? ?? ? ? ? ?? ?z ? ?z ?

?

?

? ?A

?

? ? A? B

?

?

? ? ? A? B

?

? ?
?? AB

?

? ? ? B? A?

? ? ?? ? ? ? ? AB ? ? B A
? ? ?

?? ?? ? ? ? ? (? i , AB ? j ) ? ( AB? i ,? j ) ? ( B? i , A?? j ) ? (? i , B ? A?? j )
?

?? ? ?
* i

?? ?? ? ? AB ? j d? ? ? AB? i ? j d? ? ? ?? * A B? i d? ? ? j ?

?

?

?

*

? ?

*

? ? ? ? A?? j ? ? ??
*

?

?? ?
* ? j

? B? i d? ? ? ?

*

? ? ? ? ? ? ?? ? B A ?? d?
* i ?

? ? ? B? i A?? j d? ? ? A?? j

?? ?
? B? i

*

? ? d? ? ?? i* B ? ( A?? j )d?
?

?? Since ? i and ? i are arbitary , AB

? ?

? ? ? B ? A?

Self - adjoint operators (自共轭算符) ? ? ? If A=A ? , then A is a self-adjoint operator Any physical quantity correspond to its self ? adjoint operator 任意物理量对应着它的自共轭算符 Theorem 1 定理一 The eigenvalues of a self-adjoint operator are real ? A? ? a? (? ,? ) ? 1
a a a a

? ? ? a ? a(? a ,? a ) ? (? a , a? a ) ? (? a , A? a ) ? ( A?? a ,? a ) ? ( A? a ,? a ) ? ( a? a ,? a ) ? a* Therefore, the eigenvalue of a self-adjoint operator is real ?? d? ? ? * A?? d? ? ( A? )*? d? a ?? ? a d? ? ?? A a ? a? a ? ? a a
* a * a * ? ? ?? A? a d? ? a* ?? a? a d? * a

?

?

*

The eigenfunctions corresponding to two different eigenvalues of a Hermitian operator should be orthogonal 正交to each other. 对应于厄米算符不同本征值的本征函数必正交
? A? 1 ? a1? 1 ? A? 2 ? a2? 2


a1 ? a2 ? (? 1 ,? 2 )= ? ? 1*? 2 d? ? 0 ? (? 2 , A? 1 ) ? (? 2 , a1? 1 ) ? a1 (? 2 ,? 1 ) ? ? ? (? 2 , A? 1 ) ? ( A?? 2 ,? 1 ) ? ( A? 2 ,? 1 ) ? (a2? 2 ,? 1 ) ? a2* (? 2 ,? 1 ) ? a2 (? 2 ,? 1 ) ? ? (? , A? ) ? a (? ,? ) ? a (? ,? )
2 1 1 2 1 2 2 1

? a1 ? a2 ? (? 2 ,? 1 ) ? ? ? 1*? 2 d? ? 0


6) 算符的函数

7) 单位算符和逆算符

8) 算符的本征方程,本征函数和本征值

基本假设4. 对物理量的测量(The measurement of physical quantities) 当而且只有当体系处于?本征态φ时,对物理量A的测量有确定值,这个值就是 该本征态φ下的本征值。(不完全版) 这个基本假设将 力学量算符 和 对该力学量的 测量 联系起来。 例如,从前面一维定态薛定谔方程的解可以看到,当体系处于哈密顿量H的 本征态时,体系能量有确定值,即H在该本征态下的本征值。 1). 例:动量算符的本征函数和本征值 动量本征方程:

? ? ? ? ? i??? ( r ) ? p? p ( r )
? p

动量算符: ?i??
? p

? p

是一个常矢量,本征值

? ? p 的本征函数 ? (r ) 属于本征值

写成分量形式

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (r ) ? ip ? jp ? kp ? ? (r ) ?i? ? i ? j ? k ?? p x y z p ?x ?y ?z ? ?

?

?

? ? ? ? ? ?r ? ? p ? ? ?r ? x p ? ?i? ?x ? p ? ? ? ? ? ? ?r ? ? p ? ? ?r ? ? ?i ? ? p y p ?y ? ? ? ? ? ? ? ?i? ? p ? r ? ? p z? p ? r ? ? ?z ?
由于粒子在三个方向的运动是独立的,因此我们可以使用分离变量法

? ? ? p (r ) ? ? ( x)? ( y)? ( z)

得到:

? ? ? ?i? ?x ? ? x ? ? p x? ? x ? ? ? ? ? ?i? ? ? y ? ? p y? ? y ? ?y ? ? ? ? ?i? ? ? z ? ? pz? ? z ? ?z ?

解得

? ?i ? ? ? x ? ? C1 exp ? px x ? ? ?? ? ? ? ?i ? ? ? y ? ? C2 exp ? p y y ? ? ?? ? ? ? ?i ? ?? ? z ? ? C3 exp ? pz z ? ?? ? ?

? ?i ? ?i ? ?i ? ? ? p ? r ? ? ? ( x)? ( y )? ( z ) ? C exp ? px x ? exp ? p y y ? exp ? pz z ? ?? ? ?? ? ?? ? i i ?i ? ? i ? ?? ? C exp ? px x ? p y y ? pz z ? ? C exp ? p ?r ? ? ? ?? ? ?? ?
此即动量算符的本征态或本征函数,根据对物理量测量的基本假设,在此本 征态下,粒子的动量为确定值p 这就是第一章自由粒子的德布罗伊平面波的空间部分。

? i ? ?? exp ? p?r ? 反过来,如果根据德布罗意假设,事先已知在 ?? ?
状态下,体系有确定的动量p。则根据前面假设

? i ? ?? exp ? p?r ? ?? ?

必须是动量算符的本征函数。由此本征函数可以 得到动量算符的形式

? ? i ? ?? ? ? i ? ?? ? i ? ?? ? 由: exp ? p ?r ? ? ?p exp ? p ?r ? ? ? ?i?? ? exp ? p ?r ? p ?? ? ?? ? ?? ? ? ? 可以得到动量算符在坐标空间的表达形式: ? ?i?? p
这说明动量算符的定义是和动量本征态是可以相互确定的,是相互一致的。 这也从一个角度说明了动量算符为什么取这样的形式。

一般地,如果事先知道某力学量所有本征态,其相应的算符亦可确定

2) 力学量算符的厄米性(Hermite)
力学量的测量值必须是实数,这对力学量算符提出了一个强的限 制,即力学量算符的所有本征值必须是实数。 厄米算符 (曾谨言p93)

任意两个波函数的标积: ?? ,? ? ? ?? *? d? , 在全空间中积分 有性质: ,? ? ? ? ? *? d? ? ( ?? *? d? )* ? ?? ,? ? ??
*

?? ,c1? 1 ? c2? 2 ? ? c1 ?? ,? 1 ? ? c2 ?? ,? 2 ? ? c1?1 ? c2?2 ,? ? ? c1* ?? ,? 1 ? ? c2* ?? ,? 2 ?
厄米算符定义:

?? 如果对任意两个波函数? 和? 满足: ,? ? ? A ,? ? A ? 即: * A? d? ? ? (A? )*? d? ? ? ? ? 则A为厄米算符

?

? ?

?

对应于厄米矩阵,厄米矩阵的转置共轭是其本身 (实的厄米矩阵就是 实对称矩阵)

a) 厄米算符的和仍是厄米算符 厄米矩阵(如果是实的,则为实对称矩阵) 的和仍是厄米矩阵(实对称矩阵)

? ? 设F 和G是厄米算符,由其厄米性有: ? ? ? ? ? * F? d? ? ? ( F? )*? d?, ?? *G? d? ? ? (G? )*? d? ? 其中? 和?是任意波函数
? ? ? ? ? * F ? G ? d? ? ?? * F? d? ? ?? *G?d? ? ? ? ? ? ( F? )*? d? ? ? (G? )*? d? ? ? ? ? ? ( F? )* ? (G? )* ? ? d? ? ? ? ? ? ? ? ( F ? G )? ? ? d? ? ?
*

?

?

b) 厄米算符的积一般不是厄米算符

? ? 设F 和G是厄米算符,由其厄米性有: ? ? ? ? * F? d? ? ? ( F? )*? d?, ?? *G? d? ? ? (G? )*? d? ? ? 其中? 和?是任意波函数 ? 令G? ? ? ',

? ? 设F 和G是厄米算符,由其厄米性有: ?? ? ? ? ? ? * ( FG )? d? ? ?? * F (G? )d? = ?? * F? ' d? ? ? ( F? )*? ' d? ? ? ? ? ? ? ? ( F? )* G? d? ? ? [G ( F? )]*? d? ?? ?? ? ? (GF? )*? d? ? ? ( FG? )*? d?
? ? 这是因为F 和G一般不对易,即 ?? ?? FG ? GF, ?? 所以( FG )一般不是厄米的。 ? ? 只有当F 和G对易时,? ? )才是厄米的 ( FG
实对称矩阵是厄米矩阵, 但实对称矩阵的乘积却 不一定是对称的

?1 0??0 1? ? 0 1? ? ?? ??? ? 0 2??1 0? ? 2 0? ?

c) 厄米算符的本征值必为实数

厄米矩阵(如果是实的,则为实对称矩阵) 的本征值是实数

? 设?是厄米算符A的本征值,属于?的本征函数为? (已归一), ? 即:? ? ?? A ? ?? 由A的厄米性: ,?? ? A ,? ? A
* *

? ? ?? ,A? ? ? ?? A? d? ? ?? ?? d? ? ? ? ? ? A? ,? ? ? ? (A? ) ? d? ? ? (? ) ? ? d? ? ?
* * *

?

? ?

?

*

?? ? ?* 所以厄米算符的本征值为实数
所有力学量算符都必须是厄米算符

d) 厄米算符属于不同本征值的本征函数,彼此正交 厄米矩阵(如果是实的,则为实对称矩阵) 的属于不同本征值的本征向量彼此正交 波函数正交的定义

如果?

?

?? ?? ??

? ?

?

?

? * ? x, y, z ?? ? x, y, z ? dxdydz ? 0 (全空间积分),则称? 和?正交

只证明本征值是分立的情况(分立谱,discrete spectrum)

? 设?k 和?l 是厄密算符F 的本征函数,它们所属的本征值?k 和?l 不相等。

? ? ? ? ? ? F? ?d? ? ? ? F? ? ? d? ? ? ? ?
* k (1) * l k l

? F?k ? ?k?k

? F?l ? ?l?l

?k ? ?l

? ?k* F?l d? ? ? ?k*?l?l d? ? ?l ? ?k*?l d? ?
* * k k l

? ? d? ? ?k ? ?k*?l d?

(2)

(1):厄米性 (2):厄米算子的本征值?k 为实数

由上两式可得:?l ? ?k*?l d? ? ?k ? ?k*?l d? ,即(?l ? ?k ) ? ?k*?l d? ? 0 ? ?l ? ?k ? ? ?k*?l d? ? 0, 即?k 与?l 正交

考虑归一化:

?1 当k ? l ? ? ? d? ? ? kl ? ?0当k ? l ?
* k l

e) 厄米算符在满足一定条件下,其本征函数构{φ n}成正交完备系,即任何波 函数都可以按{φ n}展开为级数 (广义的傅里叶展开) n维厄米矩阵的本征向量构 成n维空间的完备基,n维空 ? x ? cn?n x 间中的任意向量都可以按其 n 本征向量展开 展开系数的求法也类似于傅里叶展开系数的求法

? ? ?

? ?

? ? ( x)? ( x)dx ? ? c ? ? ( x)?
* n n * n m

m

( x)dx ? ? cn? mn ? cn
m

即:cn ? ? ?n* ( x)? ( x)dx
在周期函数的傅里叶展开中,?n* ( x) ? exp? i(nkx)

简并情况 在证明厄密算符本征函数的正交归一性时,我们曾假设本征函 数所属的本征值各不相等,即忽略了简并的情况。现在假设算 ? 符 F 的某个本征值 ?n 是 f 度简并,即属于它的本征函数有 f 个:?n1 , ?n 2 ,? , ?nf ,显然它们满足如下关系:

? F?ni ? ?n?ni ,

i ? 1, 2,? , f

一般说来,这些函数并不一定正交。 证明分如下两步进行 1. 证明这些线性组合出来的函数 ? nj确实是属于本征值 ?n 的 本征函数。

? ? ? F? nj? F ? Aji?ni ? ? Aji F?ni ? ?n ? Aji?ni ? ?n? nj
i ?1
i ?1
i ?1

f

f

f

2. 证明满足正交归一条件的 f 个新函数 ? nj 是总可以找到的。 显然如果这些新本征函数必须满足如下的正交归一条件

?1, j ? j ' ?? ? nj? d? ? ?? A Aj?i? ? ? ?ni? d? ? ? jj? ? ?0, j ? j ' i ?1 i ? ?1 ? j, j? ? 1, 2,?, f 这显然是一个关于常数 Aji , j , i ? 1, 2,? f 的方程,未知量是f2个
f f * nj * ji * ni

这样的方程总共有f(f-1)/2个,包括关于归一化条件的方程f个 (即当 j ? j ?时),总共有方程f(f+1)/2 个 因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0, 所以,方程个数少于待定系数 Aji , j , i ? 1, 2,? f 的个数,因此满 足如上条件的待定系数 Aji , j , i ? 1, 2,? f肯定存在,而且还不止一 组。找到这样的一组待定常数,那么满足正交归一化条件的 f 个 新本征函数 ? nj 自然也就找到了。这些新本征函数是旧本征函数 的线性组合,本征值仍为 ? n ,且满足正交归一化条件

线性代数中n个向量的正交化 其中一个方法是:Grad-Schmit方法 算法 为一组非正交向量,Gram-Schmidt正交化的过程如下:

这样就得到 以及相应的标准正交基

上的一组正交基



所以量子力学的力学量算符的本征函数可以构成正交系。 属于不同本征值的本征函数一定正交。 属于同一本征值的本征函数可以正交化。
还可以证明,厄米算符的本征函数一般还是完备的,即任何波函数都 可以按某个力学量的本征函数展开

3). 当系统不是处于力学量算符?的本征态时力学量A的测量值 量子力学关于物理量测量基本假设的完整表述: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数 构成完备系,当微观体系处于波函数 ? ( x)时,测量力学量 F ? 所得的结果一定是表示力学量的算符 F 的某个本征值 ?n 。测得 2 ?n 的概率和态处于 ?n 的概率就是展开系数的模方 cn 结果为

? ? x ? ? ? cn?n ? x ?
n

下面我们证明如果任意函数 ? ( x) 已经作了归一化处理,且可按 ? 力学量算符 F 的本征函数 ?n 展开,那么这些本征函数的展开系 数 cn的模平方和等于1 * ? ? ? ? * * ? 1 ? ?? ( x)? ( x)dx ? ? ?? cn?n ? ?? cm?m ? dx ? ?? cn cm ? ?n?m dx n m ?n ? ?m ? 证明: 正交归一
n

对展开系数的几率诠释要求: | cn |2 ? 1 ?

?

?? c c ?
n m

* n m nm

* ? ? cn cn ? ? | cn |2 n n

如果这些展开系数中只有某一个系数 ci ? 1 ,其他的全是零。那 ? 么任意函数就变成了算符 F 的本征函数 ?i ,此时测量力学量 F , 会得到确定值,即本征值 ?i

有简并的情形

? ? x ? ? ? cn?n ? x ?
n

设本征值 f 只有两个简并态?1和?2(已正交化), 即在?1和?2态中F的测量值都是f , 那么体系处在?1或?2态的几率分别仍然为 c1 和 c2 ,
2 2

而测量值取值为f 的几率为 c1 + c2
2 2

4)力学量的测量平均值

? ? ? x ? ? ? cn?n ? x ? , ?n是F的本征态
n

根据关于物理量测量的假设,在态? 下,F的测量值 是不确定的,F 取值为?n的几率为 | cn |2 ,所以其平均值为: F ? ? ?n | cn |2
n

? 平均值还可以写为:F ? ?? * ( x) F? ( x)dx 注意:这两个公式都要求波函数 ? ( x)作了归一化处理。这两 个公式和下面的公式是等价的 等价性证明:

? ?? ( x)dx ? ?? cn?n ( x) ? F ?? cm?m ( x) ? dx F ? ?? ( x) F ? ? ? ??
*
* * * * ? ? ? cn ? cm ? ?n ? x ?F?m ( x)dx ? ?? cn cm ?m ? ?n ? x ? ?m ( x)dx

*

?

n

?

?

m

?

* ? ?? cn cm ?m? nm ? ? | cn |2 ?n n m
n

n

m

n

m

如果波函数未归一化



F?

?
n n

cn ?n
2 2 n

?c

这两式和下面的式子是相等的

F?

? ? * ( x) F? ( x)dx ?

? * ( x)? ( x)dx ?

定理:任何状态下,厄密算符在任何态下的平均值必为实数

显然是实数:F ? ? ?n | cn |2
n

(厄米矩阵在任何向量下的平均值为实数)

? ? 或者:F ? ?? * ( x) F? ( x)dx ? ? ?? ( x) F? ( x) ? dx ? ? ? ? ? F? ( x) ? ( x)dx ? ? ? ? * ( x) F? ( x)dx ?* ? F * ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或者: ? ? ? F ? (? , F? ) ? ( F? ,? ) ? (? , F? )* ? F *
*

?

?

* *

?

?

*

逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符
实际可观测量或力学量,在任何态下的平均值都是实数。这个逆 定理说明,可观测量或力学量算符都必须是厄米算符

? ? (? , F? ) ? ( F? ,? ) 令? ? ? 1 ? c? 2 ,? 1和? 2是任意的 ? ? (? , F? ) ? (? 1 ? c? 2 , F (? 1 ? c? 2 )) 2 ? ? ? ? ? (? 1 , F? 1 ) ? c* (? 2 , F? 1 ) ? c(? 1 , F? 2 ) ? c (? 2 , F? 2 ) ? ? ( F? ,? ) ? ( F (? 1 ? c? 2 ),? 1 ? c? 2 ) 2 ? ? ? ? ? ( F? 1 ,? 1 ) ? c* ( F? 2 ,? 1 ) ? c( F? 1 ,? 2 ) ? c ( F? 2 ,? 2 ) ? ? ? 由假设, 1 , F? 1 ) ? ( F? 1 ,? 1 ), (? 2 , F? 2 ) ? ( F? 2 ,? 2 ) (? ? ? ? ? ? ? c ? (? 1 , F? 2 ) ? ( F? 1 ,? 2 ) ? ? c* ?(? 2 , F? 1 ) ? ( F? 2 ,? 1 ) ? ? ? ? ? 令c ? 1 ? ? ? ? (? 1 , F? 2 ) ? ( F? 1 ,? 2 ) ? (? 2 , F? 1 ) ? ( F? 2 ,? 1 ) 令c ? i ? ? ? ? i (? 1 , F? 2 ) ? ( F? 1 ,? 2 ) ? ?i ?(? 2 , F? 1 ) ? ( F? 2 ,? 1 ) ? ? ? 所以得到: ? ? ? ? (? 1 , F? 2 ) ? ( F? 1 ,? 2 ), (? 2 , F? 1 ) ? ( F? 2 ,? 1 )

量子力学关于物理量测量基本假设的完整表述(分立谱情形): 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数 构成完备系,当微观体系处于波函数 ? ( x)时,测量力学量 F ? 所得的结果一定是表示力学量的算符 F 的某个本征值 ?n 。测得 2 ?n 的概率和态处于 ?n 的概率就是展开系数的模方 cn 结果为

? ? x ? ? ? cn?n ? x ?
n

下面我们证明如果任意函数 ? ( x) 已经作了归一化处理,且可按 ? 力学量算符 F 的本征函数 ?n 展开,那么这些本征函数的展开系 数 cn的模平方和等于1 * ? ? ? ? * * ? 1 ? ?? ( x)? ( x)dx ? ? ?? cn?n ? ?? cm?m ? dx ? ?? cn cm ? ?n?m dx n m ?n ? ?m ? 证明: 正交归一
n

对展开系数的几率诠释要求: | cn |2 ? 1 ?

?

?? c c ?
n m

* n m nm

* ? ? cn cn ? ? | cn |2 n n

特例: 如果这些展开系数中只有某一个系数 ci ? 1 ,其他的全是零。那 ? 么任意函数就变成了算符 F 的本征函数 ?i ,此时测量力学量 F , 会得到确定值,即本征值 ?i

4)力学量的测量平均值

? ? ? x ? ? ? cn?n ? x ? , ?n是F的本征态,?n是其本征值
n

根据关于物理量测量的假设,在态? 下,F的测量值 是不确定的,F 取值为?n的几率为 | cn |2 ,所以其平均值为: F ? ? ?n | cn |2
n

? 平均值还可以写为:F ? ?? * ( x) F? ( x)dx 注意:这两个公式都要求波函数 ? ( x)作了归一化处理。这两 个公式和下面的公式是等价的 等价性证明:

? ?? ( x)dx ? ?? cn?n ( x) ? F ?? cm?m ( x) ? dx F ? ?? ( x) F ? ? ? ??
*
* * * * ? ? ? cn ? cm ? ?n ? x ?F?m ( x)dx ? ?? cn cm ?m ? ?n ? x ? ?m ( x)dx

*

?

n

?

?

m

?

* ? ?? cn cm ?m? nm ? ? | cn |2 ?n n m
n

n

m

n

m

例题 ? 假设 ?? i , i ? 1,..., n,...? 是力学量算符F的本征函数(已归一),其对应的本征值 ? f i ? (非简并)

? 是叠加态? ? 2? 1 ? 2? 2 ?? 3
1.计算标积(? 1 ,? 3 )= 2.请将? 归一化
全空间

相当于在? ? x ? ? ? cn? n ? x ? 展式中,只有c1、c2和c3不为零
n

?

? ? 3 d?
* 1

3.在态? 中对力学量F进行测量,请问F的可能测量值是什么,其测量的平均值是多少,
1.由基本假设,力学量算符的本征函数构成正交完备基(? 1 ,? 3 )=
2.假设 ? 乘上系数C后,是归一的,即 1 ?| C |
2 全空间

?

(C? 未归一 ) C? 未归一 d? ? 1
* * ( 1)

全空间

?

? 1*? 3 d? ? 0

全空间

?

? ? d? ?| C |
*

2

全空间

?

(2? 1 ? 2? 2 ? ? 3 ) (2? 1 ? 2? 2 ?? 3 )d? ? | C |2

?| c
n

n

|2

1 2 2 1 ? 归一化后的波函数为:? ? ? 未归一 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 3 3 3 3 ? 1, i ? j (1) : (? i ,? j )= ? ? i*? j d? ? ? ij ? ? ? ?0, i ? j 全空间 ? ? 3.由基本假设,力学量 F的每次测量值只可能是算符F的本征值,所以每次测量可能得到的 4 4 1 测量值为f1或f 2或f 3,测量得到它们的几率分别为 | c1 |2 ? ,c2 |2 ? 和 | c3 |2 ? 。 | 9 9 9 4 4 1 根据平均值表达式F ? ? ?n | cn |2,测量的平均值为:F ? f1 + f 2 + f 3 9 9 9 ?| C |2 (4 ? 4 ? 1) ? 9 ? C ?

1 3

连续谱情形
前面我们都只考虑到本征值是分立的情形(分立谱)。有些力学量算符的本 征值是连续的,例如动量算符的本征值p是连续的,即具有连续谱。现在考 虑前面的基本假设是如何应用到力学量算符具有连续谱的情况。
有关连续谱的厄米算子的本征函数的完备性有类似的定理。
对应于分立谱的展开:? ? x ? ? ? cn?n ? x ? (求和),cn ? ? ?n* ? x ?? ? x ? dx 其中? ? x ? 和?n ? x ?已归一
n

1.波函数按本征函数展开: ? 设? ( x)为任意波函数(已归一),?? ( x)是具有连续谱?的力学量 F的归一本征函数 ? ? x ? ? ? c(? )?? ? x ? d ? (积分),c(? ) ? ? ?? * ? x ?? ? x ? dx
对应于分立谱情形下取值?n的几率为 cn , 对展开系数的几率诠释要求: | cn |2 ? 1 ?
2 n

2.在连续谱的情形下展开系数c(? )的几率诠释: 2 在态? ? x ? 下,对力学量F的测量值取在区间? ?,? ? d ? ?的几率是 c(? ) d ? 2 2 根据对展开系数的 c(? ) 几率诠释要求, c(? ) d ? ? 1 ? c(? ) 是?的几率分布函数。
2

? ? ? ? r ? ? 当? ? p是动量时,则?? ? x ? 是平面波,? p

??

1

则上面积分就是熟悉的傅里叶变换

? 2? ? ?

32

e

? i? ? ? p ?r ?

? 设? ( x)为任意波函数(已归一),?? ( x)是具有连续谱?的力学量 F的归一本征函数 ? ( x) ? ? c(? )?? ( x)d ? , c(? ) ? ? ?? * ? x ?? ? x ? dx, 那么根据 c(? ) 几率分布的诠释,要求, c(? ) d ? ? 1 ?
2 2

连续谱的归一

1 ? ?? ( x)? ( x)dx ? ? ? ? c(? )?? ( x)d ? ? ? ? c(? ')?? ' ( x)d ? '? dx ? ? ? ? * ? ? c* (? ) ? ? c(? ') ? ?? ? x ??? ' ( x)dxd ? '? d ? ? ?
*

*

1 ? ? c(? ) d ? ? ? c (? )c(? )d ? ? ? c* (? ) ? ? c(? ')? (? ? ? ')d ? '? d ? ? ? (1) ? c(? ) ? ? c(? ')? (? ? ? ')d ? '
2 *
* 由此得到:c(? ') ? ?? ? x ??? ' ( x)dxd ? ' ? ? c(? ')? (? ? ? ')d ? ' ?

(1)

因为c(? )可以为任意函数(因为? ( x)任意),所以要求 * ?? ? x ??? ' ( x)dx ? ? (? ? ? '), ? 此即连续谱本征函数的正交归一条件 * 这对应于分立谱情况下的正交归一条件:?n ? x ??n ' ( x)dx ? ? n ,n ' ?

具有连续谱的力学量的测量平均值:

? 先看分立谱情形:? ? x ? ? ? cn?n ? x ? , ?n是F的本征态,?n是其本征值 n * ?? ( x)dx 平均值:F ? ? ( x) F
根据关于对测量的假设,在态? 下,力学量F 取值为

?

?n的几率为 | cn |2 ,所以其平均值为:F ? ? ?n | cn |2 (求和)
n

连续谱的平均值: ? 设? ( x)为任意波函数(已归一),?? ( x)是具有连续谱?的力学量 F的 归一本征函数:? ? x ? ? ? c(? )?? ? x ? d ? (积分),c(? ) ? ? ?? * ? x ?? ? x ? dx ? ? 力学量F 在态? ? x ? 下的平均值为F ? ?? * ( x) F? ( x )dx 如果已求得? ? x ?的'傅里叶'展开系数c(? ),c(? ) ? ? ?? * ? x ?? ? x ? dx 2 ? 那么根据对 c(? ) 的几率诠释,F 在态? ? x ? 下测量取值在
2

区间? ?,? ? d ? ?的几率是 c(? ) d ?,所以力学量F的测量平均值为: 2 F ? ? ? c(? ) d ? (积分)

例子:动量本征函数 平面波的归一化

? ? i ? ?? 动量算符本征函数:? ? r ?? C exp ? p ? r ? ?? ? 归一化系数C的确定: 动量算符本征值p是连续谱,所以其本征函数归一到Delta函数
? p

? ? ? ? * ? 2 ? (r ) ? ( r ) d? ?| c | ? ( p ? p?) ? ? ? p? ? p ??

?

?

??

e

i ? ? ? ? p ?? r

e

i ?

? ? p?r

d?

? ? ? ? ? ? ?ik ? ? r ? r0 ??dk ? ? 2? ?3 ? ? r ? r0 ? 对此积分有数学公式 ??? exp ? ? ? ? ? ? i ( p ? p? ) ? r ? ? 2 ? c | ? e? | d? ?| c |2 (2? ?)3 ? ( p ? p?)
??

?| c |

2

?

?

?? ?

e

i( ?

? ? ? p ? p? )? r

d?

1 ?| c | ? (2? ?)3
2

1 1 c? ? 3 (2? ?) (2? ?)3 2

证明

? ? 2? ?
3

1

?

??

? ? ? ? ? ? ?ik ? ? r ? r0 ??dk ? ? ? r ? r0 ? exp ? ?

对一维情形证明: 对任意函数f ( x),其傅里叶变换和反变换为 1 g(k)= 2?

?

?

??

f ( x) exp(?ikx)dx

1 f ( x) ? 2?

?

?

??

g (k ) exp(ikx)dk

当f ( x) ? ? ( x ? x0 )时, 1 ? 1 g ( k )= ??? ? ( x ? x0 ) exp(?ikx)dx ? 2? exp(?ikx0 ) 2? 1 ? 1 ? f ( x) ? ??? g (k ) exp(ikx)dk ? 2? ??? exp(?ikx0 ) exp(ikx)dk 2? 1 ? ? ??? exp i(kx ? kx0 )dk ? ? ( x ? x0 ) 2?

算符对易关系、两算符同时具有确定测量值的条件、测不准关系
前面已提到算符的乘积一般是不满足交换律的,即不对易(这不排除某些算符之间是对易的)。 ?? ?? ?? ?? 用数学表达为FG ? GF,即( FG ? GF )一般不为零。因此可以用一个量来描述算符之间是否对易 ?G ? ?? ?? ?G ? ? F, ? ? FG ? GF , ? F, ? 称为对易关系或对易子。 ? ? ? ? ?G ? ? ? ?G ? ? ? 如果 ? F, ? ? 0,则F和G对易;如果 ? F, ? ? 0,则F和G不对易 ? ? ? ?

例:

? ? ? x, px ? ? ? y, p y ? ? ? z, pz ? ? i?, 即同方向的位置和动量算符不对易 ?? ? ? ? ?

? ? ? ? 下面证明? x, px ? ? i?, 其中 x ? x, px ? ?i?

?? 证明: xpx? ? x(?i?

? ? )? ? ?i?x ? ?x ?x ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? x x? ? ? ?i? x ?? ? ? ?i? ? ( x? ) ? ? ? ?i? x ? ? i?x ? ? ?i?? ? i?x ? ? p ?x ?x ? ?x ? ? ?x ? ? ?x ?

? ?x 其中? 为任意波函数

?? 上述两个等式相减,可以得到:( xpx
? ? 因为? 是任意的,所以: ? x, px ? ? i?
其余同理可证

? ? ? ? ? px x)? ? ? x, px ?? ? i??

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例:x, p y ? ? ? x, pz ? ? ? y, p x ? ? ? y, p z ? ? ? z , p x ? ? ? z , p y ? ? 0, ? ?? ? ? 即不同方向的位置和动量算符对易

?? 证:xp y? ? x(?i?

? ? )? ? ?i?x ? ?y ?y

其中? 为任意波函数

? ? ? ? ? p y x? ? ? ?i? x ?? ? ?y ?

? ?? ? ? ? ?i? ? ( x? ) ? ?i?x ? ?y ? ?y ?

上述两个等式相减,可以得到:

?? ? ? ( xp y ? p y x)? ? ? x, p y ?? ? 0 ?? ? ?

因为? 是任意的,所以: ? x, p y ? ? 0 ?? ? ?
其余同理可证
总结以上结论,可以得量子力学基本对易关系

? ? ? ? ? x? , p? ? ? x? p? ? p? x? ? i???? ? ?1, ? ? ? ? , ? ? x, y, z,??? ? ? 0, ? ? ?

动量算符分量之间显然对易

? px , p y ? ? 0 ?? ? ?
位置算符分量之间显然对易
对易式满足的代数恒等关系:

? p y , pz ? ? 0 ?? ? ?

? ? ? pz , px ? ? 0

? ? ? ? ? ? ? x, y ? ? ? x , z ? ? ? y , z ? ? 0

? ? AB ? A ? ? , B ? ? ? ? ? BA ? ? BA ? ? ? ? ? ? B, ? ? A? AB ? ? ? ? ? ?
? ? A AB ? ? ? ? ? ? , B ? C ? ? ? ( B ? C ) ? ( B ? C ) ? ? ( ? ? ? BA) ? ( ? ? ? C A) ? ? ? , B ? ? ? A, C ? A? ? A? ? AC ? ? A? ? ? ? ? ? ?
? ? , BC ? ? ? ? ? ? BC ? ? ? ? ? ? B ? ? ? B ? ? ? BC A A ?? ABC ? ? A ABC ? AC ? AC ? ? ? ? ? ? ( ? ? ? B ? )C ? B( ? ? ? C ? ) ? ? ? , B ? C ? B ? ? , C ? AB ? A ? ? AC ? A A ? ? ? A? ? ? ? ?
? ? A ? A ? ? ? , ? B, C ? ? ? ? B, ?C , ? ? ? ? ?C , ? ? , B ? ? A ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? AC ? A ? AB ? A ? ? ? , BC ? C B ? ? ? B, ? ? ? C ? ? ? ?C , ? ? ? B ? ? A ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? BC ? ? ? ? B ? C B ? ) ? ( B ? ? ? ? ? B ? BC A ? C AB ) ? ? A AC ? ? ? A ? AC AC ? ? ? ? ? ? ? ? ( ABC ? AB ABC ? ? A ? AC ? (C ? ? ? ? ? ? ? C B ? ? B ? ? ) ? 0 ( Jacobi恒等式)

?

?

力学量之间的对易关系与测量密切相关
一. 两个算符对易的情况和共同本征函数
定理:如果两个力学量算符对易,则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。 对测量的意义:当体系处于对易力学量的共同本征态时,对两个对易的力学量 的测量都同时有确定值,即可以同时测准。动量和位置不对易,所以不能同时 测准

? ?? ? ?? 证明: F 和G对易:FG ? GF

?? ?? ? 0,即:FG ? GF ? ?n 是 F 的任一本征函数,本征值为 Fn ? F?n ? Fn?n 即: ? ?? ? ? ?? ? FG? ? GF? ? F G? F (G? ) ? F (G? )
n
n n n

n

n

n

? ? 即 G?n 也是 F 的一个本征函数,与 ?n 一样,本征值为 Fn

先讨论非简并的情况,即针对一个本征值只有一个波函数,这 ? 意味着 ?n 和 G?n描述的是同一个物理状态,它们之间只相差 一个常数,即 设 ? ? Gn ? G?n ? ??n ? Gn?n ? ? 也是 G 的本征函数。
n

简并的情况

? ? 设F的本征值Fn是f n重简并的,即:F?n ? Fn?n?,? ? 1, 2,..., f n。 则任何具有本征值Fn的本征函数为?n?的线性叠加;?n?的线性叠加 是具有本征值Fn的本征函数。假设 ??n? ?已经正交归一化。

? 因为G?n? 仍是具有本征值Fn的本征函数, ? ? G?n? ? ? G? '? ?n? ' ? ?n? 一般不是G的本征函数。
考虑?n?的线性组合,? ? ? C? ?n?, ? ? F? ? ? C? F?n? ? ? C? Fn?n? ? Fn ? C? n?n? ?Fn? , ? 即? 亦是 F的本征函数
? ? ? ?

?'

? ? 现在问?是否同时可以为G的本征函数,即G? ? g?,g为常数 ? ? ? G? ? G ? C? ?n? ? ? C? G?n? ? ? C? ? G? '? ?n? ' ? ? (? G? '? C? )?n? ' ?g? ? g ? C? '?n? '

?n? '是独立的且是正交的,所以方程左右两端?n? '的系数相等。 ? G? '? C? ?gC? ' ? g ? ?? '? C?

?

?

?

?'

?'

?

?'

? (G? ? C? ? g?? ? C? ) ?? (G? ? ? g?? ? )C? ?0 ? ?
' ' ' '

?

?

? ? G ? C? ?n? ? ? C? G?n? ? ? C? ? G? '? ?n? ' ? ? (? G? '? C? )?n? ' ?g ? C? '?n? '

?n? '是独立的和正交的,所以方程左右两端?n? '的系数相等。 ? G? '? C? ?gC? ' ? g ? ?? '? C?

?

?

?

?'

?'

?

?'

? (G? ? C? ? g?? ? C? ) ?? (G? ? ? g?? ? )C? ?0 ? ?
' ' ' '

?

?

这是C?的线性齐次方程,有非零解的充分必要条件为: det G? '? ? g?? '? ? 0 此即为f n阶矩阵G? '?的本征方程,它有f n 个本征解,记为 ? G? ? g ? , ? ? C ? ,? ? 1,..., f
n?

? n?

n?

? ?

?? n?

n

? ? 这样,?n? 就是 F和G的共同本征函数: ? F?n? ? Fn?n? , ? G?n? ? g ? ?n?

两个算符什么时候是对易的呢? 定理:若两个力学量算符有一组共同的,完备的本征函数 系 ??n ? ,则两算符对易。 证明: 已知: ? F?n ? ?n?n ?? n ? 1, 2, 3,? ? ? ?G?n ? ?n?n ? ? ? ?n 和 ? n 分别是 F 和 G 的本征值

? ( x) ? ? cn?n ( x)
因此
?? ?? ?? ?? ? FG ? GF ?? ( x) ? ? FG ? GF ? ? c ? ?? ?? ? ? c ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? c ? FG ? GF ? ?
n n
n n n

n

n

n

n

n

n

n 因为 ? 是任意函数 ?? ?? ? ? FG ? GF ? [ F , G ] ? 0

? ? cn (Gn Fn ? FnGn )?n ? 0

n

力学量完全集

定义:要完全确定体系所处的状态需要有一组相互对易的力学量 (通过它们的本征值)。为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小(数目)集合称为力学量完全集。
例1,某个力学量算符F有n个本征态φ1,…,φn ,它们对应的本征值分别为 f1,…fn。 如果这n个本征态是非简并的,则所有本征态可以由F的本征值f1,…fn唯一 确定和标记,不同的fi对应不同的的本征态。 如果这n个本征态中有简并态,例如f=f1= f2,则用f1,…fn来标记这n个本征态, 不能唯一确定所有态。例如当用f=f1= f2所对应的本征态就不是唯一的,体 系可能处于φ1或φ2态上。 如果F和G对易,按前面定理,它们有共同本征函数。按前面定理证明的思 路,可以找到由φ1或φ2 态线性叠加成的G的本征函数φ1’和φ2’,如果φ1’和φ2’ 对应的G的本征值g1和g2不简并,则F和G的n个共同本征函数,可以由F和G 的本征值来唯一标记(fi,gi)。则F和G是力学量完全集。

例2:一维谐振子的Hamilton量本身是力学量完全集。它的能量本征 值不存在简并,它的所有态都可以由能量本征值唯一标记。

? p 例3:动量算符( ? x , ? y , ? z )是力学量完全集, x , ? y 和 ? z 三者两两对易。 p p p p p 因为动量算符的本征态(2? ?)3 / 2 eip ?r / ? 对动量是非简并的, 可以由其本征值( px , p y , pz )唯一标记
例4: ? ? ? 氢原子:(H , L2 , Lz )是力学量完全集 首先,它们两两对易(以后要证明这点) ? 如果仅由主量子数n(由H 确定)是不能确定量子态的, 因为主量子数为n时,体系是n 2简并的。 ? 进一步由轨道量子数l (由L2确定)可以解除部分简并。 但是(n, l )还不足以确定量子态,因为对(n, l )标记的态 是2l ? 1度简并的。 ? 再进一步由磁量子数mz (由Lz 确定)来解除2l ? 1度简并。 这样当n给定时, , l , mz )刚好给出n 2个态,它们对 (n (n, l , mz )是非简并的,即不同的态有不同的( n, l , mz )。

二. 算符不对易的情况和测不准原理
由以上定理,当两个力学量不对易时,它们不具有共同的完备本征函数或本征态。

? 当F处于其本征态?n时,由量子力学对测量的基本假设,对力学量的测量有确定值, ? ? ? ? 即相应的本征值F 。设F和G不对易,即[ F , G ] ? 0。现在问当体系处于? 时,对
n n

? 力学量G的测量取值是否也能取确定值。
? ? 由于二者不对易,一般而言,的本征态?n不是G的本征态,所以体系处于?n 态时, F ? 对力学量G的测量取值不确定。

更一般地,可以讨论 两个不对易算符所对应的力学量在某一状态(不一定是其中一个力学量的 本征态)下的测量值究竟能确定到什么程度?其不确定度是多少? 对这个问题的回答就是海森堡测不准原理或不确定性原理

考虑积分: ? I (? ) ? ? ? ?? ? iB? d? , ? 为任意归一波函数,积分对全空间进行。 A ? ? ? 为任意实参数,和B为厄米算符。 A ? ? ? A ? ? I (? ) ? (? ?? ? iB? , ? ?? ? iB? ) ? ? 2 ( ?? , ?? ) ? i? ( ?? , B? ) ? i? ( B? , ?? ) ? ( B? , B? ) A A A A A ?
( 1) 2

? 2? ) ? i? (? , ? ?? ) ? i? (? , B ?? ) ? (? , B 2? ) ?A ? ? ? (? , A AB
2 2

? 2? ) ? i? (? , ( ? ? ? B ? )? ) ? (? , B 2? ) ? ? ? (? , A AB ? A ? 2? ) ? i? (? ,[ ? , B]? ) ? (? , B 2? ) ? ? ? (? , A A ?
2

? 2? ) ? ? (? , ?i[ ? , B]? ) ? (? , B 2? ) ? ? ? (? , A A ?
2

? 2? ) ? ? (? , ?i[ ? , B]? ) ? (? , B 2? ) ? I (? ) ? ? (? , A A ?
2

可以验证,对任意? ,有 ? A AB (? , ?i[ ? , B]? ) ? ?i(? , ( ? ? ? B ? )? ) ? ?i(( B ? ? ? ? )? ,? ) A ? AB ? A ? ?i (?[ ? , B]? ,? ) ? ( ?i[ ? , B]? ,? ) A ? A ? 所以,任意两个厄米算符的对易子乘以i亦是厄米的, ? ? ? 引进厄米算符C = ? i[ ? , B], 则(? , ?i[ ? , B]? ) ? (? , C? )为实数。(因为C厄米) A ? A ? ? 2 2 2? C 2? ? ? I (? ) ? ? A ? ? C ? B ? ? ? ? ? A ? ?2 2A ? 令:? ? ? C 2? A
2 2 2 2 ? ? 2 C ? ? ? ??B ? ? ? ?2 4A ? ?

? ??0 ? ?

?2 ? , 则: B
2

? C

2

4? A ?

2

? 0,即: ? 2 ? 2 ? 1 [ ? , B] B A A ? 2

? ? ? ? 2 ? 2 ? C ? [ A, B ] B A 4 4

引入偏差: ? ? ? ? ? A, A A

? ? ?B ? B ? B

因为? 和B厄米,所以它们的平均值 A和B是实数,当然亦是厄米的 A ? 前面证明过,厄米算符的和仍然是厄米算符,所以 ? ? ? 和? B是厄米的。 A ? ? ? 再考虑到, ? , ? B ] ? [ ? ? A, B ? B ] ? [ ? ? A, B] ? [ ? ? A, B] ? [ ? ? A, B] [? A ? A A A A ? ? [ ? , B] ? [ A, B] ? [ ? , B] A ? A ? ? 2 ? 2 ? 1 [ ? , B] 得出 由 B A A ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 [? ? , ? B ] ? 1 [ ? , B ] ?B A A ? A ? 2 2

?2 ? ?[ x,px ] ? i? ? ?x)2 ? ?px ) 2 ? ( ( 例:坐标和动量的测不准关系 4 可写成: (?x) 2 ? ?px ) 2 ? ? ( 2 ? ?x ? ?px ? 简记为 2

?? ? ? ? ? ? ? ?z ? L x ? ypz ? zp y ? ?i? ? y ? ?z ?y ? ? ? ? ? ? ? r ? p ? ?i?r ?? ? ? L y ? zpx ? xpz ? ?i? ? z ? ? x ? ? ? ? L ? ? ? ? ? ?z ? ? ?x ? ? ? z ? xp ? yp ? ?i? ? x ? ? y ? ? ?y ?x ?L ? ? ?x ? ? ? ?y ?
角动量算符的对易关系

角动量与坐标算符的对易关系 ? ? ? [ Lx , x ] ? [ yp z ? zp y , x ] ? 0, ? ? ? ? ? [ Lx , y ] ? [ ypz ? zp y , y ] ? [ yp z , y ] ? [ zp y , y ] ? ? ? ? ? y[ pz , y ] ? [ y , y ] p z ? z[ p y , y ] ? [ z , y ] p y ? i?z ? ? ? ? ? [ Lx , z ] ? [ ypz ? zp y , z ] ? [ yp z , z ] ? [ zp y , z ] ? ? ? y[ p z , z ] ? [ y, z ] pz ? ?i?y

角动量与动量算符的对易关系 ? ? ? ? ? [ Lx , px ] ? [ ypz ? zp y , px ] ? 0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ Lx , p y ] ? [ ypz ? zp y , p y ] ? [ ypz , p y ] ? [ zp y , p y ] ? ? ? ? ? ? y[ pz , p y ] ? [ y, p y ] pz ? i?pz ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ Lx , pz ] ? [ ypz ? zp y , pz ] ? [ ypz , pz ] ? [ zp y , pz ]
引入Levi ? Civita符号

? ? ? ? ? ? ? z[ p y , pz ] ? [ z, pz ] p y ? ?i?p y
? ? ? [ L? , x? ] ? L? x? ? x? L? ? i????? x? ? ? ? ? ? ? ? [ L? , p? ] ? L? p? ? p? L? ? i?? ??? p? 其中xx ? x, x? ? y, x? ? z

? ? ??? ? ?? ??? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ??? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? 0 ?? ? 1 ? xyz 其中:?, 或 ? 分别为x或y或z ?

角动量算符之间的对易关系

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ ypz ? zp y , zpx ? xpz ] ? [ ypz , zpx ? xpz ] ? [ zp y , zpx ? xpz ]
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ ypz , zpx ] ? [ ypz , xpz ] ? [ zp y , zpx ] ? [ zp y , xpz ] ? [ ypz , zpx ] ? [ zp y , xpz ]

? ? ? [ Lx , Ly ] ? i?Lz

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y[ pz , zpx ] ? [ y, zpx ] pz ? z[ p y , xpz ] ? [ z, xpz ] p y ? y[ pz , zpx ] ? [ z, xpz ] p y

? ? ? ? ? ? ? ? ? yz[ pz , px ] ? y[ pz , z ] px ? x[ z, pz ] p y ? [ z, x] pz py ? ? ? ? ? ? y(?i?) p ? x(i?) p ? i?( xp ? yp ) ? i?L
x y

y

x

z

? ? ? ? ? ? ? ? [ Lx , L y ] ? [ Lx , zpx ? xpz ] ? [ Lx , zpx ] ? [ Lx , xpz ] ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? z[ Lx , px ] ? [ Lx , z] px ? x[ Lx , pz ] ? [ Lx , x] pz ? ? ? ? ? i?? xzy ypx ? i?x? xzy p y ? i?? xzy ( ypx ? xp y ) ? ? ? ? ?i?( ypx ? xp y ) ? i?Lz

同理可证

? ? ? ? Ly , Lz ? ? i?Lx ? ?

? ? ? ? Lz , L x ? ? i?Ly ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以:L? L? ? L? L? ? [ L? , L? ] ? i?? ??? L? , L ? L ? i?L ? ? ? ? L2与L?的对易性[L2 , L? ], ? ? ? ? L2 ? Lx 2 ? Ly 2 ? Lz 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ Lx 2 ? Ly 2 ? Lz 2 , Lx ] ? [ Ly 2 ? Lz 2 , Lx ] ? [ Ly 2 , Lx ] ? [ Lz 2 , Lx ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ly [ Ly , Lx ] ? [ Ly , Lx ]Ly ? Lz [ Lz , Lx ] ? [ Lz , Lx ]Lz ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ly ih? yxz Lz ? i?? yxz Lz Ly ? Lz ih? zxy Ly ? ih? zxy Ly Lz ?0
? ? ? 类似可证: 2 , Ly ] ? [L2 , Lz ] ? 0 [L ?

? ? ?[L2 , L? ] ? 0,

? ? x, y, z

量子力学的矩阵形式和表象变换 1. 波函数用向量表示
考虑分立谱情况: ? 根据前面讨论的量子力学基本原理,我们知道对任一力学量F 的本征函数 ??n ? x ?? 构成正交完备基,即: 且对任意归一波函数? ? x ?,有展开式:

? ? x ? ? ? cn?n ? x ? (??n ? x ??的完备性), cn ? ??n ? x ? ,? ? x ? ? ? ? ?n* ? x ?? ? x ? dx

?? ? x ? , ? ? x ? ? ? ? ? ? x ?? ? x ? dx ? ?
* n m n m

n

n ,m

(??n ? x ??的正交性)

? ? x ? 可以由一组数 ?c1 , c2 ,..., cn ,...? 完全确定:
不同的? ? x ?,有不同的展开系数 ?cn ?;反之,不同的?cn ? 所定义的波函数亦不同 ? c1 ? ? c1 ? ? ? ? ? 这一组数 ?c1 , c2 ,..., cn ,...? 可以写成 ? c2 ?。后面可以看到 ? c2 ? 符合向量的运算规则 ??? ??? ? ? ? ? cn ? ??n ? x ? ,? ? x ? ? 又称为? ? x ? 在基?n ? x ? 上的分量或投影。

例子: 矢量空间中已定义了内积或点乘。 设e1和e 2是二维平面直角坐标系的基矢, 则它们相互正交: 1 , e2 ? ? 0, 它们的长度为1: 1 , e1 ? ? ? e 2 , e 2 ? ? 1 ?e ?e 基矢 ?e1 , e 2 ? 是完备的:任何一个二维矢量A都可以用它们来展开:A =A1e1 ? A2e 2。 ?A ? 在基矢 ?e1 , e 2 ? 下,A可以写成 ? 1 ? ? A2 ? 展开系数A1和A2称为A在基矢e1和e 2上的分量或投影。展开系数公式:A1 = ? e1 , A ? ,A2 = ? e 2 , A ?

? e1 , A ? ? ? e1 , A1e1 ? A2e2 ? ? ? e1 , A1e1 ? ? ? e1 , A2e2 ? ? A1 ? e1 , e1 ? ? A2 ? e1 , e2 ? ? A1 ? e2 , A ? ? ? e2 , A1e1 ? A2e2 ? ? ? e2 , A1e1 ? ? ? e 2 , A2e 2 ? ? A1 ? e 2 , e1 ? ? A2 ? e 2 , e 2 ? ? A2
即A在基矢e1和e 2上的分量或展开系数A1和A2 可以由A与e1和e 2分别做内积得到 波函数之间也定义了内积 ?? 1 ,? 2 ? ? ?? 1* ? x ?? 2 ? x ? dx ? 设力学量 F(例如自旋)只有两个本征态 ??1 , ?2 ?,

??1 , ?1 ? ? ??2 , ?2 ? ? 1 ? 是任意波函数,则它可以按 ??1 , ?2 ? 展开: ? ? ? cn?n =c1?1 ? c2?2 (??1 , ?2 ?的完备性),
其展开系数c1和c2可以由? 与?1和?2 做内积得到:c1 ? ??1 ,? ? , c2 ? ??1 ,? ?
n

它们构成正交完备基: 1 , ?2 ? ? 0, ??

??1 ,? ? ? ??1 , c1?1 ? c2?2 ? = ??1 , c1?1 ? ? ??1 , c2?2 ? ? c1 ??1 , ?1 ? ? c2 ??1 , ?2 ? ? c1 ??2 ,? ? ? ??2 , c1?1 ? c2?2 ? = ??2 , c1?1 ? ? ??2 , c2?2 ? ? c1 ??2 , ?1 ? ? c2 ??2 , ?2 ? ? c2

波函数的运算:

? 1 ? x ? 和? 2 ? x ? 是任意波函数,其按 ??n ? x ?? 得展开式为
2 ? 1 ? x ? ? ? c1?n ? x ?,? 2 ? x ? ? ? cn?n ? x ? n n n

波函数叠加:
2 2 ? 1 ? x ? ? ? 2 ? x ? ? ? c1?n ? x ? ? ? cn?n ? x ? ? ? (c1 ? cn )?n ? x ? n n n n n 1 ? c1 ? c12 ? ? 2? 即波函数叠加对应于展开系数相加:? 1 ? x ? ? ? 2 ? x ? ? ? c1 ? c2 ? 2 ? ? ? ? ?

这和复矢量的合成的规律是一样的:矢量合成为各分量的相加 ? a1 ? ? ? A ? ? a2 ? , ?a ? ? 3? ? b1 ? ? a1 ? b1 ? ? ? ? ? B ? ? b2 ?,A ? B ? ? a2 ? b2 ? ?b ? ?a ?b ? ? 3? ? 3 3?

波函数的标积或点乘:

? 1 ? x ? 和? 2 ? x ? 是任意波函数,其按 ??n ? x ?? 得展开式为
2 ? 1 ? x ? ? ? c1?n ? x ?,? 2 ? x ? ? ? cn?n ? x ? n 2 标积: 1 ? x ? ,? 2 ? x ? ? ? ?? 1* ? x ? 2 ? x ? dx ? ? [? c1?n ? x ?]*[? cm?m ? x ?]dx ? ?? n n m n n

? ??c c ?
n ,m

* 1* 2 n m n

2 ? x ? ?m ? x ?dx ? ? c1*c 2 ? ?n* ? x ? ?m ? x ?dx ? ? c1*cm? n ,m n
n m

n ,m

n ,m

? c12 ? *? 1* 2 1 1 2? ? ? cn cn ? c1 , c2 , ? ? c2 ? n ?? ? ? ?

?

?

这和复矢量的点乘或标积表达式是一样的: ? b1 ? ? ? A ?B ? (a1 , a2 , a3 )* ? b2 ? ? a1*b1 ? a2*b2 ? a3*b3 ?b ? ? 3? 这就是为什么称积分 ?? 1* ? x ? 2 ? x ? dx为标积的原因。 ?

从上可以看到,波函数之间的运算, 就是波函数的展开系数按复矢量运算规律进行运算 ? c1 ? T ? ? 所以波函数? ? x ? 在 ??n ? x ?? 下等价为矢量: ? c2 ? ? ? c1 c2 ?? ??? ? ? ? ? 该向量称为波函数? ? x ? 在力学量 F的本征函数 ??n ? x ?? 下的表象,简称 F 表象。 ? 不同的力学量 F ' 有不同的本征函数集 ?? ' ? x ??,? ? x ? 在 ?? ? x ?? 下的展开系数 ? c1 ? ? c1 ' ? ? ? ? ? c2 ? 不同于在 ??n ' ? x ?? 下的展开系数 ? c2 ' ?。 ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
n n

正交完备归一基 ??n ? x ?? 可以与

三维坐标空间中的正交坐标基e1 ,e 2 ,e3类比, ? c1 ? ? x1 ? ? ? ? ? 展开系数 ? c2 ? 可以和一个向量X在e1 ,e 2 ,e3的投影分量 ? x2 ? 类比。在不同坐标系 ??? ?x ? ? ? ? 3? ? x1 ' ? ? x1 ? ? ? ? ? e1 ' ,e 2 ' ,e3 ' 下,X的分量 ? x2 ' ? 不同于 ? x2 ? ? x '? ?x ? ? 3 ? ? 3?

力学量用矩阵表示
以平面矢量中的旋转操作R (? )为例: 矢量A经逆时针旋转变成B。在x1和x2坐标系中,它们分别表示为: A =A1e1 ? A2e 2 B=B1e1 ? B2e 2 B ? R (? ) A 用分量形式表示: ? ? B=B1e1 ? B2e 2 ? R (? ) A ? A1 R (? )e1 ? A2 R (? )e 2 ? A1 Re1 ? A2 Re 2 分别用e1和e 2点乘: ? ? e1 , B1e1 ? B2e2 ? ? ? e1 , A1 Re1 ? A2 Re2 ? ? ? ? B1 ? A1 e1 , Re1 ? A2 e1 , Re 2

?

? ? B2 ? A1 e 2 , Re1 ? A2 e 2 , Re 2 ? ? B1 ? ? e1 , Re1 ? ? ??? ? ? B2 ? ? e 2 , Re1 ? 矩阵元为:Rmn

? ?

? ? ?e , Re ? ? ? A ? ? ? R R ? ? ? ? R ?e ? ? A ? ? R ? ?e , R ? ? ? ? ? ? e , Re ? , m, n ? 1, 2
1 2 1 11 2 2 2 21 m n

?

?

?

?

?

?

?

12

? ? A1 ? ?? ? 22 ? ? A2 ?

? Re1 ? R (? )e1 ? cos ? e1 ? sin ? e 2 ? Re ? R (? )e ? ? sin ? e ? cos ? e
2 2 1

? ? e , Re ? 1 1 ? ? ? ? R (? ) ? ? ? ? e 2 , Re1 2? ? ?

? ?

? ? ?e , Re ? ? ? ? cos? ? ? ? ? e , Re ? ? ? sin ? ? ? ?
1 2 2 2

? sin ? ? ? cos ? ?

考虑分立谱情况: ? ?? ? x ?? 力学量F的正交完备本征函数集
n

那么,对任意归一波函数? ? x ?,有展开式:
n

? ? x ? ? ? cn?n ? x ? (??n ? x ??的完备性), cn ? cn ? ??n ? x ? ,? ? x ? ? ? ? ?n* ? x ?? ? x ? dx,

?? ? x ? , ? ? x ? ? ? ? ? ? x ?? ? x ? dx ? ?
* n m n m

n ,m

(??n ? x ??的正交性)

? ? 现在考虑力学量G对任意? ? x ?的作用: G将? ? x ? 变为? ? x ? ? ? ? ? ? x ? ? G? ? x ? ? G ? cn?n ? x ? ? ? cn ?G?n ? x ? ? ? ? n n ? ? x ? ? ? d n?n ? x ?
n

? ? x ? 是波函数,由??n ? x ??的完备性,? ? x ? 可以按 ??n ? x ?? 展开:

? ? x ? ? ? cn?n ? x ?
n

? ? ? ? ? x ? ? ? d n?n ? x ? ? G? ? x ? ? G ? cn?n ? x ? ? ? cn ?G?n ? x ? ? ? ? n n n

? ? ? d n?n ? x ? ? ? cn ?G?n ? x ? ? ? ? n n 两边做标积 (?m ? x ? , ? ? ? ? ? ? ? ?m ? x ? , ? d n?n ? x ? ? ? ? ?m ? x ? , ? cn ?G?n ? x ? ? ? ? ? d n ??m ? x ? , ?n ? x ? ? ? ? cn ?m ? x ? , G?n ? x ? ? ?? n n n n ? ? ? ? d ? ? c ? ? x ? , G? ? x ?

?

?

?
n

n mn

?
n

n

?

m

n

?

d m ? ? g mn cn ? 令:g mn ? ?m ? x ? , G?n ? x ? 写成矩阵形式:
n

?

?

? d1 ? ? c1 ? ? ? ? ? ? ? ? x ? ? G? ? x ? 用向量表示为:d 2 ? , ? ? x ? 用向量表示为 ? c2 ? , d m ? ? g m ,n cn可以表示为: ? n ? ? ? ??? ? ? ? ? ? d1 ? ? g1,1 g1,2 ? ? ? c1 ? ? g1,1 g1,2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? d 2 ? ? ? g 2,1 g 2,2 ? ? ? c2 ?, g 2,1 g 2,2 ? ? 即为力学量算符G的矩阵表示 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 矩阵元为:g ? ? ? x ? , G? ? x ?
mn

?

m

n

?

? g m ,n ? ?m ? x ? , G?n ? x ? ,

?

?

? ? ? g n ,m* ? ?n ? x ? , G?m ? x ? ? G?m ? x ? , ?n ? x ? ? ?m ? x ? , G?n ? x ?

?

? ?
*

? ?

?

所以g m ,n ? g n ,m* , 所以厄米算符在任何表象下为厄米矩阵

量子力学的矩阵形式

? 力学量 F的本征函数构成正交完备归一基 ??n ? x ??,现在研究在这个基下, 1. 薛定谔方程的矩阵表示: ? ? ? ? H? ?t 设? 的展开式为: cn (t )?n ? x ? ? i?
n

? c1 (t ) ? ? H1,1 H1,2 ? ? ? ? ? ? ? c2 (t ) ? , H ? ? H 2,1 H 2,2 ? ? , 其中H m,n ? ?m ? x ? , H?n ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? c1 (t ) ? ? H1,1 H1,2 ? ? ? c1 (t ) ? ?? ? ? ?? ? 则i? ? c2 (t ) ? ? ? H 2,1 H 2,2 ? ? ? c2 (t ) ? ?t ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 此即F 表象下的薛定谔方程。

?

?

? 力学量 F的本征函数构成正交完备归一基 ??n ? x ??,现在研究在这个基下, ? 2. 平均值公式的表示:力学量G在态? 中的平均值 设? 的展开式为: cn?n ? x ? ?
n

? ? ? G ? (? ,? ) ? (? cn?n ? x ?, ? cm?m ? x ?) ? ? cn*cm (?n ? x ? , G?m ? x ?) G G
n m n

? ? cn* g n ,m cm ? c1*
n

?

c2*

? g1,1 ? ? ? g 2,1 ? ? ?

?

g1,2 ? ? ? c1 ? ?? ? ? g 2,2 ? ? ? c2 ?, g m,n ? (?n ? x ? , G?m ? x ?) ? ? ?? ? ? ?? ?

此即F 表象下的平均值公式。

3. 量子力学中本征方程的矩阵形式

? G? ? g? ? 力学量 F的本征函数构成正交完备归一基 ??n ? x ??,在这个基下,

? c1 ? ? ? ? x ? ? ? cn?n ? x ? , 用向量表示为:c2 ? , ? ? n ??? ? ? ? g1,1 g1,2 ? ? ? ? ? ? G的矩阵形式为:g 2,1 g 2,2 ? ?, g m,n ? (?n ? x ? , G?m ? x ?) ? ? ? ? ?? ? ? ? g1,1 g1,2 ? ? ? c1 ? ? c1 ? ? g1,1 ? g ? ?? ? ? ? ? 则本征方程为:g 2,1 g 2,2 ? ? ? c2 ? ? g ? c2 ? , 即: g 2,1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 此线性方程有非零解得条件是系数矩阵的行列式为零: g1,1 ? g g 2,1 ? g1,2 g 2,2 ? g ? ? ? ?0 ?

? ? ? c1 ? ?? ? g 2,2 ? g ? ? ? c2 ? ? 0 ? ? ?? ? ? ?? ? g1,2

由此代数方程可以解得本征值g。

表象变换
量子态的不同表象,幺正变换 ? 设 ??n ? x ?? 是力学量 F的正交完备归一本征函数集,任意波函数? ? x ? 可以按 ??n ? x ?? 展开:

? ? x ? ? ? cn?n ? x ?
n

?' 考虑另一个不同的力学量 F ,其完备正交归一本征函数是 ??n ' ? x ??,? ? x ? 也可以按 ??n ' ? x ?? 展开:

? ? x ? ? ? cn '?n ' ? x ? ,
n n

?? ' ? x ? , ? ' ? x ? ? ? ?
m n n

mn

(正交性)

由此得到: cn '?n ' ? x ? ? ? cn?n ? x ? ? ? ? ? ? 两边取标积 ??m ' ? x ? ,??: ? ?m ' ? x ?, cn '?n ' ? x ? ? ? ? ?m ' ? x ?, cn?n ? x ? ? ? ? n n ? ? ? ? ? ? 左边 ? ? ?m ' ? x ?, cn '?n ' ? x ? ? ? ? cn ' ??m ' ? x ?,?n ' ? x ? ? ? ? cn '? mn ? cm ' ? n n ? ? n ? ? 右边 ? ? ?m ' ? x ?, cn?n ? x ? ? ? ? ??m ' ? x ?,?n ? x ? ? cn ? n ? ? n 所以cm ' ? ? ??m ' ? x ?,?n ? x ? ? cn ? ? S mn cn 其中S mn ? ??m ' ? x ?,?n ? x ? ? ? c1 ' ? ? S11 ? ? ? 写成矩阵形式:c2 ' ? ? ? S 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
n n

S12 ? ? ? c1 ? ?? ? S 22 ? ? ? c2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?

? c1 ? ? c1 ' ? ? ? ? ? 所以同一个量子态在不同表象中的表示 ? c2 ? 和 ? c2 ' ? 通过一个矩阵S 相联系。 ??? ? ? ? ? ? ? ?

力学量的表象变换 ? ? F '的本征函数?m ' ? x ? 也可以按 F的本征函数集 ??n ? x ?? 展开

?n ' ? ? ??k , ?n ' ? ?k ? ? ??n ', ?k ? ?k ? ? Snk *?k
*

? S nk ? ??n ' ? x ?,?k ? x ? ?

k

k

k

? 在基 ??n ' ? x ?? 下,力学量G的矩阵表示G '的矩阵元是g 'mn , ? 在基 ??n ? x ?? 下,力学量G的矩阵表示G的矩阵元是g mn 现在看g 'mn 和g mn的联系: ? g ' ? (? ' ? x ? , G? ' ? x ?) ? (
mn m n

?S
l

* ml

? ? ?l ? x ?, G ? S nk *?k ? x ?) ? ? S ml S nk * (?l ? x ? , G?k ? x ?)
k k ,l mn

? ? S ml glk S nk * ? ? S ml glk S ? kn ? ? SGS ? ? ,S ?为S的转置共轭。
k ,l k ,l

可以证明,S 是幺正矩阵。即S ? ? S ?1 ? ? ? 单位算符 I在任何表象中都为单位矩阵,所以当G ? I时,g ' 所以 ? SS ? ?
mn

mn

? ? mn , glk ? ? lk

? ? mn , 即S ? ? S ?1

? G ' ? SGS ? ? SGS ?1

(三)么正变换的性质
(1)么正变换不改变算符的本征值 设 F 在 A 表象中的本征方程为:F a = λa 在B 表象, F' b = S F S-1 S a = S λ a F' = S F S-1 b = S a 可见,不同表象中,力学量算符 F对应同一状态 (a 和 b 描写同一状态)的的本征值不变。 = S F a = λ S a =λ b

(2)么正变换不改变矩阵的迹
矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和,即
Sp( F ?) ? ? F??? ? ? (SFS )??
?1

Sp F ? ? Fkk
?1 k?

?

?

? ?? S? j Fjk S
?
jk

k

??
jk

? ?

1 Sk?? S? j Fjk

? ? ? jk F jk ? ? Fkk ? Sp(F )
jk
k

F' 的迹等于 F 的迹,也就是说:么正变换不改变矩阵的迹。

(3)矩阵方程式经么正变换保持不变
矩阵方程式 表象 A

Fψ = φ

表象 B

F’ψ’ = φ’ = Sφ
Fψ = φ



F'ψ' =

(S F S-1) (Sψ)

= S Fψ

=φ' [证毕]

F' = S FS-1 ψ’ = S ψ
φ’= S φ

总而言之,表象不改变物理,例如不改变 态的标积,方程,方程的解

4.6 Dirac 符号

1. 左矢和右矢
先看坐标空间中的矢量A,在某个给定的坐标基下e1 ,e2 , A可以写成分量形式:A ? A1e1 ? A2e2 有很多时候没有必要指出具体的坐标架,而可以直接用A来表达
e2

A
A2 e1 A1 在量子力学中也一样,一个波函数? 可以在某个具体表象 ??n ? 下展开
? c1 ? ? ? ? cn?n,? ? ? c2 ? . ? ? n ??? ? ? 同样,在很多情况下,可以不要涉及具体的表象(相当于坐标系), 而直接讨论波函数及其方程。对应于矢量A, Dirac用 ? 和 ? 来表示波函数,

? 和 ? 与矢量A一样,不涉及具体表象,它们又称作态矢。 ? 称为右矢, 称为左矢。 ? 和 ? 互为共轭态矢。 ?

2. 标积
态矢 ? 与 ? 的标积记为 ? ?

?? ? ? ?
k j ? ? kj

*

? 力学量 F的本征态为 ?k , 简记为 k , 它们的正交归一性表示为:

3. 态矢在具体表象中的表示
? 力学量 F的本征函数为? k ? , 在F 表象中,态矢 ? 可以按 ? 展开:

? ? ? ak k ,
k

展开系数为:ak ? k ? ,在坐标表象中:k ? ? ??k ( x),? ( x) ? ? ? ?k * ( x) ( x) dx ? ? a1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? a2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

投影算符: ? Pk ? k k ? P k ? ? k k ? ? ak k ? P k的作用是把任何态矢在 k 方向的分量挑选出来

? ? ? ak k ? ? k ? k ? ? k k ? ? ?
k k

由于 ? 是任意的,所以

?k
k

k

k ? 1 (不是数字1,而是单位算符)

?k
k

k ? 1作用于任何波函数 ? 就是将 ? 按 k 展开:

? ? ? k k ? ? ? ak k
k k

在F 表象中,两个态矢的标积可如下计算:

? ? ? k k ? ? ? ak k , ak ? k ? ? ? ? k k ? ? ? bk k ,
k k k k k k

bk ? k ?

? ? ? ? k k ? ? bk * k , bk * ? ? k
所以: ? ? ? ?
k

? a1 ? ? ? k k ? ? ? bk *ak ? ? b1* , b2* , ?? ? a2 ? ? k ?? ? ? ?

4. 算符在具体表象中的表示
? 设态矢 ? 经算符 L运算后变成态矢 ? ,即: ? ? ?L? 这里还未涉及具体表象。 ? ? (类似于坐标空间中旋转算符 R作用于矢量A: A ) R 在F 表象中,
Schrodinger方程: 用Dirac符号表示为:i? ? ? ? ?H ? ?t

? F的本征函数为: k ? ,在F 表象下, ?

? ? ? k k ? ? ? ak k , a k ? k ? ? ? ? k k ? ? ? bk k ,
k k k k

? ? ? k k ? ? ? k ak
k k

Sch k i?

方程可写为:

bk ? k ?

? ? ? L ? 表示为: ? ? k ? ? k L? ?? k L j
j

? ? ? ? i? k? ?t ?t ? ? ? k H ? ?? k H j
j

j?

j?

? 即:bk ? ? k L j a j ?? Lkj a j
j j

? ? i ?a k ? ? k H j
j

j ? ? ? Lkj a j
j

? ? 其中Lkj ? k L j 为L在F 表象下的矩阵元。

平均值公式: ? 在态 ? 下力学量L的平均值为 ? F的本征态为? k ?, ? ? k k ? ? ? ak k ?
k k

? ? ? L ? ? L? ?? ? k k L? ?? ? k k L j
k kj

j?

? ? ? ak * k L j a j ? ? ak * Lkj a j
kj kj

本征方程: ? L ? ? L' ? 在F 表象中, ? k L ? ? L' k ? ? ? k L? ?? k L j
j j

j ? ? ? Lkj a j
j

L ' k ? ? L ' ak ? ? L ' ? kj a j ? k L ? ? L ' k ? ? ? ? Lkj ? L ' ? kj ? a j ? 0
j

此即本征方程在F 表象中的表示。

5. 表象变换
态的表象变换,F 表象的基为? k ? , F ' 表象的基为? ?

?

? ? ? k k ? ? ? ak k ?? ? ? ? ? ? a? ' ?
k k

?

?

a? ' ? ? ? ? ? ? k k ? ? ? ? k ak ? ? S? k ak
k k k

S? k ? ? k 写成矩阵形式: ? a1 ' ? ? S11 S12 ? ? ? a1 ? ? ? ? ?? ? a2 ' ? ? ? S 21 S 22 ? ? ? a2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 或简记为a ' ? Sa

算符的表象变换 ? ? 算符L在F 表象中的矩阵元为:L jk ? j L k ? ? 算符L在F ' 表象中的矩阵元为:L?? ' ? ? L ? ? L?? ' ? ? L ? ? ? ? j
kj

? j L k k ? ? ? S? j L jk S ? k *
kj

? ? S? j L jk S k ? ? ? ? SLS ? ?
kj

??

L ' ? SLS ? ? SLS ?1 ? L ' 和L分别是L在F ' 表象和F 表象中的矩阵。

6. 具有连续谱算符F下的表象
对应于分立谱的展开:? ? x ? ? ? cn?n ? x ? (求和),cn ? ? ?n* ? x ?? ? x ? dx 其中? ? x ? 和?n ? x ?已归一
n

用Dirac符号表示: ? ? ? cn n , cn ? n ?
n

? ? ? cn n ? ? n ? n ? ? n n ?
n n n n n

? c1 ? ? ? 在F 表象下, 可以写成向量形式:c2 ? ? ? ??? ? ?

由于 ? 是任意的,所以? n n ? 1, 为单位算符, n n 作用于波函数相当于按 n 展开 ?

? ? ? n n ? ? ? cn n
n n

波函数按具有连续谱的本征函数展开: ? 设? ( x)为任意波函数(已归一),?? ( x)是具有连续谱?的力学量 F ?的归一本征函数 ? ? x ? ? ? c(? )?? ? x ? d ? (积分),c(? ) ? ? ?? * ? x ?? ? x ? dx 用Dirac符号表示: ? ? ? c(? ) ? d ?, c(? ) ? ? ? , c(? )为 ? 在 ? 上的投影 ? c(?1 ) ? ? ? 在F? 表象下可以看成一个‘向量’:c(?2 ) ?,其中?是连续的,不可数的 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c (? ) ? d ? ? ? ? ? ? d ? ? ? d ? ? ? ? 相当于按 ? 展开: ? ? ? d ? ? ? ? ? ? ? c(? ) d ? ? ? c(? ) ? d ?

由于 ? 是任意的,所以:d ? ? ? ? 1, 为单位算符。d ? ? ? 作用于波函数, ? ?

? ? 对应于分立谱情形:力学量L在F 表象下的矩阵元为:Lmn ? m L n ? 设态矢 ? 经算符 L运算后变成态矢 ? ,即: ? L ? ? ? ? ? 在F 表象中,m ? ? m L ? ? ? m L n n ? ? ? Lmn n ?
n n

? ? 对应于连续谱情形:力学量L在F? 表象下的矩阵元为:L?? ' ? ? L ? ' ? 设态矢 ? 经算符 L运算后变成态矢 ? ,即: ? L ? ? ? ? ? 在F? 表象中, ? ? ? L ? ? ? d ? ' ? L ? ' ? ' ? ? ? d ? ' L?? ' ? ' ? ?
坐标表象或x表象: ? ? 粒子位置是一个可测量量,设其对应的算符为x, x的本征值就是粒子所处的位置x 记本征值x对应的本征函数为 x ? x x' ? x' x' , x ' x ? ? ? x ? x '? 连续谱归一到delta函数

? 分立谱本征函数正交归一:m n

? ? mn ?

在x表象下,波函数 ? 的表示: x ? 是 ? 在 x 上的投影或分量,记为? ( x) ? x ? 在x表象下,算符的表示(求矩阵元): ? x ' x x '' ? x ' x ' x '' ? x ' x ' x '' ? x ' ? ? x '? x ''? ? ? ? ? 设V ( x) ? ? vn x n , 则V ( x) x ' ? ? vn x n x ' ? ? vn x 'n x ' ? V ( x ') x ' ? x ' V ( x) x '' ? V ( x ')? ? x '? x ''?
n n n

? 动量算符p的x表象 ? ? p为动量算符,p的本征值就是粒子的动量p, 记本征值p对应的本征函数为 p ? p p ?p p , x p ? ?i ? exp ? px ? , 2? ? ?? ? 1 p x ? ? i ? exp ? ? px ? 2? ? ? ? ? 1

? ? x ' p x '' ? ? dp ' x ' p p ' p ' x '' ? ? p ' x ' p ' p ' x '' dp ' 1 1 ? ?i ? 1 ? i ? ?i ? ? i ? exp ? p ' x ' ? exp ? ? p ' x '' ?dp ' ? ?i ? exp ? p ' x ' ? exp ? ? p ' x '' ?dp ' 2? ? ? ?x ' 2? ? ?? ? 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?i ? ? ?i ? ? exp ? p ' ? x '? x '' ? ?dp ' ? ?i? ? ? x '? x ''? 2? ?x ' ? ? ?x ' ? ? ? ? p' ? ? x ' p 2 x '' ? ? dp ' x ' p 2 p ' p ' x '' ? ? p '2 x ' p ' p ' x '' dp '
2 1 ?i ? 1 ? i ? ?i ? ? i ? 2 ? ? ? p' exp ? p ' x ' ? exp ? ? p ' x '' ?dp ' ? ?? exp ? p ' x ' ? exp ? ? p ' x '' ?dp ' ? ?x '2 ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? ?? ? 2? ? ? ? ? ? 2 ?? ? 2 ?i ? 2 ? ? exp ? p ' ? x '? x '' ? ?dp ' ? ? ? ? ? x '? x ''? 2 ? 2 2? ?x ' ?x ' ?? ? 2

1

哈密顿量的x表象
2 2 ?2 ? x '' ? x ' p ? V ( x) x '' ? ? ? ? ? ? x '? x ''? ? V ( x ')? ? x '? x '' ? ? x' H 2m 2m ?x '2

薛定谔方程i? x i?

? ? ? ? H ? 的x表象 ?t

? ? ? ? x H? ?t ? ? ? 左 ? x i? ? ? i? x ? ? i? ? ? x ? ?t ?t ?t ? ??2 ? 2 ? ? ? 右 ? x H ? ? ? x H x ' x ' ? dx ' ? ? ? ? ? x ? x '? ? V ( x)? ? x ? x '? ?? ? x '?dx ' 2 ? 2m ?x ? ?? 2 ? 2 ? ? ? x ? x '?? ? x '?dx '? ? V ( x)? ? x ? x ' ?? ? x ' ?dx ' 2m ? ?x 2 ?? 2 ? 2 ? ? x ? x '?? ? x '? dx ' ? V ( x)? ? x ? 2 ? ? 2m ?x ?? 2 ? 2 ? ? ? x ? ? V ( x)? ? x ? 2 2m ?x 由此得x表象下的薛定谔方程: ? ?? 2 ? 2 i? ? ? x ? ? ? ? x ? ? V ( x)? ? x ? 2 ?t 2m ?x

动量表象: ? ? p为动量算符,p的本征值就是粒子的动量p, 记本征值p对应的本征函数为 p ? p p ?p p , x p ? p ' p ? ? ? p ? p ' ? 连续谱归一到delta函数 1 1 ?i ? ? i ? exp ? px ? , p x ? exp ? ? px ? 2? ? 2? ? ?? ? ? ? ? 在动量表象下,波函数 ? 的表示: p ? 是 ? 在 p 上的投影或分量,记为? ( p ) ? p ? 在动量表象下,算符的表示(求矩阵元): ? ? p ' x n p '' ? ? dx ' p ' x n x ' x ' p '' ? ? dx ' x 'n p ' x ' x ' p '' ? ? x'
n n 1 1 n ? ? i ? 1 ?i ? ? i ? ?i ? exp ? ? p ' x ' ? exp ? p '' x ' ?dx ' ? ? ? i? ? ?p 'n exp ? ? ? p ' x ' ? exp ? ? p '' x ' ?dx ' 2? ? 2? ? ? ? ? 2? ? ?? ? ? ? ? ?

n ?n n ? ?i ? exp ? x ' ? p ''? p ' ? ?dx ' ? ? i? ? ? ? p '? p ''? 2? ? ?p 'n ? ? ?p 'n ? ? ? ? 特别地:p ' x p '' ? i? ? ? p '? p ''? ?p '

? i? ? ?

n

? ? ? ? 设V ( x ) ? ? vn x n , 则V ( x ) x ' ? ? vn x n x ' ? ? vn x 'n x ' ? V ( x ') x '
n n n

? p ' V ( x) p '' ? V (i?

? )? ? p '? p '' ? ?p '

? p ' p n p '' ? p ' p 'n p '' ? p 'n p ' p '' ? p 'n ? ? p '? p '' ?

薛定谔方程i?

? ? ? ? H ? 的动量表象 ?t

??2 2 ? ? ? H? p ? V ( x) 2m ? ? p i? ? ? p H ? ?t ? ? ? 左 ? p i? ? ? i? p ? ? i? ? ? p ? ?t ?t ?t
2 ? ? ? p H p ' p ' ? dp ' ? p ? ? p 2 ? V ( x ) p ' p ' ? dp ' ? ? 右? p H ? ? 2m ? ?? 2 ? ? p 2? ? p ? p '?? ? p ' ?dp '? ? V (i? )? ? p ? p '?? ? p '?dp ' 2m ? ?p

?? 2 2 ? ? p ? ? p ? ? V (i? )? ? p ? 2m ?p 由此得动量表象下的薛定谔方程: ? ?? 2 2 ? i? ? ? p ? ? p ? ? p ? ? V (i? )? ? p ? ?t 2m ?p

第5章 力学量随时间的演化与对称性
5.1 力学量随时间的演化 5.1.1 守恒量 在量子力学中,处于量子态ψ下的体系,不是所有力学量都具有确 定值,而只有确定的几率分布和平均值 力学量在态ψ下的平均值随时间的改变

对定态:

? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? [ x, p 2 ] ? [ x, px ? p y ? p z ] ? [ x, p x ] ? p x [ x, p x ] ? [ x, p x ] p x ? 2i ?p x ? ? ? r ? xe x ? ye y ? ze z ? ? ? ? ? ? ?[r, p 2 ] ? 2i?( px e x ? p y e y ? pz e z ) ? 2i?p ? p2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [r, H ] ? [r, ? V (r )] ? [r, p 2 ] ? [r, V (r )] ? [r, p 2 ] 2m 2m 2m ? ? i? dr 1 p ? ? ? ? ? ?[r, H ] ? p, ? [r , H ] ? m dt i ? m ? ? [ px , V (r )] ? ? ? ? ? ? ? ? ? , V (r )]? (r ) ? ?i? ? V (r ) ? V (r ) ?? (r ) ? ? ?i? V (r ) ? ? (r ) ? ?x ?x ?x ? ?x ? ? ? ? ? 由于? (r )得任意性,得到: i? , V (r )] ? ?i? V (r ) [? ?x ?x ? ? ? ? ? ? p ? ?i ? ? e x ? ye y ? e z ? , 则: ?y ?z ? ? ?x 在坐标表象下: i? [? ? ? ? ? ? ? [p, V (r )] ? ?i? ? e x ? ye y ? e z ? V (r ) ? ?i??V (r ) ?y ?z ? ? ?x ? ? p2 p2 ? ? ? ? ? ? ? [p, H ] ? [p, ? V (r )] ? [p, ] ? [p, V (r )] 2m 2m ? dp 1 ? ? ? ? [p, H ] ? ?i??V (r ), ? [p, H ] ? ??V (r ) ? F (r ) dt i?

? i?p ? ? ?? , H ] ? r ? p, H ] ? [r, H ]?? ? r ?( ?i??V (r )) ? ? [? ? ? ? p ? ? [r p ?? p m ? p2 ?? ? ? i?( ? r ? V (r )) m

? E ? r, t ? ? ? E ? r ? e ? iEt / ?
? ? ? ? ?p r ?p ? ?? E * ? r, t ?r ?p? E ? r , t ? d? ? ?? E * ? r ? eiEt / ?r ?? ? E ? r , t ? e ? iEt / ? d? ?p ? ?? E * ? r ?r ?? ? E ? r ? d? ? d ?p r ?? ? 0 dt

d 1 1 ?p ? ? ? ? ? ? ?? ? r ?? ? ? E ?r ?p, H ? ? E ? ? E r ?pH ? Hr ?p ? E ? ? dt i? i? 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? E r ?pH ? E ? ? E Hr ?p ? E ? ? E r ?pE ? E ? ? E Er ?p ? E ? 0 i? i? i? i? 其中: E H ? E ? E ? ?

维里定理:
V (r ) ? r 2

V (r ) ?

V (r ) ? ? ? r ? , ? ? cr ? ? ? ? r ? / c
? ?r d V (r ) ? V (r ) ?x ?x dr d V ((1 ? ? )r ) ? V (r ) (1 ? ? ) n V (r ) ? V (r ) V (r ) ? lim ? lim ? ?0 ? ?0 dr ?r ?r V (r ) ? (1 ? ? ) n ? 1? V (r )n? nV (r ) ? lim ? lim ? ? ?0 ? ?0 ?r ?r r ? ? x2 ? y 2 ? z 2 ? ?r ? x 2 ? y 2 ? z 2 1 x x ? ? ? ? ?x ?x ?x 2 x2 ? y 2 ? z 2 x2 ? y 2 ? z 2 r ? nV (r ) x nV (r ) x V (r ) ? ? ?x r r r2 nV (r )r 2 r ? V (r ) ? ? ? nV (r ) r2 ? ?V (r ) ? nV (r ) r r2

1 r

?? ? ? ?? ?? ?? tr [ F , G ] ? tr FG ? GF ? tr FG ? tr GF ? 0

?

?

?

?

? ? ? ?

即:? ? x ? x 很小
即: 很小

穿越原子的时间:

?p是垂直运动方向的 动量不确定性, ?p / M ? =?v?

按测不准关系:

经典力学中发现守恒定律与对称性关系密切: 体系具有空间平移不变性(空间均匀性), 则体系动量守恒。
体系具有空间旋转不变性(空间各向同性), 则体系角动量守恒。

在量子力学中,守恒量也与对称性有密切关系
平移不变→动量守恒 旋转不变→角动量守恒

体系能级的简并度与对称有关,

能级间的跃迁也与对称性有关

? ? ? ? Q( x ? y ) ? Q( x)Q( y ), Q(0 ) ? 1,x和y是实参量 ? ? ? ? ? ? ? '( x) ? lim Q( x ? ?x) ? Q( x) ? lim Q( x)Q(?x) ? Q( x) ? Q( x) lim Q( ?x) ? 1 ? Q ?x ?0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?x ? ? Q(?x) ? Q(0 ) ? ? ? Q( x) lim ? Q '(0)Q( x) ?x ?0 ?x ? '( 0 ) ? ? ? ? ? Q( x) ? e xQ ? eixF , F ? ?iQ '(0) ( F 是与变换参量x无关的量) ? ? 对无穷小变换,? ? 0,有:Q(? ) ? 1 ? i? F ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? Q( x)为幺正算符,即:Q( x)Q ? ( x) ? 1, 所以eixF e ? ixF ? eix ( F ? F ) ? 1 ? F ? F ? ? 所以F为厄米算符

注意Q是幺正算符,一般不是厄米算符,即不是力学量,所以虽然Q与H对易: [Q,H]=0,,但是一般没有直接与Q相对应的守恒量。(守恒量总是相对于一个 力学量而言,即厄米算符而言。) 无穷小算符F是厄米算符, [F,H]=0,表示F所对应的力学量是守恒的。

? '( x ') ? D? ( x ') ?
D(? x)? ( x ')

? r ? ??n ? r

(1)经典粒子的可区分性 经典力学中,固有性质完全相同的两个粒子,是可以区分的。因为二粒 子在运动中,有各自确定的轨道,在任意时刻都有确定的位置和速度。

?位置 ? 轨道 ? ?速度

1 2 1 2

可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子

注意:在经典物理 中的哈密顿量中交 换两个经典的全同 粒子,也不改变哈 密顿量。

(3)量子微观粒子不可区分性 Indistinguishability
服从 微观粒子运动 量子力学 用 波函数描写

在波函数重叠区 粒子是不可区分的

由于波函数描述,没有确切轨道。 再者,由于不确定性原理,微观粒 子不同时具有确定动量和位置,不 可能用轨道来区分它们。在重叠区 域测到粒子,无法知道它是粒子1还 是粒子2。

哈密顿量的交换对称性:

波函数的交换不变性

波函数的交换对称性是不随时间变化的: 1 [ Pij , H ] ? 0 dt i? Pij ? ? ? 或 - ? ?
注意,这里只是要求对任意Pij有对称或反对称性,还未要求对所有 不同的Pij具有相同的交换对称性
现在还未排除这种可能性: 对P12是具有反对称性的,而对P23是具 有对称性的。

d ? Pij ?

P12Ψ= -Ψ, P23Ψ= Ψ
另外,和奇偶宇称相区别。

单从对易关系而言, [ Pij , H ] ? 0, 说明Pij 和H 存在共同本征态? ,但是存在[ Pij , Plk ] ? 0的情况, 例如P12 P13 ( x1 , x2 , x3 ) ? P12 ( x3 , x2 , x1 ) ? ( x2 , x3 , x1 ), P12 P13 ? P13 P12 即: 12 , P13 ] ? 0 [P P13 P12 ( x1 , x2 , x3 ) ? P12 ( x2 , x1 , x3 ) ? ( x3 , x1 , x2 )

这时,Pij 和H 存在共同本征态? 不一定是Plk的本征态,更不一定是所有Pmn的本征态。

全同粒子波函数对称化假设: 全同粒子波函数? (q1 , q2 ,?)只存在两种情况: 1.要么是完全交换对称的 即对任意交换算符Pij , Pij? (q1 , q2 ,?) ? ? ( q1 , q2 , ?) 2.要么是完全交换反对称的 即对任意交换算符Pij , Pij? (q1 , q2 ,?) ? ?? ( q1 , q2 ,?) 具有完全交换对称的波函数的粒子称为玻色子(Boson) 具有完全交换反对称的波函数的粒子称为费米子(Fermion)

Aeik ?(r1 ?r2 ) ? (1 ? P12 )eik ?(r1 ?r2 ) ? eik ?(r1 ?r2 ) ? eik ?(r2 ?r1 ) ? ?2i sin ? k ?(r1 ? r2 ) ? ? ?2i sin ? k ? ? r

P12 A ? P12 (1 ? P12 ) ? P12 ? P12 P12 ? P12 ? 1 ? ? A 所以A是反对称化子,它把任何一个双粒子波函数反对称化。

P21S=S, 对称化子

(1 ? P12 )eik ?r ? eik ?r ? P12 eik ?( r1 ?r2 ) ? eik ?r ? eik ?( r2 ?r1 ) ? eik ?r ? e ? ik ?r ? 2 cos(k ? ) r

?kS (r ) ?

1 eik ?r 3/ 2 2 ( 2? ) 1 1 ? (1 ? P12 ) eik ?r 3/ 2 ( 2? ) 2 S ? 2 cos(k ? ) r (2? )3 / 2

1

交换q1和q2相当于在行列式中交换对应q1和q2的列,行列式 交换列后反符号。该行列式称为Slater行列式,它关于所有 粒子交换反对称。

(21)和(22)式中有N!/n1! n2!... nN!项

中心力场:V (r) ? V (r )

H (?r) ? H (r)

在中心力场中,体系哈密顿量H具有旋转不变性。由上一章 的讨论知道旋转算符的无穷小算符对应着角动量,所以角 动量算符与H对易,是守恒量。

? ? ? ?2 ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? [ x, p 2 ] ? [ x, px ? p y ? pz2 ] ? [ x, px ] ? px [ x, px ] ? [ x, px ] px ? 2i?px ? ? ? r ? xe x ? ye y ? ze z ? ? ? ? ? ? ?[r, p 2 ] ? 2i?( px e x ? p y e y ? pz e z ) ? 2i?p ? ? [ px , V (r )] ? ? ? ? ? ? ? ? ? , V (r )]? (r ) ? ?i? ? V (r ) ? V (r ) ?? (r ) ? ? ?i? V (r ) ? ? (r ) ? ?x ?x ? ?x ? ?x ? ? ? ? 由于? (r )得任意性,得到: i? , V (r )] ? ?i? V (r ) [? ?x ?x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p ? ?i ? ? e x ? ye y ? e z ? , 则: , V (r )] ? ?i? ? e x ? [p ye y ? e z ? V (r ) ? ?i??V (r ) ?y ?z ? ?y ?z ? ? ?x ? ?x 在坐标表象下: i? [? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ px , x n ] ? [ px , xx n ?1 ] ? x[ px , x n ?1 ] ? [ px , x ]x n ?1 ? x[ p x , x n ?1 ] ? i ?x n ?1 ? ? ? ? ? ? [ px , x n ?1 ] ? x[ px , x n ? 2 ] ? i?x n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x[ px , x n ] ? x ? x[ px , x n ?1 ] ? i?x n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ px , x n ] ? x ? x[ px , x n ? 2 ] ? i?x n ? 2 ? ? i?x n ?1 ? x 2 [ p x , x n ? 2 ] ? 2i ?x n ?1 ? ? ? ni ?x n ?1

请求解能级和波函数

当|x|<a/2时

因为势阱无限高,当 |x|>a/2时, V(x)= ∞. 波函数在这些区域内为零。 边界条件

When t=0, the wave function is normalized (归一化)

?

??

??

Ψ(r,0 ) d 3r ? 1
2

Schr?dinger equation is non-relativistic. In the low energy region, there is no creation (产生) and annihilation (湮灭) of particles. Therefore, the total probability, namely 1, should not be changed with time.

?

??

??

Ψ(r,t) d 3r ? 1
2

?

A0 is a complex amplitude, including the phase factor.
Complex number is convenient. Addition of two waves of the same frequency and wave length is done like the addition of two vectors.

Conservation of total probability

?? ? ? ?? ? ?? * 2 3 3 Ψ(r,t) d r ? ? Ψ (r,t) r,t)d r ? ? Ψ( Ψ *(r,t)Ψ (r,t ) d 3r ? ? ?t ?t ??? ?t ?? ? ?? ?? ? * ? ? 3 * Ψ(r,t) Ψ (r,t) ? Ψ (r,t) Ψ(r,t)?d r ? ? ? Ψ(r,t)HΨ *(r,t) ? Ψ *(r,t)HΨ ??? ? ?? ?t ?t ? ?

?

?

?

H is the Hamiltonian (哈密顿量)

3. 写出边界条件

1).相邻区域的连续条件: a).连接处V ? x ? 有限时,要求? ? x ? 和其导函数? ' ? x ? 在连接处x ? a连续: ?1 ? a ? ? ? 2 ? a ? , ?1 ' ? a ? ? ? 2 ' ? a ? 或写成 ?1 ' ? a ? ?1 ? a ? ? ?2 '?a? ?2 ?a? 或 ? ln? 1 ? a ? ? '= ? ln? 2 ? a ? ? '
a ∞

这样的好处是:求能量量子化时可以撇开波函数归一化问题
b).连接处V ? x ? 无限时,要求? ? x ? 在连接处(x ? a )连续: 其导函数情形视V ( x)的情形而不同。

i)如果V ( x)连续在一个区域为无穷大,则?1 ? a ? ? ? 2 ? a ? ? 0

ii)如果V ( x)连续在一个点为无穷大,如? 函数,则 ?1 ? a ? ? ? 2 ? a ?, 而?1 ' ? a ? 和? 2 ' ? a ? 在x ? a处满足一定的跃变条件
0 a

2). 如求解束缚态,无穷远处的边界条件: ? ( x) ? 0 lim
x ??

力学量用矩阵表示

考虑分立谱情况: ? ?? ? x ?? 力学量F的正交完备本征函数集
n

那么,对任意归一波函数? ? x ?,有展开式:

? ? x ? ? ? cn?n ? x ? (??n ? x ??的完备性), cn ? ? ?n* ? x ?? ? x ? dx,

?? ? x ? , ? ? x ? ? ? ? ? ? x ?? ? x ? dx ? ?
* n m n m

n

n,m

(??n ? x ??的正交性)

? 现在考虑力学量G对? ? x ?的作用: ? ? ? ? ? x ? ? G? ? x ? ? G ? cn?n ? x ? ? ? cn ?G?n ? x ? ? ? ? n n ? ? 所以只要了解G对 ??n ? x ??中每个本征函数?n ? x ?的作用G?n ? x ? 即可知道对任意波函数? ? x ?的作用。

? 现在来看G对?n ? x ?的作用: ? G?n ? x ? ? ? g k ,n?k ? x ?
k

? ? G?n ? x ? 也是一个波函数.则由??n ? x ??的正交完备归一性,?n ? x ? 可以按 ??n ? x ?? 展开: G

两边做标积:

?

? ?m ? x ? , G?n ? x ? ? ? ?m ? x ? , ? g k ,n?k ? x ? ? ? ? g k ,n ??m ? x ? , ?k ? x ? ? ?
k

?

?

? ?

? ? g k ,n ??m ? x ? , ?k ? x ? ? ? ? g k ,n? m ,k ? g m ,n
k k

k

? ? 这样,对?n ? x ?的作用完全可以由g m ,n ? ?m ? x ? , G?n ? x ? 确定。 G ? ? ? ? ? G? ? x ? ? G ? cn?n ? x ? ? ? cn ?G?n ? x ? ? ? ? cn ? g k ,n?k ? x ? ? ? ? ? g k ,n cn ? ?k ? x ? ? ? n n n k k ? n ? ? ? ? ? x ? ? G? ? x ? 是G作用于? ? x ? 得到的波函数,可以按 ??n ? x ?? 展开: ? ? ? x ? ? G? ? x ? ? ? d k?k ? x ?
k

?

?

因为??n ? x ??的正交完备,所以上面两个展式中?k ? x ?的系数必须相同,即: d k ? ? g k ,n cn,将k换为m,则d m ? ? g m ,n cn
n n

? ? g k ,n cn ? ?k ? x ? ? ? d k?k ? x ? ??? k ? n k ?

或者两边做标积: ? ? ? ? ? ? ?m ? x ? , ? d k?k ? x ? ? ? ? ?m ? x ? , ? ? ? g k ,n cn ? ?k ? x ? ? ? k k ? n ? ? ? ? ? ? ? d k ??m ? x ? , ?k ? x ? ? ? ? ? ? g k ,n cn ? ??m ? x ? , ?k ? x ? ? ? k k ? n ? ? ? ? d k? km ? ? ? ? g k ,n cn ?? km k k ? n ? d m ? ? g m ,n cn
n



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