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2012届华师一附中高一下学期课外基础训练题(五)---数列答案


高一课外基础训练题(五)
1. (1) 已知数列 {an } 的前 n 项的和: Sn ? 2n2 ? n ? 1 ,求 an .

(2) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 1? ra n (r 为不等于 0,1 的常数), 求 an . 解:(1)当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 4 , 当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 4n ? 1 ,显然 a1 不适合 an ? 4n ? 1

(n ? 1) ?4 . ?4n ? 1 (n ? 2) (2)由 S n ? 1 ? ra n 可得当 n ? 2 时 S n?1 ? 1 ? ran?1 ,? S n ? S n?1 ? r (an ? an?1 ) , a r r ∴ an ? ran ? ran?1 ,∴ an (r ? 1) ? ran?1 , ∵ r ? 1, ∴ n ? ,∵ r ? 0 ,∴ {an } 是公比为 的 r ?1 a n ?1 r ? 1 1 1 r n ?1 ( ) . 等比数列.又当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ra1 ,∴ a1 ? ,∴ an ? 1? r 1 ? r r ?1
∴ an ? ? 2.设函数 f ( x) ? log2 x ? logx 2 (0 ? x ? 1) ,数列 an 满足 f (2an ) ? 2n ,求数列{an}的一个通项公式。 解: log2 2 an ? 由 故 an ? n ? n2 ? 1 . 3.数列{an}满足 a1=1,an=
1 log2 2
an

? 2n , an ? ∴

1 ? 2n , an ? n ? n2 ? 1 ,∵ 0 ? x ? 1 即 0 ? 2an ? 1 , an ? 0 , ∴ ∴ an

1 an-1+1 2

(n≥2) ⑵ 求数列{an}的通项公式。

⑴ 写出数列{an}的前5项; 解: ⑴ a1=1 ,a2=

3 7 15 31 , a3 ? , a4 ? , a5 ? . 2 4 8 16 1 1 1 ⑵ 由 an= an-1+1 (n≥2) 得 an-2= (an-1-2) ,令 bn= an-2,则 bn= bn-1.又 b1=a1-2=-1, 2 2 2 1 1 故 bn= ? n?1 ,于是 an=2 ? n?1 . 2 2 1 1 1 解法二: 由 an= an-1+1,得 an-1= an-2+1 .⑴-⑵,得 an-an-1= (an-1-an-2) 。 由此递推,可得 2 2 2 1 1 n-2 1 n-1 1 n-2 1 an-an-1= ( ) =( ) ,an-1-an-2=( ) ,………… a2-a1= .上述 n-1 个等式相加得 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( )n ?1 ] 1 2 an ? a1 ? 2 , an ? 2 ? n ?1 . 1 2 1? 2 1 1 解法三: 设 an+k=h(an-1+k)其中 k、h 为待定系数.将 an=han-1+kh-k 与 an= an-1+1 比较:h= , k=-2 2 2 1 1 故 an-2= (an-1-2) (n≥2) .而 a1-2=-1,∴数列{an-2}是以 为公比,-1 首项的等比数列。 2 2 1 1 an-2= ? n?1 ,an=2 ? n?1 . 2 2
解法四: 猜想: an ?

2n ? 1 1 ? 2 ? n ?1 . 然后用归纳法证明. n ?1 2 2
1

4.已知函数 f ( x) ?

x , 数列{a n }满足 : a1 ? 1, a n ?1 ? f (a n ).( n ? N ? ) ,求数列 {an } 的通项公式. 3x ? 1

解: (1)由已知得: a n?1 ?

an 3a ? 1 1 1 1 1 1 , ? n ? 3 ? ,? ? ? 3 ,? { } 是首项 an?1 an an 3an ? 1 an ? 1 an an

为 1,公差 d=3 的等差数列,

1 1 ? 3n ? 2,? an ? . an 3n ? 2

5.求和: 1 ?

1 1 1 ? ? ?? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 1 1 1 1 ? ? 2( ? ). 解:∵ an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 2n ∴ Sn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? . )] ? 2(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
6. 将自然数按下列规律排列 1 2 4 7 3 5 6 8 9 10

…………求第 n 行的各数之和。 解 : 设每一行第一个数分别 为 b1, b2, …, bn ,…则 b2 ? b1 ? 1 , b3 ? b2 ? 2 , b4 ? b3 ? 3 ,…, n(n ? 1) 1 bn ? bn?1 ? n ? 1 ,∴ bn ? b1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? ,∴ bn ? (n 2 ? n ? 2) .于是第 n 行共有 n 个自 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1)2 ?1 ? 然数,它的第一个数为 bn,故其和为 an ? nbn ? 2 2 1 解法二:从第一行起到第 n 行,共有 1 ? 2 ? ? ? n ? n(n ? 1) 个数相加,故第 n 行的最后一个数为 2
1 n(n ? 1) n(n 2 ? 1) 1 ? (?1) ? . n(n ? 1) ,第 n 行排成等差数列,公差为 ?1 ,∴ an ? n(n ? 1) ? n ? 2 2 2 2

7. 求和: S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 解:∵ n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2) ? 4n(n ? 1)(n ? 2) ? 4an

1 ∴ an ? [n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2)] 4 1 Sn ? {(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4) ? ? 4 1 ?[n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2)]} ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 4
方法二:∵ an ? n(n ? 1)(n ? 2) ? n3 ? 3n2 ? 2n

Sn ? (13 ? 23 ? ? ? n3 ) ? 3(12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n)

?[

n(n ? 1) 2 1 n(n ? 1) 1 ] ? 3 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? 2 ? ? n(n ? 1)[n(n ? 1) ? 2(2n ? 1) ? 4] 2 6 n 4

1 1 ? n(n ? 1)(n 2 ? 5n ? 6) ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) . 4 4
8.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? an2 ? bn ? c, (n ? N ) ,且 S1 ? 3, S 2 ? 7, S3 ? 13。求数列 {an }
2

的通项公式并求数列 {

1 } 的前 n 项和. a n a n ?1

?a ? b ? c ? 3 ?a ? 1 ? ? 解: (1)由已知有 ?4a ? 2b ? c ? 7 ,解得 ?b ? 1 ,所以 S n ? n 2 ? n ? 1 。 ?9a ? 3b ? c ? 13 ?c ? 1 ? ?
当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? n 2 ? n ? 1 ? [(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1] ? 2n, ∴ a n ? ?

?3, (n ? 1) . ?2n, (n ? 2)

(2)令 bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ,则 b1 ? ? ?( ? )。 ? ,当 n ? 2 时, bn ? 2n ? 2(n ? 1) 4 n n ? 1 a n ? a n ?1 a1 a 2 12 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 。 ( ? ? ? ??? ? )? 4 2 3 3 4 n n ? 1 8(n ? 1) 1 n ?1 5n ? 1 ? ? (n ? N *) 。 12 8(n ? 1) 24(n ? 1)

∴ b2 ? ? ? bn ?

∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ?

9.已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2), 求数列{an}的通项 an. 解:当 n≥2 时,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1, ① 又 an+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1) ·an-1+nan, ② ②-①得 an+1-an=na1.∴

a n ?1 =n+1. an



a a3 a a n! =3, 4 =4, …, n =n.以上各式相乘得 n =3×4×…×n,由已知得 a2=1, ∴an= (n≥2). 2 a2 a2 a3 a n ?1
?1(n ? 1), ? 。 (n ? 2). ?2 ?

∴ a n ? ? n!

10.已知 a n ?

n ? 98 n ? 99 n ? 98 n ? 99

(n ? N * ) ,求在数列 {an } 中的前 30 项中的最大项和最小项. ? n ? 99 ? 99 ? 98 n ? 99 99 ? 98 n ? 99 ? 1? 99 ? 98 n ? 99
,当 1 ? n ? 9 时,

解:an ?

99 ? 98 n ? 99

? 0, an

为递减函数;当 n ? 10 时,

? 0, an 为递减函数.? 最大项为 a10, 最小项为a9 .

11. 已知函数 f ( x) ? ?3x 2 ? 6x ? 2, S n 是数列 {an } 的前 n 项和, (n, n) 点 S (n∈N*) 在曲线 y ? f ( x) ? 2 上,求数列 {an } 的通项 an .又若 bn ? ( )

1 2

n ?1

, cn ?

a n ? bn ,且 Tn 是数列{cn}的前 n 项和.求 Tn . 6

3

解: (Ⅰ)点(n, S n )在曲线 y ? f ( x) ? 2 上,所以 sn ? ?3n2 ? 6n. 当 n=1 时,a1= S1=3,当 n≥2 时, an = S n - S n?1 ? 9 ? 6n ,? an ? 9 ? 6n.

1 9 ? 6n 1 n ?1 1 anbn ? ( ) ? (3 ? 2n)( ) n , 6 6 2 2 1 1 1 1 ?Tn ? c1 ? c1 ? ? ? cn ? ? ( ) 2 ? ? ? (3 ? 2n)( ) n . 利用错位相减法,? Tn ? (2n ? 1)( ) n ? 1. 2 2 2 2
n ?1 (Ⅱ)? bn ? ( ) , cn ?

1 2

12. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S n ? ( 解:由 a1 ? S1 ? (

an ? 1 2 * ) n ? N ,又 bn ? (?1) n Sn ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 2

a1 ? 1 2 2?d 2 ) ,∴ a1 ? 1 ,设等差数列的公差为 d,则有 2 ? d ? S2 ? ( ) ,解得 d1 ? 2 , 2 2

d 2 ? ?2 (舍).∴ an ? 2n ? 1 , S n ? n 2 ,即 bn ? (?1) n ? n 2

当 n 为偶数时, Tn ? ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? ? ? (?1) n ? n2 ? (22 ? 1) ? (42 ? 32 ) ? ? ? [n2 ? (n ? 1) 2 ]

? 3 ? 7 ? 11 ? ? ? (2n ? 1) ?

n(n ? 1) . 2

当 n 为奇数时, Tn ? ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (?1) n ? n2 ? (22 ? 12 ) ? (42 ? 32 ) ? ? ? (n ? 1) 2 ? n2 n(n ? 1) n(n ? 1) . ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n 2 ? ? n2 ? ? 2 2

4


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