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专题1.6 向量垂直、共线问题-小问题大用途之高三数学小问题集中营2018版(原卷版)


一、问题的提出
考试卷中对向量垂直和共线的考查常以基础题形式出现,以垂直和共线作为转化已知条件的工具,结合方 程思想求解;也会把平面向量作为处理平面解析问题的工具,尤其是垂直与共 线问题,使用向量垂直与向 量共线比传统方法简单许多,本文将概括垂直和共线的各种应用。

二、问题的探源
1. 平面向量垂直的坐标形式

若向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 2. 平面向量垂直的非坐标形式 若向量 a, b 为两个非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 . 3 .平面向量平行的坐标形式 若向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 4. 平面向量平行的非坐标 形式

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[来源:Zxxk.Com]

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[来源:学科网]

向量 a(a ? 0) 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

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三、问题的佐证
一、由向量垂直关系求参数值

x 2 , b ? ? x, 例 1 已知向量 a ? 1, 8? 若 a ? b ,则实数 x 的值为(
A. 2 B. ?2 C. ?2 D. 0

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二、由平行关系求参数值 例 2 已知向量 a=(1,m),b=(m,2), 若 a∥b, 则实数 m 等于( A.- 2 C.- 2或 2 B. 2 D.0 )

三、垂直关系和平行关系在三角函数和解三角形中的应用 例 3 已知 A(1,0), B(0,2), C(cos ?,sin ?),(0 ? ? ? ?) . (1)若 | OA ? OC |?

??? ?

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2 ? 3 ( O 为坐标原点) ,求 OB 与 OC 的夹角;

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(2)若 AC ? BC ,求 3sin ? ? cos ? 的值.

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例 4﹙2017 河北定州中学高三上周练一﹚在 ?ABC 中,已知 C ? 且m?n. (1)求 A 的值;

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6

,向量 m ? (sin A,1) , n ? (1,cos B) ,

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(2)若点 D 在边 BC 上,且 3BD ? BC , AD ? 13 ,求 ?ABC 的面积.

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四、向量垂直、共线在解析几何中的应用 例 5 如图,已知椭圆 C: 为 2 的正 三角形. (1)求椭圆 C 的方程;
[来源:学科网]

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1、F2 ,其上顶点为 A .已知 ?F1 AF2 是边长 a2 b2

(2)过点 Q(?4,0) 任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两点,在线段 MN 上取一点 R, 使得

MQ QN

?

MR RN

,试判断

当直线 l 运动时,点 R 是否在某一定直线上运动?若在请 求出该定直线,若不在请说明理由.

x2 y 2 例 6. 【2016 届安徽省六安一中高三上第五次月考】椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 a b

???? ???? F1 , F2 ,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 AF1 ? 3F1B .
(1)求椭圆的离心率; (2)设点 P(0, ?1) , | PA |?| PB | ,求椭圆 C 的方程.

四、 问题的解决
? m ? ? ? ? ? ? 1.已知非零向量 m , n 的夹角为 ,且 n ? ? ?2m ? n ? ,则 ? ? ( 3 n


A. 2

B. 1

C.

1 2

D.

2.已知向量 a ? ? ?2,3? , b ? ? m, 2? ,且 a ? b ,则实数 m 的值为________. 3.已知 a, b 是不共线的向量, AB ? ? a ? b , AC ? a ? ?b ? ? , ? ? R ? ,若 A, B, C 三点共线,则 ? , ? 的关 系一定成立的是( ) A. ?? ? 1 B. ?? ? ?1
[来源:学,科,网]

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1 3
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C. ? ? ? ? ?1 D. ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 4.已知 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2, 4 ? , 且ka ? b与b 垂直,则k ? ? ? A.

20 3

B. ?

10 3

C. ?

20 3

D.

10 3

5.已知向量 m ? ?1 ? x,1? , n ? ? x ? 2,2? ,若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,则 x ? ( A. -4 B. -3 C. -2 D. -1

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6.已知向量 m ? ? ?2,1? , n ? ?1,1? .若 ? m ? 2n ? ? ? am ? n ? ,则实数 a ? ( A. ?

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5 7

B.

5 7

7.已知向量 a ? A. 1 B. ?1

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1 2 ? ? ? ? ? 3,1 , b ? ? 0, ?1? , c ? k , 3 ,若( a ? 2b )与 c 互相垂直,则 k 的值为
C. ? D.

1 2

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D. ?3 ? ? ? ? ? ? 8.已知 a ? ?3,4? , b ? ? 2, ?1? 且 ? a ? xb ? ? ? a ? b ? ,则 x 等于 ( C. 3 A. 23 B.



23 2
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C.

9.已知 a ? ? ?3,1? , b ? ?1, ?2? , c ? ?1,1? . (1)求 a 与 b 的夹角的大小; (2)若 c / / a ? kb ,求 k 的值.

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23 3

D.

23 4
[来源:学#科#网]

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10.已知点 A ? ?2,0, 2 ? , B ? ?1,1, 2 ? , C ? ?3,0, 4 ? , a ? AB, b ? AC . (1)若 c ? 3 ,且 c / / BC ,求 c ; (2)求 cos a, b ; (3)若 ka ? b 与 ka ? 2b 垂直,求 k 的值. 11.已知 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 C ?

??? ?

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3

,设向量 m ? ? a, b ? , n ? ? sinB,sinA? ,

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? p ? ?b ? 2, a ? 2? .
(Ⅰ)若 m ? n ,求 B ;

?

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(Ⅱ)若 m ? p , S?ABC ? 3 ,求边长 c . 12.已知向量 a ? ? cos2? ,

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(1)当 a / / b 时,求 cos? 的值; (2)当 cos? ? ?

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3? ? ? 3? ,b ? ? 1 ? cos? , ? ? ?. ? ? 2 ? 2 ? ? ?

? 1 ? 2 ? ? 时, x ? a ? ?1 ? t ? b , y ? ka ? tb ( k , t 为实数) ,且 x ? y ,试求 kt 的最小值. 2 3



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