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江西省余江县第一中学2016届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题


余江一中 2016 届高三第二次模拟考试 数学试卷(理科) 命题人:陈清华 审题人:金俊颖

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟 第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.设 z ?

2 2 ? ?1 ? i ? ,则 z =( 1? i
B.1 )

) C.2 D. 2

A. 3

2. ? log 5 4 ? ? ? log16 25 ? ? ( A. 2
1

B. 1

C.

1 2

D.

1 4

x ?1 3.给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2 ,其中在区间 ? 0,1? 上

2

单调递减的函数序号是( ) A.①④
2

B.①②

C.②③

D.③④

4.函数 f ( x) ? 2ln x ? x ? bx ? a (b ? 0, a ? R) 在点 ? b, f (b) ? 处的切线斜率的最小值是() A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 1

5. 已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 3 x ? y ? 0 上,则

sin(

3? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) 2 等于 ( ) ? sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 3 3 A. ? B. 2 2


C. 0

D.

2 3

6.下列四个命题中,正确的有(

①两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
2 ②命题 p :“ ?x0 ? R , x0 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定 ?p :“ ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;

③用相关指数 R 来刻画回归效果,若 R 越大,则说明模型的拟合效果越好;

2

2

④若 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log0.3 2 ,则 c ? a ? b . A.①③④ B.①④ C.③④ D.②③

7 .定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 x ? [?3,?1) 时, f ( x) ? ?( x ? 2) 2 , 当 x ? [?1,3) 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2015) ? ( (A) 336 (B) 355 (C) 1676 )

(D) 2015

8.在下列给出的命题中,所有正确命题的个数为( ) ①函数 y ? 2 x3 ? 3x ? 1 的图象关于点 ? 0,1? 成中心对称; ②对 ?x, y ? R, 若 x ? y ? 0 ,则 x ? 1, 或y ? ?1; ③若实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 1, 则

y 3 的最大值为 ; x?2 3

④若 ?ABC 为锐角三角形,则 sin A ? cos B. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个

9.已知函数

f ( x) ? ln

ex e 2e 2012e , 若f( )+f( )+ ? +f( )=503(a ? b), 则a 2 ? b 2 e? x 2013 2013 2013

的最小值为( ) A.6 10.已知函数 f ( x) ? ? A.-28 B.8 C.9 D.12

? x2 ? 3x( x ? 0) ? g ( x) ( x ? 0)
B.-8

为奇函数,则 f ( g (?1)) ? ( ) C.-4 D.4

11.将 5 位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每所大学至少 保送一人的不同保送的方法数为( A.240 B.180 )种. C.150 D.540

12 . 已 知 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 是 R , f ? ? x ? 是 f ? x ? 的 导 数 , f ?1? ? e ,

g ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? x ? , g ?1? ? 0 , g ? x ? 的 导 数 恒 大 于 零 , 函 数 h ? x ? ? f ? x ? ? ex
( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数)的最小值是( )

A.-1

B.0

C.1 第 II 卷

D.2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. ....... 13.已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , (? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 1 ,则 ? y ? 1 ? sin ? .


直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为

14.若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。

(用数字作答) 。

15.如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机取一点,则它取自阴影部分的概

率为

.

16. 定 义 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 定 义 域 内 给 定 区 间 [a,b] 上 存 在 x0 (a ? x0 ? b) , 满 足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a) b?a ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数” , x 0 是它的一个均值

点.例如 y=| x |是 [ ?2 ,2] 上的“平均值函数” ,0 就是它的均值点.给出以下命题:

2? ] 上的“平均值函数” ①函数 f ( x) ? cos x ? 1 是 [?2? , .

a?b y ? f ( x ) [ a , b ] ②若 是 上的“平均值函数” ,则它的均值点 x0≥ 2 .
2 1] 上的 ③若函数 f ( x) ? x ? mx ? 1 是 [?1, “平均值函数” , 则实数 m 的取值范围是 m ? (0 ,2) .

x 0 是它的一个均值点, ④若 f ( x) ? ln x 是区间 (b>a≥1) 上的 “平均值函数” , 则 ln x0 ?
其中的真命题有 . (写出所有真命题的序号)

1 ab



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字 ........ 说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2

﹣x|都成立. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)设m>n>0,求证:2m+ ≥2n+a.

18. (本小题满分12分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R(其中 A ? 0 ,? ? 0 ,0 ? ? ? )的图象与 x 轴相邻两个交点之间的距离为 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ)当 x ? [

?
2

2? ? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 3 2

, ] 时,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x sin α ? 1, x ? [? (1)当 ? ?

3 1 , ], α ? [0,2π ] . 2 2

?
6

时,求 f(x)的最大值和最小值,并求使函数取得最值的 x 的值;

(2) 求 ? 的取值范围,使得 f(x)在区间 [?

3 1 , ] 上是单调函数. 2 2

20. (本小题满分 12 分)现有甲、乙、丙三人参加某电视台应聘节目《非你莫属》 ,若甲应 聘成功的概率为 互独立的. (1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,求 t 的值; (2)记应聘成功的人数为 ? ,若当且仅当 ? 为 2 时概率最大,求 E (? ) 的取值范围.

t 1 ,乙、丙应聘成功的概率均为 (0 ? t ? 2) ,且三个人是否应聘成功是相 2 2

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? lg? (1)判别函数 f ?x ? 的奇偶性;

? 3? x ? ? ,其中 x ? ?? 3,3? ? 3? x ?

(2)判断并证明函数 f ?x ? 在 ?? 3,3? 上单调性; (3)是否存在这样的负实数 k ,使 f ?k ? cos? ? ? f cos 若存在,试求出 k 取值的集合;若不存在,说明理由.

?

2

? ? k 2 ? ? 0 对一切 ? ? R 恒成立,

22.(本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? mx ? ln x ( 0 ? x ? e ) , g ? x? ? 对数的底数, m ? R . (1)当 m ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间和极值; (2)求证:当 m ? 1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 1 ? ;

ln x ,其中 e 是自然 x

1 e

(3)是否存在实数 m ,使 f ? x ? 的最小值是 2 ?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理 由.

余江一中 2016 届高三第二次模拟考试数学(理科) 参考答案 一.1-5 D B C A B 6-10 C A C B A 14. 31 11-12 C B

二.13. (?1,1)
2 e2

15. 16. ①③④ 三. 17.(Ⅰ)解:|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3, 3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|............................4分 ∵对任意实数x,不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立, ∴a=3; ????????????????????????????????5分 (Ⅱ)证明:2m+ ∵m>n>0, ∴(m﹣n)+(m﹣n)+ ≥3 =3, ﹣2n=(m﹣n)+(m﹣n)+ ,.????7分

∴2m+

﹣2n≥3,???????????????????????9分

即2m+

≥2n+a.???????????????????????10分

18.解析: (Ⅰ)两交点之间距离为 且图象上最低点 M (
A?2

??

2?

? 2

2? , ?2) 3

?

? 2 ,??????????????????????2 分

将点 M 代入 y ? 2sin(2 x ? ? ) 解得 ? ?

?
6

∴ y ? 2sin(2 x ?

?

) 6 ............................................4 分

(Ⅱ)∵函数 y ? sin x( x ? R )的单调递增区间为 [? ∴?

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2 k? ] k ? Z

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k?

????????????????????6 分

解得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ] , k ? Z ??????????8 分

(Ⅲ)∵

?
12

?x?

?
2
???????????????????????9 分

7? ∴ ? 2x ? ? 3 6 6
即 ?1 ? 2sin(2 x ?

?

?

?
6

)?2

∴ ?1 ? y ? 2 , f ( x) 值域为 [?1, 2] ???????????????????12 分 19.解析: (1) 当 ? ? ∵ x ? [? ∴当 x= ?

?
6

2 时, f ( x) ? x ? 2 x sin

π 1 5 ? 1 ? x 2 ? x ? 1 = ( x ? ) 2 ? ??2 分 2 4 6

3 1 , ] 2 2
1 5 时,f(x)取到最小值 ? 2 4
2

当 x=

1 1 时,f(x)取到最大值 ? ???5 分 2 4

(2)函数 f ( x) ? x ? 2 x sin α ? 1图象的对称轴为直线 x= ? sin α 当 ? sin α ≤ ?

π 2π 3 3 3 1 ,即 sin α ≥ ,即 ? α ? 时,函数 f(x)在区间 [? , ] 上是增函 3 3 2 2 2 2

数;?????????????????????????????7 分 当?

1 π 2π 7π 3 1 3 ? ? sin α < ,即 ? ? sin α ? ,即 0≤ α < 或 <α< 2 3 3 6 2 2 2



11π 1 3 ? α ≤ 2π 时 , f(x) 在 区 间 [? ,? sin π ] 上 为 减 函 数 , 在 [ ? sin π , ] 上 为 增 函 6 2 2

数; ??????????????????????????????9 分 当 ? sin α ≥

1 1 7π 11π 3 1 ,即 sin α ≤ ? ,即 ≤α≤ 时,函数 f(x)在区间 [? , ] 上是减函 2 6 6 2 2 2

数。???????????????????????????11 分 综上:当

7π 11π π 2π 3 1 ?α? 或 ≤α≤ 时 , 函 数 f(x) 在 区 间 [? , ] 上是单调函 6 6 3 3 2 2

数。?????????????????????????????12 分 20.解析: (1) 由题意得 2 ? 分 (2) ? 的所有可能取值为

t t 1 ? (1 ? ) ? , 解得 t ? 1?????????????????3 2 2 2

0,1, 2,3 ??????????????????????????????4 分

1 t t (2 ? t ) 2 P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 2 2 8 ?????????????????????
???5 分

1 t t 1 t t 4 ? t2 P(? ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 2 2 2 2 2 2 8 ????????.6 分 1 t t 1 t t 4t ? t 2 P(? ? 2) ? 2 ? ? ? (1 ? )+(1 ? ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 8 ???????????????.7


1 t t t2 P(? ? 3) ? ? ? ? 2 2 2 8 ?????????????????????????????
???????..8 分 故分布列为

?
P

0

1

2
4t ? t 2 8

3

(2 ? t ) 2 8

4 ? t2 8

t2 8

? E? ? t ?

1 2 ??????????????????????????????????

???????????10 分 由题意得: P(? ? 2) ? P(? ? 1) ?

?t 2 ? 4t ? 2 t ?1 ? 0 , P(? ? 2) ? P(? ? 0) ? ?0, 2 4

P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

2t ? t 2 ? 0 ,又因为 0 ? t ? 2 ,所以解得 t 的取值范围为 1 ? t ? 2 4

3 5 ? ? E? ? 2 2 ??????????????????????????????????
??????????12 分 21.解析(1)? f ?? x ? ? lg ?

?3? x? ?3? x? ? ? ? lg ? ? ? ? f ?x ? ? f ? x ? 是奇函数.?3 分 ?3? x? ?3? x?

(2)任取 x1 , x 2 ? ?? 3,3?, 且x1 ? x 2 , f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? lg ? ?

? 3 ? x1 ? ? 3 ? x2 ? ? lg ? ? ?3? x 2 ? 3 ? x1 ? ?

? ? ? ?

? lg

?3 ? x1 ??3 ? x2 ? 9 ? 3?x 2 ? x1 ? ? x1 x 2 ? lg ?3 ? x1 ??3 ? x2 ? 9 ? 3?x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ????????????????4 分

? 9 ? 3?x2 ? x1 ? ? x1 x2 ? 9 ? 3?x2 ? x1 ? ? x1 x2 ? 0 ??????????????5 分

?

9 ? 3?x2 ? x1 ? ? x1 x2 ? 1 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? 9 ? 3?x1 ? x2 ? ? x1 x2

? f ?x ? 是 ?? 3,3? 上的减函数;??????????????????????.7 分
(3)? f ?k ? cos? ? ? ? f cos 2 ? ? k 2 ? f k 2 ? cos 2 ? ? f ? x ? 是 ?? 3,3? 上的减函数

?

?

?

?

?k ? 0 ??3 ? k ? cos ? ? 3 ? ?? 对? ? R恒成立 2 2 ??3 ? cos ? ? k ? 3 ?k ? cos ? ? k 2 ? cos 2 ? ? 由k ? cos ? ? k 2 ? cos 2 ? 对? ? R恒成立得:k ? k 2 ? cos ? ? cos 2 ? 对? ? R恒成立 ..8

1? ? 2 1 ? 1 ? ? cos ? ? ?? 1,1?? y ? ?? 2, ? 令 y ? cos ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? 4? ? 4 ? 2? 2 ? k ? k ? ?2 ? k ? ?1 ?????..9 分
2

同理:由 ? 3 ? k ? cos ? ? 3 对? ? R恒成立 得: ? 2 ? k ? 2 ??????????10 分 由 ? 3 ? cos 2 ? ? k 2 ? 3 对? ? R恒成立 得: ? 3 ? k ? 3 ??????????.11 分 即综上所得: ? 3 ? k ? ?1 所以存在这样的 k 其范围为 ? 3 ? k ? ?1 ?????.12 分 22.解析: (1)∵ f(x)=x-lnx,∴ f ?( x) ? 1 ? 由 f ?( x) ? 0 得 1<x<e,由 f ?( x) ? 0 得 0<x<1 ∴ f ( x) 的单调递减区间为 (0 , ;??????????2 分 1) ,单调递增区间为(1,e) ∴ f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1 . ??????????????????????3 分
1 x ?1 , (0 ? x ? e) ???????1 分 ? x x

(2)由(1)知 f ( x) 的极小值为 1,也就是 f ( x) 在 (0,e] 上的最小值为 1,
1 ? ln x 1 1 ln x 令 h(x)= g ( x) ? 1 ? = ,?????????????4 分 ? 1 ? , h?( x) ? x2 e x e

当 0<x<e 时, h ?( x) ? 0 ,所以 h(x)在 (0,e] 上单调递增,
1 1 ∴ h(x)max= h(e)= ? 1 ? ? 1 . e e

∵ h( x) max ? h(e) ? 1 与 f ( x) min ? f (1) ? 1 不同时取到, ∴ f ( x ) ? h( x ) 即 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 ?
1 e ????????????????????7 分

(3)假设存在实数 m,使 f(x)=mx-lnx(x∈ (0,e] )有最小值 2,
f ?( x) ? m ? 1 mx ? 1 .?????????????????????????8 分 ? x x

① 当 m≤0 时,f(x)在 (0,e] 上单调递减,
min

=f(e)=me-1=2,解得 m=

3 ? 0 ,舍去.............................9 分 e

②当 0<

1 1 1 <e 时,因为 f(x)在(0, )上单调递减,在 ( ,e] 上单调递增, m m m 1 )=1+lnm=2,解得 m=e,满足条件.???????????10 分 m

所以 min=f( ③当

1 ≥e 时,因为 f(x)在 (0,e] 上单调递减, m

1 3 所以 min=f(e)=me-1=2,解得 m= ,不满足 ≥e,舍去.????????11 分 m e

综上,存在实数 m=e,使得当 x∈ (0,e] 时 f(x)有最小值 2.????.????12 分

学校名录参见:http://www.zxxk.com/wxt/list. aspx?ClassID=3060



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