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四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试数学(文)试题含答案


四川省绵阳市高中 2013 级第三次诊断性考试 数学(文史类)

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绵阳市高 2013 级第三次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BADAD CBDBD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.2 12. ?

120 119

13.-4≤b≤4 或 b=2 5

14.11.5 15.①③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解: (I)第四组的人数为× 50=16, 中位数为 40+÷ 0.04=47.5.………………………4 分 (II)据题意,第一组有 0.004× 10× 50=2 人,第五组有 0.008× 10× 50=4 人, 记第一组同学成绩为 A,B,第五组成绩为 a,b,c,d, 则可能构成的基本事件有(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(A,B),(a,b),(a,c),(a, d),(b,c),(b,d),(c,d),共 15 种, …………………………………………………………8 分 其 中至 少有 一名 是第 一组 的有 (A , a) , (A , b) , (A , c) , (A , d) , (B , a) , (B , b) , (B , c) , (B , d) , (A , B) , 共 9 种, ……………………………10 分 ∴ 概率 P=

9 3 ? . 15 5

…………………………………………………………12 分

17.解: (I)设{an}的公差为 d,则由题知 ?(a1 ? 2d )( a1 ? 4d ) ? 3(a1 ? 6d ), ?d ? 0, ?d ? 1, ? 解得 ? (舍去)或 ? ? 3? 2 3a1 ? d ? 9, ?a1 ? 3, ?a1 ? 2, ? 2 ? ∴ an=2+(n-1)× 1=n+1. ………………………………………………………5 分 1 1 1 1 ? ? ? (II)∵ , a n a n ?1 (n ? 1)( n ? 2) n ? 1 n ? 2 ∴ Tn=

1 1 1 + +…+ a1a2 a2 a3 a n a n ?1
= ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? (

1 1 1 1 1 1 ? ) 2 3 3 5 n ?1 n ? 2 1 1 = ? 2 n?2 n = ,………………………………………………………………10 分 2(n ? 2) Tn 1 n n 1 1 ∴ ≤ = , ? ? ? 2 2 4 a n ?1 2(n ? 2) 16 2(n ? 4n ? 4) 2(n ? 4 ? ) 4 2( 4 ? 2 n ? ) n n 4 当且仅当 n ? ,即 n=2 时“=”成立, n T 1 即当 n=2 时, n 取得最大值 .…………………………………………12 分 a n ?1 16
18.解: (I)在△ ABC 中,由正弦定理有,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入 b=acosC+csinA 中,即得 2RsinB=2RsinAcosC+2RsinCsinA, ∴ sinB=sinAcosC+sinCsinA.…………………………………………………3 分 ∵ sinB=sin=sin(A+C), ∴ sin(A+C)=sinAcosC+sinCsinA, 即 sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA,
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整理得,cosAsinC=sinCsinA, ∵ sinC≠0, ∴ cosA=sinA, ∴ A=

?
4



………………………………………………………………………5 分

(II)在△ ABC 中,sinB= 1 ? cos 2 B ? 由

4 , 5

AC 5 AC BC 即 ,解得 AC= 4 2 ,………………………………7 分 ? ? 4 sin B sin A 2 5 2
2 3 2 4 2 ? + ? = , 2 5 2 5 10
∴ AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cosC=32+25-2×4 2 × 5×

又∵ cosC=cos=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB =-

2 =49, 10 ∴ AB=7, ……………………………………………………………………10 分 1 于是由 BD ? BA 可得 BD=1, 7 3 2 2 ∴ CD =BC +BD2-2BC· BD· cosB=25+1-2× 5× 1× =20, 5 ∴ CD= 2 5 .…………………………………………………………………12 分 19. (I)证明:∵ PQ//BC//B1C1,B1C1 ? 面 A1B1C1,PQ ? 面 A1B1C1, ∴ PQ//面 A1B1C1.……………………………………………………………2 分 ∵ 面 A1PQ∩面 A1B1C1=l, ∴ PQ//l,………………………………………………………………………3 分 ∴ l//B1C1. ……………………………………………………………………6 分 (II)解:P 为 AB 的中点时,平面 A1PQ⊥面 PQC1B1.证明如下: 作 PQ 的中点 M,B1C1 的中点 N,连接 A1M,MN,A1N, C ∵ PQ//BC, G Q ∴ AP=AQ,进而 A1Q=A1P, M ∴ A1M⊥PQ, B A C1 P ∵ 平面 A1PQ⊥面 PQC1B1, N 平面 A1PQ∩面 PQC1B1=PQ, ∴ A1M⊥面 PQC1B1,而 MN ? 面 PQC1B1, A1 B1 ∴ A1M⊥MN,即△ A1MN 为直角三角形. 连接 AM 并延长交 BC 于 G,显然 G 是 BC 的中点, AM x 3 AM AP x, ? ,解得 AM= 设 AP=x,则 PB=2-x,则由 ,可得 ? 2 AG AB 3 2
在 Rt△ AA1M 中,A1M2=AA12+AM2= 同理 MG=AG-AM= 3 ?

3 3 2 ? x . 4 4

3 x, 2 3 2 3 2 15 3 x ) +( ) = ? 3x ? x 2 . 2 2 4 4

在 Rt△ MGN 中,MN2=MG2+GN2=( 3 ? ∴ 在 Rt△ A1MN 中,A1N2=A1M2+MN2, 即 3=

3 3 2 15 3 ? x + ? 3x ? x 2 , 4 4 4 4

解得 x=1,即 AP=1,此时 P 为 AB 的中点.……12 分
-4-

20.解: (I)设焦点 F(c,0),则 由题意有 ( ) 2 ?

c 2 ? ,从而 a2=2c2, a 2

又由 a2=b2+c2,于是 2c2+2=c2,解得 c2=2,a2=4, ∴ 椭圆 E 的方程为

c a

1 1 1 ? 1 ,即 ? 2 ? 1 ,解得 b2=2, 2 2 b b

x2 y2 ? ? 1 . ………………………………………………4 分 4 2 (II)依题意可知 BC⊥AC,且∠BCO=∠ACO=45? , 于是直线 BC 的斜率为 kBC=1,直线 AC 的斜率为 kAC=-1, ………………6 分 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(0,y0), y ? y0 y ? y0 ? ?1 , k BC ? 2 ? 1, 则 k AC ? 1 x2 x1 ∴ x1=y0-y1=-k(x1+1)+y0,x2=y2-y0=k(x2+1)-y0, 相加得 x1+x2=k(x2-x1). ………………………………………………………8 分 ? y ? kx ? 1, 联立 ? 2 消去 y,整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0, 2 x ? 2 y ? 4 , ? 4k 2 ∴ x1+x2= ? ,x1x2= ? .………………………………………10 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 把 x1+x2=k(x2-x1)两边同时平方,可得(x1+x2)2=k2, 4k 2 2 代入可得( ? ) =k , 1 ? 2k 2 化简可得 4k2+1=2,或 k2=0, 1 解得 k= ? ,或 k=0, 2 1 即存在满足条件的 k 值,k= ? ,或 k=0.…………………………………13 分 2 1 1 ? ln x 21.解: (I)∵ f ( ) ? ?e , f ?( x) ? , e x2 1 ∴ 切线斜率为 k= f ?( ) ? 2e 2 , e 1 故所求的切线方程为 y+e=2e2(x- ),即 y=2e2x-3e.………………………3 分 e m 1 (II) g ?( x) ? ? 2 , 2 x 当 m≥0 时, g ?( x) >0 恒成立,无单调递减区间;
当 m<0 时,由 g ?( x) <0 可解得 x<- ? ∴ g(x)的单调递减区间为(-∞,- ?

2 2 或 x> ? , m m

2 2 )和( ? ,+∞). ………………7 分 m m (Ⅲ)原命题转化为 f(x)-g(x)<0 在(0,+∞)上恒成立, 1 即 lnx- mx2-(m-1)x+1<0 在(0,+∞)上恒成立, (*) 2 1 令 h(x)= lnx- mx2-(m-1)x+1,即 hmax(x)<0. ……………………………8 分 2 1 (mx ? 1)( x ? 1) ∵ h?( x) ? ? mx ? (m ? 1) ? ? , x x ∴ 当 m≤0 时, h?( x) >0,此时 h(x)在(0,+∞)上单调递增,
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3m +2>0,故命题(*)不成立; 2 1 1 当 m>0 时,由 h?( x) >0 解得 0<x< ,由 h?( x) <0 解得 x> , m m 1 1 ∴ 此时 h(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减, m m 1 1 ∴ hmax(x)=h( )=-lnm+ ,………………………………………………11 分 2m m 1 令 φ(m)=-lnm+ , 2m 1 由函数 y=-lnm 与函数 y= 在(0,+∞)上均是减函数, 2m
而 h(1)= ? 知函数 φ(m) 在(0,+∞)上是减函数. ∵ 当 m=1 时,则 φ(1)= 当 m=2 时,φ(2)=-ln2+

1 >0, 2

1 1 1 <-ln e + =- <0, 4 4 4

∴ 当 m≥2 时,φ(m)<0, 即整数 m 的最小值为 2. ……………………………………………………14 分

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