9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第3课时 等比数列的前n项和)ppt同步课件_图文

第一章 数列

第一章 §3 等比数列
第3课时 等比数列的前n项和

1 课前自主预习

2 课堂典例讲练

4 本节思维导图

3 易混易错点睛

5 课时作业

课前自主预习

国际象棋起源于古代印度.相传国 王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要 什么.发明者说:“请在棋盘的第 1 个 格子里放上 1 颗麦粒,第 2 个格子里放 上 2 颗麦粒,第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,依次类推,每个格 子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到第 64 个格子.

请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不 高,就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40g,据查,目前 世界年度小麦产量约6亿吨,根据以上数据,判断国王是否能 实现他的诺言.要解决这个问题就需要学习本节的等比数列的 前n项和.

1.等比数列前n项和公式 (1) 等 比 数 列 {an}的前 n项和为 Sn , 当公 比 q≠1时 ,Sn = a1?1-qn? a1-anq __1_-__q___=___1_-__q__;当q=1时,Sn=___n_a_1___. (2)推导等比数列前n项和公式的方法是_错__位__相__减__法___.

2.等比数列前 n 项和公式与函数的关系
(1)当公比 q≠1 时,令 A=1-a1q,则等比数列的前 n 项和公 式可写成 Sn=-__A__q_n+__A_的形式.由此可见,非常数列的等比数
列的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成 的,而指数式的系数与常数项互为__相__反__数__.
当 公 比 q = 1 时 , 因 为 a1≠0 , 所 以 Sn = na1 是 n 的 __正__比__例__函__数___(常数项为 0 的一次函数).

(2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数
_y_=__-__A_q_x_+__A__图像上的一群孤立的点.当q=1时,数列S1, S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数_y_=__a_1_x__图像上的一
群孤立的点.

1.等比数列{an}中,an=2n,则它的前n项和Sn=( )

A.2n-1

B.2n-2

C.2n+1-1

D.2n+1-2

[答案] D

[解析] 等比数列{an}的首项为 2,公比为 2. ∴Sn=a1?11--qqn?=2?11--22n?=2n+1-2,故选 D.

2.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,

则数列{an}的前7项和为( )

A.63

B.64

C.127

D.128

[答案] C

[解析] 设等比数列{an}的公比为 q,则 q>0.因为 a1=1, a5=16,所以 1×q4=16,解得 q=2,所以数列{an}的前 7 项和 S7=a1?11--qq7?=11--227=127.

3.已知等比数列{an}的公比为2,前4项的和是1,则前8项 的和为( )

A.15

B.17

C.19

D.21

[答案] B [解析] 由题意,得a1?11--224?=1,解得 a1=115,所以前 8

项的和为115×1-?1-2 28?=17.

4.已知等比数列的首项为2,公比为-1,则前99项之和

是( )

A.0

B.-2

C.2

D.198

[答案] C

[解析] S99=2[11--??--11??99]=2.

5 . 若 数 列 {an} 满 足 a1 = 1 , an + 1 = 2an(n∈N + ) , 则 a5 = ________;前8项的和S8=________.(用数字作答)
[答案] 16 255 [解析] 数列{an}为等比数列,q=aan+n 1=2,∴a5=a1·q4=
1×24=16.S8=11--228=28-1=255.

课堂典例讲练

等比数列前n项和公式的基本运算
在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn; (2)a1+a3=10,a4+a6=54,求 S5; (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求 q; (4)S3=3a3,求 q. [分析] 根据条件列方程组,然后再求所要求的量.

[解析] (1)由题意知?????aa11??11++qq+?=q32?0=,155,

解得?????qa=1=55,

??a1=180, 或???q=-56,

从而 Sn=14×5n+1-54或

1 Sn=

080×[1-?-56?n]

11

.

??a1+a1q2=10, (2)解法一:由题意知???a1q3+a1q5=54,

??a1=8, 解得???q=12,

从而 S5=a1?11--qq5?=321.

解法二:由(a1+a3)q3=a4+a6,得 q3=18, 从而 q=12. 又 a1+a3=a1(1+q2)=10, 所以 a1=8, 从而 S5=a1?11--qq5?=321.

(3)因为 a2an-1=a1an=128, 所以 a1,an 是方程 x2-66x+128=0 的两根. 从而?????aan1==624, 或?????aa1n==624,. 又 Sn=a11--aqnq=126,

所以?????qn= =26,

或???q=12, ??n=6,

所以 q 为 2 或12.

(4)当 q=1 时,S3=3a1=3a3,显然成立. 当 q≠1 时,由已知得a1?11--qq3?=3a1q2, 化简得 2q2-q-1=0,∴q=-12,q=1(舍). 综上知 q=1 或 q=-12.

[方法总结] (1)在等比数列中,对于 a1,an,q,n,Sn 五 个量,已知其中三个量,可以求得其余两个量.
(2)等比数列前 n 项和问题,必须注意 q 是否等于 1,如果 不确定,应分 q=1 或 q≠1 两种情况讨论.
(3)等比数列前 n 项和公式中,当 q≠1 时,若已知 a1,q, n 利用 Sn=a1?11--qqn?来求;若已知 a1,an,q,利用 Sn=a11--aqnq 来求.

在等比数列{an}中,S3=72,S6=623,求 an. [解析] ∵S6≠2S3, ∴q≠1,

又∵S3=72,S6=623,

∴???????aa11??1111----qqqq63??==67223,,

整理,得 1+q3=9, 解得 q=2. 将 q=2 代入a1?11--qq3?=72,得 a1=12, 故 an=a1qn-1=2n-2.

等比数列前n项和公式与函数关系
已 知 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为 q , 且 有 1 - q = 3a1,求{an}的前n项和.
[分析] 由题意,知公比为 q 的取值未定,所以需分情况 讨论,又知道 q 与 a1 的关系,所以可考虑利用公式 Sn=-1-a1q·qn +1-a1q求解{an}的前 n 项和.

[解析] 由题意得,等比数列{an}的公比 q 的取值未定,需 分情况讨论.
当 q=1 时,由于 3a1=1-q=0, 即 a1=0,与{an}是等比数列矛盾, ∴q≠1,即1-a1 q=13. 又∵等比数列前 n 项和公式为 Sn=-1-a1q·qn+1-a1q, ∴Sn=-13qn+13.

已知等比数列的前n项和Sn=4n+a,则a=( )

A.-4

B.-1

C.0

D.1

[答案] B

[解析] 解法 1:设等比数列为{an},由已知得 a1=S1=4 +a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1·a3, 即 144=(4+a)×48,∴a=-1. 解法 2:数列{an}是非常数列的充要条件是前 n 项和公式为 Sn=-Aqn+A,由此可见 a=-1.

等比数列前n项和公式的实际应用
某企业年初有资金1 000万元,如果该企业经过 生产经营,每年资金增长率为50%,但每年年底都要扣除消费 资金x万元,余下的资金投入再生产.为实现5年后,资金达到 2 000万元(扣除消费资金后),那么每年年底扣除的消费资金应 是多少万元?(精确到1万元)
[分析] 依次写出每年年底扣除消费资金后的资金,寻找 规律写出第五项求解.

[解析] 设 an 表示第 n 年年底扣除消费资金后的资金,则 a1=1 000(1+12)-x,
a2=[1 000(1+12)-x](1+12)-x =1 000(1+12)2-x(1+12)-x, a3=[1 000(1+12)2-x(1+12)-x](1+12)-x =1 000(1+12)3-x(1+12)2-x(1+12)-x.

依此类推,得 a5=1 000(1+12)5-x(1+12)4-x(1+12)3-x(1+12)2-x(1+12) -x. 则 1 000(32)5-x[(32)4+(32)3+…+1]=2 000, ∴1 000(32)5-x·11--?3232?5=2 000.解得 x≈424(万元). ∴每年年底扣除的消费资金约为 424 万元.

[方法总结] 解数列应用题的具体方法步骤 (1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求: ①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还 是等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题?是求an,还 是求Sn?特别要注意准确弄清项数是多少. ②弄清题目中主要的已知事项. (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参 数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子 表达出来. (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来, 列出满足题意的数学关系式.

国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩,2014年底西部已 退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按 12%递增.
(1)试问从2014年底,到哪一年底西部地区才能完成退耕还 林计划?(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)
(2)为支持退耕还林工作,国家财政从2015年起补助农民当 年退耕地每亩300斤粮食,每斤粮食按0.7元折算,并且补助当 年退耕地每亩20元.试问:西部完成退耕还林计划,国家财政 共需支付多少亿元?(精确到亿元)

[解析] 设从 2014 年底起以后每年的退耕还林的土地依次 为 a1,a2,a3,…,an,…万亩.则
(1)a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,…,an=515(1+ 12%)n,…
Sn=a1+a2+…+an =515?1+10-.121?.?112-1.12n?=6 370-515 ?515×1.12×(1.12n-1)=5 855×0.12 ∴1.12n=2.22, ∴n=7. 故到 2021 年底西部地区才能完成退耕还林计划.

(2)设财政补助费为 W 亿元. 则 W=(300×0.7+20)×(6 370-515)×10-4 =134.6(亿元) 所以西部完成退耕还林计划,国家财政共需支付 134.6 亿 元.

等比数列前n项和公式的应用
在 数 列 {an} 中 , a1=2 , an + 1=4an - 3n +1 , n∈N+.
(1)证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn. [分析] 证明一个数列是等比数列常用定义法,第二问可 运用分组求和求解.

[解析] (1)证明:由题设 an+1=4an-3n+1, 得 an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N+. 又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1,且公比为 4 的 等比数列. (2)由(1)可知 an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为 an =4n-1+n.所以数列{an}的前 n 项和 Sn=4n-3 1+n?n2+1?. [方法总结] 数列{an}由一个等差数列与一个等比数列组 合而成,因此,求和时可分别对等差数列、等比数列求和再相 加.

已知等差数列{an},a2=9,a5=21. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,由 a2=9,a5=21,
得?????aa11++4dd==92,1, 解得?????da=1=45., ∴数列{an}的通项公式为 an=5+(n-1)×4=4n+1.

(2)由 an=4n+1,得 bn=2an=24n+1, ∴数列{bn}是首项为 b1=25=32,公比 q=24=16 的等比数 列.

于 是 得 数 列 {bn} 的 前

n

项和为

Sn



25×?1-24n? 1-24



32×?24n-1? 15 .

易混易错点睛

求数列1,a+a2,a3 +a4+a5,a6+a7+a8+ a9,…的前n项和.
[ 误解] 所求数列的前 n 项和 Sn=1+a+a2+a3+…+ an?n2+1?-1=1-a1n-?na2+1?.
[辨析] 所给数列除首项外,每一项都与 a 有关,而条件 中没有 a 的范围,故应对 a 进行讨论.

[正解] 由于所给数列是在数列 1,a,a2,a3,…中依次取 出 1 项,2 项,3 项,4 项,……的和所组成的数列.因而所求 数列的前 n 项和中共含有原数列的前(1+2+…+n)项.所以 Sn =1+a+a2+…+an?n2+1?-1.①当 a=0 时,Sn=1.②当 a=1 时,Sn=n?n2+1?.③当 a≠0 且 a≠1 时,Sn=1-a1n-?na2+1?.

本节思维导图

??

??na1,q=1

等 的比 前数 n项列和???等比数列前n项和公式Sn=???a1?11--qqn?,q≠1

??等比数列前n项和公式与函数的关系



更多相关文章:
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第3课时 等....ppt
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第3课时 等比数列的前n项和)ppt同步课件_数学_高中教育_教育专区。第一章 数列 第一章 §3 等比数列第3课时 等比...
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第1课时 等....ppt
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第1课时 等比数列的概念及通项公式)ppt同步课件_数学_高中教育_教育专区。第一章 数列 第一章 §3 等比数列第1...
...五第一章第三《等比数列的前n项和》(第课时)优....doc
北师大版高中数学必修五第一章第三《等比数列的前n项和》(第课时)优质课教学设计 - 等比数列的前 n 项和(第一课时) 一、教材分析 从教材的编写顺序上...
【优质课件】高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第1....ppt
【优质课件】高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第1课时 等比数列的概念及通项公式同步优秀课件.ppt_小学教育_教育专区。中小学精编教育课件 第一章 数列 第一...
高中课件】高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第1....ppt
【高中课件】高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第1课时 等比数列的概念及通项公式同步课件ppt.ppt_高中教育_教育专区。中小学精编教育课件 第一章 数列 第一...
高中课件】高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第2....ppt
【高中课件】高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第2课时 等比数列的性质同步课件ppt.ppt_高中教育_教育专区。中小学精编教育课件 第一章 数列 第一章 §3 ...
高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第1课时 等比数列....ppt
高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第1课时 等比数列的概念及通项公式同步课件.ppt_高等教育_教育专区。中小学精编教育课件 第一章 数列 第一章 §3 等比...
...数列 3 等比数列 第3课时 等比数列的前n项和同步练....doc
[试卷+试卷]高中数学 第1章 数列 3 等比数列 第3课时 等比数列的前n项和同步练习 北师大版必修5 - 小初高 K12 学习教材 【成才之路】2016 年春高中数学 ...
...数列 3 等比数列 第3课时 等比数列的前n项和同步练....doc
2019-2020年高中数学 第1章 数列 3 等比数列 第3课时 等比数列的前n项和同步练习 北师大版必修5_其它课程_初中教育_教育专区。2019-2020 年高中数学 第 1 ...
【优质课件】高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第2....ppt
【优质课件】高中数学北师大版必修5第1章3等比数列第2课时 等比数列的性质同步优秀课件.ppt_小学教育_教育专区。中小学精编教育课件 第一章 数列 第一章 §3 ...
...数学(必修5)1.3《等比数列》(等比数列的前N项和).ppt
北师大版高中数学(必修5)1.3《等比数列》(等比数列的前N项和) - 3.2 等比数列的前n项和 (第一课时) 创设情境 明总:在一个月中, 我第一天给你一万, ...
...数列 3 等比数列 第3课时 等比数列的前n项和同步练....doc
配套K12高中数学 第1章 数列 3 等比数列 第3课时 等比数列的前n项和同步练习 北师大版必修5 - 小学+初中+高中+努力=大学 【成才之路】2016 年春高中数学 第...
最新高中数学北师大版必修五1.3《等比数列的前n项和》p....ppt
最新高中数学北师大版必修五1.3《等比数列的前n项和》ppt参考课件 - 《等比数列的前N项和》 课堂讲练7C互中动小学课件http://cai.7cxk.net 创设情境 明总...
高中数学北师大版必修五课件第一章 3.2 等比数列的前n....ppt
高中数学北师大版必修五课件第一章 3.2 等比数列的前n项和(二)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§3.2 等比数列的前n项和(二) 学习目标 1.熟练应用等比...
高中数学北师大版必修5 1.3 教学课件 《等比数列》(北....ppt
高中数学北师大版必修5 1.3 教学课件 《等比数列》(北师大版)_数学_高中教育_教育专区。北京师范大学出版社 高一 | 必修5 第一章 数列 第三等比数列...
...数列 1.3 等比数列 1.3.1 第2课时 等比数列的性质课....ppt
高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.1 第2课时 等比数列的性质课件 北师大版必修5_数学_高中教育_教育专区。第一章 数列第 2 课时 等比数列的性质 1...
高中数学北师大版必修五课件:第一章 3.2 等比数列的前n....ppt
高中数学北师大版必修五课件:第一章 3.2 等比数列的前n项和(一)_数学_高中教育_教育专区。第一章 数列 §3.2 等比数列的前n项和(一) 学习目标 1.掌握...
高中数学北师大版必修五第一章:3.2 等比数列的前n项和(....ppt
高中数学北师大版必修五第一章:3.2 等比数列的前n项和(二)_数学_高中教育_教育专区。第一章 数列 §3.2 等比数列的前n项和(二) 学习目标 1.熟练应用...
高中数学必修五北师大版 3.2 等比数列的前n项和 等比数....ppt
搜试试 5 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中数学必修五北师大版 3.2 等比数列的前n项和 ...第一章 数列 第一章 §3 第3课时 等比数列 等比...
...第一章数列1.3等比数列1.3.1第2课时等比数列的性质....ppt
高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.1第2课时等比数列的性质课件北师大版必修5_数学_高中教育_教育专区。第一章 数列第 2 课时 等比数列的性质 1.等比数列的...

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图