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高中数学知识点易错点梳理六算法概率统计

高中数学知识点易错点梳理六概率统计
A5.统计 1.抽样方法: (1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时,它的主要特征是从 总体中逐个抽取. (2)分层抽样,主要特征分层按比例抽样,主要使用于总体中有明显差异.共同点:每个 个体被抽到的概率都相等( N ). 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率. 总体估计掌握:一“表”(频率分布表);两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ⑴频率分布直方图 用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图.频率分布直方图 就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ①频率= 频数 .②小长方形面积=组距×频率 =频率.
样本容量
组距
n

③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】 :直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是 频率),横轴一般是数据的大小,小矩形的面积表示频率. (2010 江苏卷 4)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标) , 所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有____根在棉花纤维的长度小于 20mm. (30)

⑵茎叶图 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边 的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上 长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图. 3. 用 样 本 的 算 术 平 均 数 作 为 对 总 体 期 望 值 的 估 计 ; 样 本 平 均 数 :
x ? 1 n ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ? 1 n

?

n

xi

i ?1

4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差). (1)一组数据 x1 , x 2 , x 3 , ? , x n ①样本方差
S
2

?

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ? ? ( x n ? x ) ] ?
2 2 2
2

1

? (x n
i ?1

n

i

? x) ?
2

1 n

( ? xi ) ? (
2 i ?1

n

1

? n
2

n

xi )

2



i ?1

②样本标准差 ? ?

S

?

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2 2

=

1

? (x n
i ?1

n

i

? x)

(2)两组数据 x1 , x 2 , x 3 , ? , x n 与 y1 , y 2 , y 3 , ? , y n ,其中 y ? ax i ? b , i ? 1, 2, 3 , ? , n .则
y ? a x ? b ,它们的方差为 S y ? a S x ,标准差为 ? y ? | a | ? x
2 2 2

③若 x1 , x 2 , ? , x n 的平均数为 x ,方差为 s ,则 ax1 ? b , ax 2 ? b , ? , ax n ? b 的平均数为 a x ? b , 方差为 a s .
2 2 2 样本数据做如此变换: x i ? a x i ? b ,则 x ? a x ? b , ( S ? ) ? a S .

2

2

2

'

'

1

(2009 江苏卷 6)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习, 每人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

3号 7 6 .
2 5

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s =

B5.概率的计算公式: ⑴古典概型: P ( A ) ?
A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 基本事件的总数


? ca rd ( A ) ca rd ( I )

①等可能事件的概率计算公式: p ( A ) ?

m n



②互斥事件的概率计算公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ③对立事件的概率计算公式是:P( A )=1-P(A); ⑵几何概型:若记事件 A={任取一个样本点,它落在区域 g 为 P ( A) ?
g的 测 度 ?的 测 度
? ?

},则 A 的概率定义

?

构 成 事 件 A的 区 域 长 度 ( 面 积 或 体 积 等 ) 试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)

注意:探求一个事件发生的概率,常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处 理:把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识);转化为若干个互斥 事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的概率;看 作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率,但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件 独立的必要非充分条件,反之,事件对立是事件互斥的充分非必要条件. (2011 江苏卷 5)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的 两倍的概率是____
1 3

(2008 江苏卷 6) 在平面直角坐标系 xo y 中, D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的 设 点构成的区域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落 入 E 中的概率 .
?
16

2



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