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2016-2017学年高中数学3.2第一课时一元二次不等式及其解法课件新人教A版必修5_图文

3.2

一元二次不等式及其解法

第一课时

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的概念
[提出问题] 观察下列不等式: (1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0.

问题 1:以上给出的三个不等式,它们含有几个未知数? 未知数的最高次数是多少?
提示:它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都是 2.
问题 2:上述三个不等式在表达形式上有何共同特点?
提示: 形如 ax2+bx+c>0(或≤0), 其中 a, b, c 为常数, 且 a≠0.

[导入新知] 1.一元二次不等式 我们把只含有 一个 未知数,并且未知数的 最高次数是 2 的 不等式,称为一元二次不等式,即形如 ax2+bx+c>0(≥0)或 ax2 +bx+c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x 的值 ,叫做这个一元二次不等式 的 解 ,其解的集合 ,称为这个一元二次不等式的 解集 .

[化解疑难] 1. 定义的简单应用: 判断一个不等式是否为一元二次不等式, 应严格按照定义去判断,即未知数只有 1 个,未知数的最高次数 是 2,且最高次的系数不能为 0. 2.解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集 合或区间的形式.

一元二次不等式的解法
[提出问题] 已知:一元二次函数 y=x2-2x,一元二次方程 x2-2x=0, 一元二次不等式 x2-2x>0. 问题 1:试求二次函数与 x 轴交点坐标.

提示:(0,0),(2,0).

问题 2:一元二次方程的根是什么?
提示:x1=0,x2=2.

问题 3:问题 1 中的坐标与问题 2 中的根有何内在联系? 提示:交点的横坐标为方程的根.
问题 4:观察二次函数图象,x 满足什么条件,图象在 x 轴上方? 提示:x>2 或 x<0.
问题 5:能否利用问题 4 得出不等式 x2-2x>0,x2-2x <0 的解集? 提示: 能, 不等式的解集为{x|x>2 或 x<0}, {x|0<x<2}.

[导入新知] 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表

判别式 Δ=b2-4ac 一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a>0)的根 二次函数y=ax2 +bx+c (a>0)的 图象

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实 有两相等实根 根x1,x2,(x1 没有实数根 b x1=x2=- <x2) 2a

判别式 Δ=b2-4ac ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0)
? ? ?

Δ>0
? ? ?

Δ=0
? b? ?xx≠- ? 2a? ?

Δ<0

x|x<x1 或 x>x2}
x|x1<x<x2
? ? ?

R

的解集

?

?

[化解疑难] 一元二次方程的根对应于二次函数图象与 x 轴的交点, 一元 二次不等式的解对应于二次函数图象在 x 轴上方(下方),或在 x 轴上的点, 由此得出二次函数图象的开口方向及与 x 轴的交点情 况确定的一元二次不等式的图象解法, 这样就形成了二次函数与 一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法.

一元二次不等式的解法

[例 1]

解下列不等式:

(1)2x2+7x+3>0; (2)x2-4x-5≤0; 81 (3)-4x +18x- ≥0; 4
2

1 2 (4)- x +3x-5>0; 2 (5)-2x2+3x-2<0.

[解 ]

(1)因为 Δ=72-4×2×3=25>0,
2

1 所以方程 2x +7x+3=0 有两个不等实根 x1=-3, x2=- . 2 又二次函数 y=2x2+7x+3 的图象开口向上,
? ? 1 所以原不等式的解集为?x|x>-2,或x<-3?. ? ?

(2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}.
? 9?2 (3)原不等式可化为?2x-2? ≤0, ? ? ? 9? 所以原不等式的解集为?x|x=4?. ? ?

(4)原不等式可化为 x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0, 所以方程 x2-6x+10=0 无实根, 又二次函数 y=x2-6x+10 的图象开口向上, 所以原不等式的解集为?. (5)原不等式可化为 2x2-3x+2>0, 因为 Δ=9-4×2×2=-7<0, 所以方程 2x2-3x+2=0 无实根, 又二次函数 y=2x2-3x+2 的图象开口向上, 所以原不等式的解集为 R.

[类题通法] 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方 程没有实根; (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集.

[活学活用] 解下列不等式: (1)x2-5x-6>0;(2)-x2+7x>6; (3)(2-x)(x+3)<0;(4)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 解:(1)方程 x2-5x-6=0 的两根为 x1=-1,x2=6.
结合二次函数 y=x2-5x-6 的图象知, 原不等式的解集为{x|x< -1 或 x>6}. (2)原不等式可化为 x2-7x+6<0. 解方程 x2-7x+6=0,得 x1=1,x2=6. 结合二次函数 y = x2 - 7x + 6 的图象知,原不等式的解集为 {x|1<x<6}.

(3)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0 的两根为 2 和-3. 结合二次函数 y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<- 3 或 x>2}. (4)由原不等式得 8x2-8x+4>4x-x2, ∴原不等式等价于 9x2-12x+4>0. 2 解方程 9x -12x+4=0,得 x1=x2= . 3
2

结合二次函数 y = 9x2 - 12x + 4 的图象知,原不等式的解集为
? 2? ?x|x≠ ?. 3? ?

解含参数的一元二次不等式
[例 2] 解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0.

[解 ]

方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数

y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上, 则当 a<-1 时,原不等式的解集为{x|a<x<-1}; 当 a=-1 时,原不等式的解集为?; 当 a>-1 时,原不等式的解集为{x|-1<x<a}.

[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时 (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根的情况,则应对判别式 Δ 进行 讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.

[活学活用] 设 m∈R,解关于 x 的不等式 m2x2+2mx-3<0.

解:①m=0 时,-3<0 恒成立,所以 x∈R. ②当 m>0 时,不等式变为(mx+3)(mx-1)<0, ? 3 ?? 1? 3 1 ? ? ? ? 即 x+m x-m <0,解得-m<x<m. ? ?? ? ? 3 ?? 1? ③当 m<0 时,原不等式变为?x+m??x-m?<0, ? ?? ? 1 3 解得m<x<-m. 综上,m=0 时,解集为 R; ? 3 1? m>0 时,解集为?x|-m<x<m?; ? ? ? 1 3? m<0 时,解集为?x|m<x<-m?. ? ?

一元二次不等式与相应函数、方程的关系

[例 3]

已知关于 x 的不等式 x2+ax+b<0 的解集为{x|1<x

<2},求关于 x 的不等式 bx2+ax+1>0 的解集. [解] ∵x2+ax+b<0 的解集为{x|1<x<2},

∴1,2 是 x2+ax+b=0 的两根.
? ?-a=1+2, 由根与系数的关系得? ? ?b=1×2, ? ?a=-3, 得? ? ?b=2,

代入所求不等式,得 2x2-3x+1>0. 1 由 2x -3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0?x< 或 x>1. 2
2

∴bx +ax+1>0

2

? 1? 的解集为?-∞,2?∪(1,+∞). ? ?

[类题通法] 1.一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根,也是函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标. 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在 x 轴上方的部分,是 由不等式 ax2+bx+c>0 的 x 的值构成的;图象在 x 轴下方的 部分,是由不等式 ax2+bx+c<0 的 x 的值构成的,三者之间 相互依存、相互转化.

[活学活用] 1 已知方程 ax +bx+2=0 的两根为- 和 2. 2
2

(1)求 a,b 的值; (2)解不等式 ax2+bx-1>0.
1 解:(1)∵方程 ax +bx+2=0 的两根为- 和 2, 2
2

b ? 1 ?-2+2=-a, 由根与系数的关系,得? ?-1×2=2, a ? 2 解得 a=-2,b=3.

(2)由(1)知,ax2+bx-1>0 可变为-2x2+3x-1>0, 1 即 2x -3x+1<0,解得 <x<1. 2
2

∴不等式 ax +bx-1>0

2

? 1 ? 的解集为?x|2<x<1?. ? ?

5.有关三个“二次”关系的不等式的解法
[典例] (12 分)已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集
? 1? 是?x|x<-2或x>-2?,求 ? ?

ax2-bx+c>0 的解集.

[解题流程]

[规范解答] 1 由题意知,-2,- 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,(2 分) 2
? 1? b ? ? ? ?-2+?-2?=-a, 且 a<0,故? ? ? ??-2?×?-1?= c. ? ? 2? a

(4 分)

[名师批注] 不注意判断 a 的符号,误认为 a>0.

5 解得 a=c,b= c.(6 分) 2 所以不等式 ax2-bx+c>0 即 2x2-5x+2<0,(8 分) 1 解得 <x<2. 2 即不等式 ax -bx+c>0
2

? ? ?1 的解集为?x?2 ? ? ?

? ? <x<2?.(12 ? ?

分)

[名师批注] 学生常出现解集不用集合表示的失误.

[活学活用] 已知一元二次不等式 x +px+q<0 不等式 qx2+px+1>0 的解集.
2

? 1 1? 的解集为?x|-2<x<3?,求 ? ?

解:因为 x +px+q<0

2

? 1 1? 的解集为?x|-2<x<3?, ? ?

1 1 所以 x1=- 与 x2= 是方程 x2+px+q=0 的两个实数根, 2 3 ?1 1 ?3-2=-p, 由根与系数的关系得? ? ? ?1×?-1?=q, ?3 ? 2 ? 1 ? ?p=6, 解得? ?q=-1 . 6 ?

所以不等式 qx2+px+1>0, 1 2 1 即- x + x+1>0, 6 6 整理得 x2-x-6<0,解得-2<x<3. 即不等式 qx2+px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}.

[随堂即时演练]
1.不等式 x(2-x)>0 的解集为 A.{x|x>0} C.{x|x>2 或 x<0} B.{x|x<2} D.{x|0<x<2} ( )

解析:原不等式化为 x(x-2)<0,故 0<x<2. 答案:D

2. 已知集合 M={x|x2-3x-28≤0}, N={x|x2-x-6>0}, 则 M∩ N 为 A.{x|-4≤x<-2 或 3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2 或 3≤x<7} C.{x|x≤-2 或 x>3} D.{x|x<-2 或 x≥3} ( )

解析:∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7}, N={x|x2-x-6>0}={x|x<-2 或 x>3}, ∴M∩N={x|-4≤x<-2 或 3<x≤7}. 答案:A

3.二次函数 y=x2-4x+3 在 y<0 时 x 的取值范围是________.
解析:由 y<0 得 x2-4x+3<0,∴1<x<3. 答案:(1,3)

4.关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=________.
解析:由 x2-2ax-8a2<0(a>0) 得(x+2a)(x-4a)<0(a>0), 即-2a<x<4a,故原不等式的解集为(-2a,4a). 由 x2-x1=15 得 4a-(-2a)=15, 5 即 6a=15,所以 a= . 2 5 答案: 2

5.解下列不等式: (1)x(7-x)≥12; (2)x2>2(x-1); (3)x2-4ax-5a2<0(a<0).

解:(1)原不等式可化为 x2-7x+12≤0, 因为方程 x2-7x+12=0 的两根为 x1=3,x2=4, 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}.

(2)原不等式可以化为 x2-2x+2>0, 因为判别式 Δ=4-8=-4<0,方程 x2-2x+2=0 无实根, 而抛物线 y=x2-2x+2 的图象开口向上, 所以原不等式的解集为 R. (3)方程 x2-4ax-5a2=0 的两个根为 x1=-a,x2=5a, ∵a<0,x1>x2,∴原不等式的解集为{x|5a<x<-a}.



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