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人教B版高中数学选修(1-1)-3.3导学案:利用导数判断函数的单调性

3.3.1 利用导数判断函数的单调性 学前准备 1.以前,我们用定义来判断函数的单调性. 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间上的任意两个 自变量 x1,x2,当______________时,都有____________,那么就说 f(x)在这个 区间上是增函数.当______________时,都有____________,那么就说 f(x) 在 这个区间上是减函数. 2. 判断函数的单调性的方法有_________和______________. 知识梳理 一般地,设函数 y ? f (x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内,_________, 那么函数 y ? f (x) 在这个区间内是增函数;如果在这个区间内___________,那么 函数 y ? f (x) 在这个区间内是减函数. 自主测评 1.确定函数 f(x)=x2+5x-6 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 2.求函数 f(x)=2x3-6x2+7 的单调区间. 课内探究案 一、合作探究 探究一:函数的导数与函数的单调性的关系 问题 1:画出函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象,填写下面表格: 图象为 (2,+∞) y=f(x)=x2-4x+3 的单调性 切线的斜率 f′(x)与 0 的 k 与 0 的关 关系 系 (-∞,2) 问题 2:在区间(2, ? ? )内,切线的斜率为 ,函数 y ? f (x) 的值随着 x 的增 大而 ,即 y? ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间(2, ? ? )内为 函数; 在区间( ? ? ,2)内,切线的斜率为 ,函数 y ? f (x) 的值随着 x 的增大而 , 即 y / ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间( ? ? ,2)内为 函数. 问题 3:由此你得出函数的导数与函数的单调性之间有什么规律? 例 1:判断函数 f (x) ? x3 ? 3x 的单调性,并求出单调区间 变式训练 1:求单调区间 (1) f (x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ?1 . (2) g(x) ? 1 ; x ?1 小结:用导数求函数单调区间的步骤: ① __________________________; ② ____________________________________; ③ _________________________________________________________; ④______________________. 探究二:如果在某个区间内恒有 f ?(x) ? 0 ,那么函数 f (x) 有什么特性? 例 2:已知导函数的下列信息: 当1? x ? 4 时, f ?(x) ? 0 ;当 x ? 4 ,或 x ?1时, f ?(x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ?1时, f ?(x) ? 0 .试画出函数 f (x) 图象的大致形状. 变式训练 2: (1)f ' (x)的图象如下,则 f (x) 的图象最有可能的是( ) (2) 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积 相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象. 探究三:结论的逆命题成立吗? f / {x} ? 0 ? f (x) 为增函数成立,那么 f /{x} ? 0? ? f (x) 为增函数吗? 例 3:已知函数 f (x) ? 2ax ? x3 ,在(0,1] 为增函数,求 a 的范围. 变式训练 3:若函数 f (x) ? ax3 ? x2 ? x ? 5 在 R 上为增函数,求 a 的范围. 当堂检测 1.函数 f (x) ? x3 ? x 的增区间是 ,减区间是 2.若在区间 (a,b) 内有 f ?(x) ? 0 ,且 f (a) ? 0 ,则在 (a,b) 内有( ) A. f (x) ? 0 B. f (x) ? 0 C. f (x) ? 0 D.不能确定 课后拓展案 1. 在区间(a, b)内 f'(x)>0 是 f (x)在(a, b)内单调递增的( ) A.充分而不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数 y ? xcos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A. ? ( , 3? ) 22 B. (?,2? ) C. (3? , 5? ) 22 D. (2? ,3? ) 3. f (x) ? x ln x 在(0,5)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数 C.在(0, 1 )上是递减函数,在( 1 ,5)上是递增函数. e e D.在(0, 1 )上是递减函数, 在( 1 ,5)上是递减函数. e e 4.已知函数 f (x) ? x2(x ? 3) ,则 f (x) 在 R 上的单调递减区间是 递增区间为 . 5. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f (x) ? x3 ? x2 ? x ; (2); g(x) ? xe?x ,单调


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