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函数图象和函数零点问题


专题六 函数的应用(讲义)
题型归纳 重点:函数与方程、不等式 函数: = 2 + + , = + ,h = + ?? 方程: = 0 不等式: > 0, ≤ 0?? 当 a,b,c 这些参数全部知道时,函数与方程、不等式的性质就完全显现,但是一般情况我们 拿到的是带有参数的函数, 这个时候含有参数的函数与方程、 不等式联系在一起就演变出各 种各样的情形。 题型一:判断方程是否有根 高考题中判断是否有根的题目中, 一般的方程对应的函数是由几个基本函数组合而成, 只要 熟练画出相应的函数图像就能判断方程是否有根。 在相交的地方要结合导数和切线的原理来 判断。 (1) (2011 陕西)函数 = ? 在[0,+∞)内() A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 解:利用“数形结合”的方法,将函数 = 和 = cos画在同一坐标系中,如下图

在熟练掌握各种函数图象的前提下迅速判断图像的交叉点, 交叉点就是方程零点。 这里需要 注意对于基本函数图像的掌握至关重要, 复杂函数都是由基本函数组合而成, 灵和变换方程, 通过移项、合并同类项来分离出基本函数。 (2) (2009 天津)设函数 = ? ln ( > 0),则 = ()()
3 1

A.在区间(1/e,1) , (1,e)内均有零点 B.在区间(1/e,1) , (1,e)内均无零点 C.在区间(1/e,1)内有零点,在(1,e)内无零点 D.在区间(1/e,1)内无零点,在(1,e)内有零点

解:解法同(1)利用“数形结合”的方法

在关键点的处理上需要用到导数,假设两个函数相切,那么必须有切点的斜率相同,即为

1 3

利用这个条件得到 x 坐标值, 带入两个函数中得到的 y 坐标值一样的话就是相切, 显然不一 致,就如上图所示。 题型二:寻找方程根的个数。 方程根的个数可以利用图象判断, 有一条定理叫做勘根定理: 如果函数 = ()在区间 (a,b) 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a) ? f(b) < 0,那么函数 = ()在区间(a,b)内 有零点,即存在c ∈ (a, b),使得 = 0,,这个 c 也就是方程 = 0的根。 (1) (2012 天津)函数 = 2 + 3 ? 2在区间(0,1)内的零点个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 解法一:同题型一解法一样,将函数拆分为两个函数 = 2 ? 2 , = 3 ,这样画图 来观察很明显只有一个交点,也就是说,在(0,1)区间内零点数只有 1。

解法二:对函数求导,得 = 2 ? ln2 + 3 2 ,在区间(0,1)内恒大于 0,所以为增函数; 又f 0 = ?2 < 0,f 1 = 1 > 0,所以在(0,1)之间必有一个零点。 (2) (2012 辽宁) 设函数()( ∈ )满足 ? = , = (2 ? ), 且当 ∈ [0,1]时, = 3 .又函数 = (π) , 则函数 = ? ()在 ? , 上的零点个数为 ()
2 2 1 3

A.5 B.6 C.7 D.8 解:首先()是偶函数,又 = ? = 2 ? ,所以 ()以 2 为周期,可以根据条件画出函数()图像,函数 = (π) 为偶函数,画出在区间 ? 2 , 2 的图像,交 点的个数就是零点的个数,6 个交点。
1 3

题型三:含参数方程已知根的分布求参数范围 含参数方程是指方程系数未确定, 根据方程根的分布判断参数的范围, 这样的题目可以是小 题,也可以是大题,通常与其他知识点综合,比如与不等式、数列等等。 (1) (2012 山西大同二模)关于 x 的实系数方程 2 ? ax + 2b = 0的一个根在区间[0,1]上, 另一个根在区间[1,2]上,则2a + 3b的最大值为。 解: 首先根据已知条件有两个根, 则有判别式?= 2 ? 4ac = a2 ? 8b > 0, 又根的分布在[0,1] 和[1,2],所以有不等式: 0 ? 1 = 2b ? (1 ? a + 2b) ≤ 0 ,则三个不等式联立 1 ? 2 = (1 ? a + 2b) ? (4 ? 2a + 2b) ≤ 0
1 2 3

利用线性规划得到2a + 3b的最大值。 (2) (2012 北京朝阳 3 月模拟)已知函数 =

?

log 2 , 0 < < 2

+ 4 , ≥ 2

,若函数

= ? 有两个不同零点,则实数 k 的取值范围是。

解:首先画出分段函数 f(x)的图像,g(x)只是在其基础上下移了 k,相当于直线 y=k 与 f(x)有 两个交点时 k 值的范围。 题型四:二分法求方程的近似解 二分法: 利用区间两端对应的函数值异号得知该区间内必有实根, 计算区间中点对应函数值, 将区间一分为二,异号的区间留下继续进行二分,直到达到精度要求。这种近似的思想正是 计算机进行方程计算的原理。 (1)求方程lg = 3 ? 的近似解。 原方程为x + lgx ? 3 = 0, 令 = + lg ? 3, 可用计算器得 2 ≈ ?0.70,(3) ≈ 0.48, 于是(2) ? (3) < 0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解。用二分法,取区间(2,3)中 点 1 = 2.5 , 2.5 ≈ ?0.10 ,再取区间( 2.5,3 )的中点, 1 = 2.75 , 2.75 ≈ 0.19 , (2.5) ? (2.75) < 0, 所以x0 ∈ (2.5,2.75)。 同理可得x0 ∈ (2.5,2.625), x0 ∈ (2.5625,2.625), 由于 2.625 ? 2.5625 = 0.0625 < 0.1,所以原方程的近似解可取为 2.5625.
1 2

(2)函数y = A.1.3 解:同上。

与函数y = log 的图像交点的横坐标(精确到 0.1)约为() C.1.5 D.1.6

B.1.4

题型五:利用函数模型解决实际问题 利用函数模型解决实际问题可以分为这样几类题目: 运用解析式解决实际问题、 根据题目挑 选解析式、根据实际情况建立解析式。解题前提就是掌握函数的性质,画出函数图象直观解 决问题。 典型题: (2011 江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸 片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点 重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直 角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=xcm (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值。
3
2

D

C

A

x

E
2

F x
2

B
2 2

解: (1) S ? 60 ? 4 x ? (60 ? 2 x) ? 240x ? 8x (0<x<30),所以 x=15cm 时侧面积最大,

(2)V ? (2 x)

2

2 (60 ? 2 x) ? 4 2 x 2 (30 ? x)(0 ? x ? 30) ,所以,V ' ? 12 2x(20 ? x), 2

当 0 ? x ? 20, 时, V 递增,当20 ? x ? 30时,V 递减 ,所以,当 x=20 时,V 最大。

2 (60-2x) 1 ? 此时,包装盒的高与底面边长的比值为 2 2 2x
题注:解决实际问题关键在于建立正确的函数关系,得到解析式后一般是求取最值问题,这 时候与导数、线性规划等结合起来求解。 总结:函数的应用问题一般集中在函数的根的问题上,熟练运用“数形结合” 、导数和二分 法等方法,对函数的性质熟练掌握和运用,灵活解题。


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